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?

?本文為非人壽保險(xiǎn)課程的一部分，該示例對(duì)1900?-2005年間的“?美國(guó)標(biāo)準(zhǔn)化颶風(fēng)損失?”數(shù)據(jù)集進(jìn)行研究（2008），我們使用了廣義線性模型和帕累托分布Pareto distributions分析。該數(shù)據(jù)集以xls格式提供，首先我們來(lái)導(dǎo)入它，

數(shù)據(jù)導(dǎo)入和清理

1. > library(gdata)

2. > db=read.xls(data.xls",sheet=1)

excel電子表格的問(wèn)題在于某些列可能具有預(yù)先指定的格式（例如，損失為000,000,000格式）

1. > tail(db)

2. Year Hurricane.Description State Category Base.Economic.Damage

3. 202 2005 ? ? ? ? ? ? ? ? Cindy ? ?LA ? ? ? ?1 ? ? ? ? ?320,000,000

4. 203 2005 ? ? ? ? ? ? ? ?Dennis ? ?FL ? ? ? ?3 ? ? ? ?2,230,000,000

5. 204 2005 ? ? ? ? ? ? ? Katrina LA,MS ? ? ? ?3 ? ? ? 81,000,000,000

6. 205 2005 ? ? ? ? ? ? ? Ophelia ? ?NC ? ? ? ?1 ? ? ? ?1,600,000,000

7. 206 2005 ? ? ? ? ? ? ? ? ?Rita ? ?TX ? ? ? ?3 ? ? ? 10,000,000,000

8. 207 2005 ? ? ? ? ? ? ? ? Wilma ? ?FL ? ? ? ?3 ? ? ? 20,600,000,000

9. Normalized.PL05 Normalized.CL05 ?X X.1

10. 202 ? ? 320,000,000 ? ? 320,000,000 NA ?NA

11. 203 ? 2,230,000,000 ? 2,230,000,000 NA ?NA

12. 204 ?81,000,000,000 ?81,000,000,000 NA ?NA

13. 205 ? 1,600,000,000 ? 1,600,000,000 NA ?NA

14. 206 ?10,000,000,000 ?10,000,000,000 NA ?NA

15. 207 ?20,600,000,000 ?20,600,000,000 NA ?NA

要獲取我們可以使用的格式的數(shù)據(jù)，考慮以下函數(shù)，

1. > stupidcomma = function(x){

2. + x=as.character(x)

3. + for(i in 1:10){x=sub(",","",as.character(x))}

4. + return(as.numeric(x))}

然后將這些值轉(zhuǎn)換為數(shù)字，

1. > base=db[,1:4]

2. > base$Base.Economic.Damage=Vectorize(stupidcomma)(db$Base.Economic.Damage)

3. > base$Normalized.PL05=Vectorize(stupidcomma)(db$Normalized.PL05)

4. > base$Normalized.CL05=Vectorize(stupidcomma)(db$Normalized.CL05)

從現(xiàn)在開(kāi)始，這是我們將使用的數(shù)據(jù)集，

1. > tail(base)

2. Year Hurricane.Description State Category Base.Economic.Damage

3. 202 2005 ? ? ? ? ? ? ? ? Cindy ? ?LA ? ? ? ?1 ? ? ? ? ? ? 3.20e+08

4. 203 2005 ? ? ? ? ? ? ? ?Dennis ? ?FL ? ? ? ?3 ? ? ? ? ? ? 2.23e+09

5. 204 2005 ? ? ? ? ? ? ? Katrina LA,MS ? ? ? ?3 ? ? ? ? ? ? 8.10e+10

6. 205 2005 ? ? ? ? ? ? ? Ophelia ? ?NC ? ? ? ?1 ? ? ? ? ? ? 1.60e+09

7. 206 2005 ? ? ? ? ? ? ? ? ?Rita ? ?TX ? ? ? ?3 ? ? ? ? ? ? 1.00e+10

8. 207 2005 ? ? ? ? ? ? ? ? Wilma ? ?FL ? ? ? ?3 ? ? ? ? ? ? 2.06e+10

9. Normalized.PL05 Normalized.CL05

10. 202 ? ? ? ?3.20e+08 ? ? ? ?3.20e+08

11. 203 ? ? ? ?2.23e+09 ? ? ? ?2.23e+09

12. 204 ? ? ? ?8.10e+10 ? ? ? ?8.10e+10

13. 205 ? ? ? ?1.60e+09 ? ? ? ?1.60e+09

14. 206 ? ? ? ?1.00e+10 ? ? ? ?1.00e+10

15. 207 ? ? ? ?2.06e+10 ? ? ? ?2.06e+10

數(shù)據(jù)探索

我們可以直觀地看到1900年至2005年的207次颶風(fēng)的成本（這里的x軸不是時(shí)間，它只是損失的指數(shù)）

> plot(base$Normalized.PL05/1e9,type="h",ylim=c(0,155))

?

