今天復(fù)習(xí)兩種二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的解法——

part 1 同濟(jì)《高等數(shù)學(xué)》常微分方程部分

二階線性非齊次微分方程——形如d^y/dx^2+P（x）dy/dx+Q（x）y=f（x）的微分方程。

將上面非齊次方程中的P（x）和Q（x）換成常數(shù)p、q，即得到——

常系數(shù)非齊次線性微分方程——形如d^y/dx^2+p dy/dx+q y=f（x）的微分方程。

我們聊過二階線性齊次微分方程求通解的方法——

1. 寫出微分方程的特征方程；

2. 判斷特征方程解的情形；

3. 按照三種情形寫下通解，可以直接把通解背下來，也可以從特征方程直接推。

我們學(xué)過二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)的相關(guān)定理——

定理三：設(shè)y*（x）是二階非齊次線性方程y"+P（x）y'+Q（x）y=f（x）的一個(gè)特解，Y(x)是該方程對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解，那么y=Y（x）+y*（x）是二階非齊次線性微分方程的通解。

所以，我們只需要解決求得二階線性非齊次微分方程的一個(gè)特解y*的方法即可。

書上列舉了兩種常見形式，不用積分即可求出——

1. f（x）=Pm（x）e^（lx）——其中l(wèi)是常數(shù)，Pm（x）是x的一個(gè)m次多項(xiàng)式：

   Pm（x）=a0x^m+a1x^（m-1）+……+am-1x+am；

2. f（x）=e^（lx）[Pl（x）cos wx +Pn（x）sin wx]，其中l(wèi)、w是常數(shù)，Pl（x）、Pn（x）分別是x的l次、n次多項(xiàng)式，且有一個(gè)可為零。

類型一——

y"+py'+qy=Pm（x）e^（lx）——“待定系數(shù)法”——

1. 令y*=Q（x）e^（lx）；

2. y*'=e^（lx）[lQ（x）+Q'（x）]；

3. y*"=e^（lx）[l^2Q（x）+2lQ'（x）+Q"（x）]；

4. 將1、2、3代入上述非齊次方程，y"+py'+qy=e^（lx）[l^2Q（x）+2lQ'（x）+Q"（x）]+pe^（lx）[lQ（x）+Q'（x）]+qQ（x）e^（lx）=Pm（x）e^（lx），即Q"（x）+（2l+p）Q'（x）+（l^2+pl+q）Q（x）=Pm（x）。——其中待定的部分就是函數(shù)Q（x）的取值。

注意到l^2+pl+q與該方程對(duì)應(yīng)的齊次方程的“特征方程”形式相同，下面按照l的情況進(jìn)行分類討論——

情形一：l不是特征方程x^2+px+q=0的解，即l^2+pl+q不為0——

分析：Pm（x）是一個(gè)關(guān)于x的m次多項(xiàng)式，所以Q"（x）+（2l+p）Q'（x）+（l^2+pl+q）Q（x）也是一個(gè)關(guān)于x的m次多項(xiàng)式。

過程——

1. 設(shè)Q（x）=Qm（x）=b0x^m+b1x^（m-1）+……+bm-1x+bm；

2. Q'（x）=Q'm（x）=b0x^（m-1）+b1x^（m-2）+……+bm-2x+bm-1；

3. Q"（x）=Q"m（x）=b0x^（m-2）+b1x^（m-3）+……+bm-3x+bm-2；

4. 將Q（x）、Q'（x）、Q"（x）代入原方程，合并同類項(xiàng)，左右同次項(xiàng)相等，即可解出所有系數(shù)bi，即得到Q（x）。

情形二：l是特征方程x^2+px+q=0的解，且方程x^2+px+q=0有兩個(gè)不相等的解，則l不等于-（p/2），即2l+p不為0——

分析：原方程Q"（x）+（2l+p）Q'（x）+（l^2+pl+q）Q（x）=Pm（x）可簡(jiǎn)化為Q"（x）+（2l+p）Q'（x）=Pm（x），Pm（x）是一個(gè)關(guān)于x的m次多項(xiàng)式，所以Q"（x）+（2l+p）Q'（x）也是一個(gè)關(guān)于x的m次多項(xiàng)式，那么Q（x）是一個(gè)關(guān)于x的m+1次多項(xiàng)式。

