牛頓351、證明積分中值定理：∫[a，b]f（x）dx=f（ξ）（b-a）

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2010-09-06，網(wǎng)友“ecionaeli”上傳名為《定積分的性質(zhì)》的文檔。

…定，積、分、積分，定積分：見《牛頓337~350》…

…性、質(zhì)、性質(zhì)：見《歐幾里得37》…

（…《歐幾里得》：小說名…）

文檔內(nèi)容：…?

…內(nèi)、容、內(nèi)容：見《歐幾里得66》…

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二、定積分中值定理

…定、理、定理：見《歐幾里得2》…

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如果函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則在積分區(qū)間[a，b]上至少存在一個點ξ，使∫[a，b]f（x）dx=f（ξ）（b-a）。（a≤ξ≤b）

（↑積分中值公式）

…函、數(shù)、函數(shù)：見《歐幾里得52》…

…連、續(xù)、連續(xù)：見《歐幾里得44》…

…ξ：大寫Ξ，小寫ξ，是第十四個希臘字母，中文音譯：克西。

小寫ξ用于：數(shù)學(xué)上的隨機變量…

證 ∵ m（b-a）≤f（x）≤M（b-a）

{定積分性質(zhì)6、設(shè)M和m分別是函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上的最大值及最小值，則

m（b-a）≤∫[a，b]f（x）d（x）≤M（b-a）。

證明見《牛頓350》。}

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∴?m≤1/（b-a）∫[a，b]f（x）d（x）≤M [同時除以（b-a）]

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由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理知，在區(qū)間[a，b]上至少存在一個點ξ，使f（ξ）=1/（b-a）∫[a，b]f（x）d（x），即∫[a，b]f（x）dx=f（ξ）（b-a）。（a≤ξ≤b）

…介：在兩者當中：～紹。媒～。這座山～于兩縣之間…見《歐幾里得34》…

…值：見《歐幾里得74》…

…介值定理（百度百科）：又名中間值定理，是閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)之一。

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在數(shù)學(xué)分析中，介值定理表明，如果定義域為[a，b]的連續(xù)函數(shù)f，那么在區(qū)間內(nèi)的某個點，它可以在f（a）和f（b）之間取任何值。

（…數(shù)、學(xué)、數(shù)學(xué)，分、析、分析，數(shù)學(xué)分析：見《歐幾里得49》…）

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也就是說，介值定理是：在連續(xù)函數(shù)的一個區(qū)間內(nèi)的函數(shù)值，肯定介于最大值和最小值之間…

…∫：積分符號，為為字母s的拉長…見《牛頓338》…

…d：differential（微分）首字母…

[differential（英語）：n.（名詞）差別；差額；差價；（尤指同行業(yè)不同工種的）工資級差。

adj.（形容詞）差別的；以差別而定的；有區(qū)別的。

——《牛頓321》

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dx什么意思？？——網(wǎng)友提問

2019-09-07，想玩游戲的貓：d（x）代表對x求微分。

dy/dx?中的d是“微小的增量”的意思，也就是指微小的增量y除以微小的增量x。在函數(shù)中是，微分的意思。

dx就是對x的微分，是把增量細微化，dx就是很小很小的一個x。

——《牛頓3》]

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……

積分中值公式的幾何解釋：

…公：見《歐幾里得1》…

…式、公式：見《歐幾里得132》…

…幾、何、幾何：見《歐幾里得28》…

…解、釋、解釋：見《歐幾里得56》…

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在區(qū)間[a，b]上至少存在一個點ξ，使得以區(qū)間[a，b]為底邊，以曲線y=f（x）為曲邊的曲邊梯形的面積，等于同一底邊而高為f（ξ）的一個矩形的面積。

?“定積分的正式名稱是黎曼積分。

用黎曼自己的話來說，就是把直角坐標系上的函數(shù)圖象用平行于y軸的直線把其分割成無數(shù)個矩形，然后把某個區(qū)間[a，b]上的矩形累加起來，所得到的，就是這個函數(shù)圖象在區(qū)間[a，b]的面積。

請看下集《牛頓352、定積分的正式名稱是黎曼積分》”

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