通常，計(jì)算保險(xiǎn)合同的純保費(fèi)時(shí)有兩個(gè)部分。索賠數(shù)量（或此處的颶風(fēng)）以及每項(xiàng)索賠的個(gè)人損失。我們已經(jīng)看到了個(gè)人損失，現(xiàn)在讓我們集中討論年度頻率。

1. 


2. > db[88:93,]

3. years counts

4. 88 ?2003 ? ? ?3

5. 89 ?2004 ? ? ?6

6. 90 ?2005 ? ? ?6

7. 91 ?1902 ? ? ?0

8. 92 ?1905 ? ? ?0

9. 93 ?1907 ? ? ?0

平均而言，我們每年大約遭受2次（主要）颶風(fēng)，

1. > mean(db$counts)

2. [1] 1.95283

廣義線性模型預(yù)測(cè)

在預(yù)測(cè)模型中（此處，我們希望為2014年的再保險(xiǎn)合同定價(jià)），我們可能需要考慮颶風(fēng)發(fā)生頻率的某些可能趨勢(shì)。我們可以考慮用glm預(yù)測(cè)線性趨勢(shì)或指數(shù)趨勢(shì)

我們可以繪制這三個(gè)預(yù)測(cè)，并預(yù)測(cè)2014年（主要）颶風(fēng)的數(shù)量，

1. 


2. constant ? linear exponential

3. 126 ?1.95283 3.573999 ? ?4.379822

4. > points(rep((1890:2030)[126],3),prediction,col=c("black","red","blue"),pch=19)

?

觀察到改變模型將改變純粹的溢價(jià)：如果預(yù)測(cè)不變，我們預(yù)計(jì)颶風(fēng)將少于2（主要），但是隨著指數(shù)趨勢(shì)的發(fā)展，我們預(yù)計(jì)將超過(guò)4。

這是預(yù)期的頻率。現(xiàn)在，我們應(yīng)該找到一個(gè)合適的模型來(lái)計(jì)算再保險(xiǎn)條約的純保費(fèi)，并具有（高）免賠額和有限（但大）賠付額。合適的模型是一個(gè)帕累托分布（見(jiàn)Hagstr?m（1925年）。

估計(jì)帕累托分布尾部指數(shù)

?

顯然，主要颶風(fēng)造成的損失慘重。

現(xiàn)在，考慮一家擁有5％市場(chǎng)份額的保險(xiǎn)公司。我們將考慮\ tilde Y_i = Y_i / 20。損失如下?？紤]一個(gè)再保險(xiǎn)條約，其免賠額為2（十億），有限承保范圍為4（十億），

?

對(duì)于我們的帕累托模型，僅考慮5億美元以上的損失，

1. xi ? ? ?beta

2. 0.4424669 0.6705315

八分之一的颶風(fēng)達(dá)到了該水平

[1] 0.1256039

計(jì)算再保險(xiǎn)合同的預(yù)期價(jià)值

鑒于損失超過(guò)5億，我們現(xiàn)在可以計(jì)算再保險(xiǎn)合同的預(yù)期價(jià)值，

?現(xiàn)在，我們預(yù)計(jì)每年的颶風(fēng)會(huì)少于2（主要）

1. > predictions[1]

2. [1] 1.95283

每個(gè)颶風(fēng)給我們的保險(xiǎn)公司帶來(lái)超過(guò)5億的損失的機(jī)率是12.5％，

1. > mean(base$Normalized.PL05/1e9/20>.5)

2. [1] 0.1256039

并假設(shè)颶風(fēng)造成的損失超過(guò)5億美元，那么再保險(xiǎn)公司的預(yù)期還款額（百萬(wàn)）

1. > E(2,6,gpd.PL[1],gpd.PL[2])*1e3

2. [1] 330.9865

所以再保險(xiǎn)合同的純保費(fèi)就是

1. 


2. [1] 81.18538

覆蓋40億，超過(guò)2個(gè)。