過程——

1. 設(shè)Q（x）=xQm（x）=x[b0x^m+b1x^（m-1）+……+bm-1x+bm]=b0x^（m+1）+b1x^m+……+bm-1x^2+bmx；

2. 剩余步驟同情形一。

情形三：：l是特征方程x^2+px+q=0的解，且方程x^2+px+q=0有兩個(gè)相等的解，則l=-（p/2），即2l+p=0——

分析：原方程Q"（x）+（2l+p）Q'（x）+（l^2+pl+q）Q（x）=Pm（x）可簡(jiǎn)化為Q"（x）=Pm（x）。

過程——

1. 設(shè)Q（x）=x^2Qm（x）=x^2[b0x^m+b1x^（m-1）+……+bm-1x+bm]=b0x^（m+2）+b1x^（m+1）+……+bm-1x^3+bmx^2；

2. 剩余步驟同情形一。

綜上——y"+py'+qy=Pm（x）e^（lx）具有形如y*=x^kQm（x）e^（lx）的特解，k=0、1或2。

類型二——

y"+py'+qy=e^（lx）[Pl（x）cos wx +Pn（x）sin wx]——用到了歐拉公式：：e^（ic）=cos c+i sin c——

預(yù)備步驟——

1. e^（ic）=cos c+i sin c，e^（-ic）=cos c-i sin c；

2. cos c=[e^（ic）+e^（-ic）]/2，sin c=[e^（ic）-e^（-ic）]/2i。

過程——

1. 用歐拉公式替代f（x）中的cos wx和sin wx，e^（lx）[Pl（x）cos wx +Pn（x）sin wx]=e^（lx）{Pl（x）[e^（iwx）+e^（-iwx）]/2+Pn（x）[e^（iwx）-e^（-iwx）]/2i}=[Pl（x）/2+Pn（x）/2i]e^（lx+iwx）+[Pl（x）/2-Pn（x）/2i]e^（lx-iwx）；

2. 我們令P（x）=Pl（x）/2+Pn（x）/2i，則它的共軛多項(xiàng)式為P'（x）=Pl（x）/2-Pn（x）/2i；

3. 這樣就將方程化回了第一種形式，分別求出y"+py'+qy=P（x）e^（lx+iwx），y"+py'+qy=P'（x）e^（lx-iwx）的一個(gè)特解y1*=x^kQm（x）e^（lx+iwx）與y2*=x^kQ'm（x）e^（lx-iwx）；——m=max{l，n}；

4. 再根據(jù)之前學(xué)過的“線性微分方程的疊加原理”知原方程具有形如y*=x^kQm（x）e^（lx+iwx）+x^kQ'm（x）e^（lx-iwx）的特解；

5. y*=x^kQm（x）e^（lx+iwx）+x^kQ'm（x）e^（lx-iwx）=x^ke^（lx）[Qm（x）e^（iwx）+Q'm（x）e^（-iwx）]=x^ke^（lx）[Qm（x）（cos wx+i sin wx）+Q'm（x）（cos wx-i sin wx）]；

6. 因?yàn)?span id="s0sssss00s" class="color-lblue-03">Qm（x）與Q'm（x）是共軛多項(xiàng)式，所以5中結(jié)果括號(hào)里兩項(xiàng)相加消去虛部，即y*=x^kQm（x）e^（lx+iwx）+x^kQ'm（x）e^（lx-iwx）=x^ke^（lx）[Qm（x）（cos?wx+i sin?wx）+Q'm（x）（cos?wx-i sin wx）]=x^ke^（lx）[Rm'（x）cos?wx+Rm"（x）?sin wx]。——其中Rm'（x）與Rm"（x）?是m次多項(xiàng)式。

定理四：設(shè)二階非齊次線性方程y"+P（x）y'+Q（x）y=f（x）中，f（x）是兩個(gè)函數(shù)之和，即y"+P（x）y'+Q（x）y=f1（x）+f2（x），而y*1（x）與y*2（x）分別是方程y"+P（x）y'+Q（x）y=f1（x）與y"+P（x）y'+Q（x）y=f2（x）的特解，那么y*1（x）+y*2（x）就是原方程的特解——線性微分方程的疊加原理。

明天繼續(xù)！