量子場(chǎng)論（十一）：時(shí)空中的粒子（二）

2022-12-24 06:31 作者:我的世界-華汁 0人讀過 | 我要投稿

（2）質(zhì)量為零的粒子： $p%5E2%3D0$ 且 $p%5E0%3E0$ 。

此時(shí)四維動(dòng)量是類光的，取標(biāo)準(zhǔn)四維動(dòng)量為 $k%5E%5Cmu%3D(%5Ckappa%2C0%2C0%2C%5Ckappa)$ ，其中κ>0。相應(yīng)小群中的任意群元滿足 $%7BW%5E%5Cmu%7D_%5Cnu%20k%5E%5Cnu%3Dk%5E%5Cmu$ 。

我們需要知道這個(gè)小群是啥，引入 $%5Ctilde%20k%5E%5Cmu%3D%5Cfrac%7Bk%5E%5Cmu%7D%7B%5Ckappa%7D%3D(1%2C0%2C0%2C1)$ ，易知這個(gè)四維矢量在小群變換下也不變。再引入類時(shí)四維矢量 $%5Ctilde%20t%5E%5Cmu%3D(1%2C0%2C0%2C0)$ ，定義小群元對(duì)它的作用為 $t%5E%5Cmu%3D%7BW%5E%5Cmu%7D_%5Cnu%5Ctilde%20t%5E%5Cnu$ 。從而：

$t%5E%5Cmu%5Ctilde%20k_%5Cmu%3D%7BW%5E%5Cmu%7D_%5Cnu%5Ctilde%20t%5E%5Cnu%5Ctilde%20k_%5Crho%7B(W%5E%7B-1%7D)%5E%5Crho%7D_%5Cmu%3D%7B%5Cdelta%5E%5Crho%7D_%5Cnu%5Ctilde%20t%5E%5Cnu%5Ctilde%20k_%5Crho%3D%5Ctilde%20t%5E%5Cnu%5Ctilde%20k_%5Cnu%3D1.%5Ctag%7B10.26%7D$

考慮到 $%5Ctilde%20k%5E%5Cmu%3D%5Cfrac%7Bk%5E%5Cmu%7D%7B%5Ckappa%7D%3D(1%2C0%2C0%2C1)$ ，滿足（10.26）的 $t%5E%5Cmu$ 的一般形式為：

$t%5E%5Cmu%3D(1%2B%5Czeta%2C%5Calpha%2C%5Cbeta%2C%5Czeta).%5Ctag%7B10.27%7D$

另一方面， $t%5E%5Cmu$ 自己的內(nèi)積為：

$t%5E%5Cmu%20t_%5Cmu%3D%7B%5Cdelta%5E%5Cnu%7D_%5Cmu%20t%5E%5Cmu%20t_%5Cnu%3D%7BW%5E%5Crho%7D_%5Cmu%20t%5E%5Cmu%20t_%5Cnu%7B(W%5E%7B-1%7D)%5E%5Cnu%7D_%5Crho%3D%5Ctilde%20t%5E%5Crho%5Ctilde%20t_%5Crho%3D1.%5Ctag%7B10.28%7D$

因此 $(1%2B%5Czeta)%5E2-%5Calpha%5E2-%5Cbeta%5E2-%5Czeta%5E2%3D1$ ，因此：

$%5Czeta%3D%5Cfrac12(%5Calpha%5E2%2B%5Cbeta%5E2)%2C%5Calpha%2C%5Cbeta%5Cin(-%5Cinfty%2C%2B%5Cinfty).%5Ctag%7B10.29%7D$

考慮固有保時(shí)向洛倫茲變換：

$%7BT%5E%5Cmu%7D_%5Cnu(%5Calpha%2C%5Cbeta)%3D%5Cbegin%7Bbmatrix%7D1%2B%5Czeta%26%5Calpha%26%5Cbeta%26-%5Czeta%5C%5C%5Calpha%261%260%26-%5Calpha%5C%5C%5Cbeta%260%261%26-%5Cbeta%5C%5C%5Czeta%26%5Calpha%26%5Cbeta%261-%5Czeta%5Cend%7Bbmatrix%7D.%5Ctag%7B10.30%7D$

在其作用之下：

$%7BT%5E%5Cmu%7D_%5Cnu(%5Calpha%2C%5Cbeta)%5Ctilde%20t%5E%5Cnu%3Dt%5E%5Cmu%3D%7BW%5E%5Cmu%7D_%5Cnu%5Ctilde%20t%5E%5Cnu.%5Ctag%7B10.31%7D$

也就是說：

$%5Ctilde%20t%5E%5Crho%3D%7B%5BT%5E%7B-1%7D(%5Calpha%2C%5Cbeta)%5D%5E%5Crho%7D_%5Cmu%7BT%5E%5Cmu%7D_%5Cnu(%5Calpha%2C%5Cbeta)%5Ctilde%20t%5E%5Cnu%3D%7B%5BT%5E%7B-1%7D(%5Calpha%2C%5Cbeta)%5D%5E%5Crho%7D_%5Cmu%7BW%5E%5Cmu%7D_%5Cnu%5Ctilde%20t%5E%5Cnu.%5Ctag%7B10.32%7D$

也就是說，變換 $T%5E%7B-1%7D(%5Calpha%2C%5Cbeta)W$ 保持 $%5Ctilde%20t%5E%5Cmu%3D(1%2C0%2C0%2C0)$ 不變，所以，它必然是一個(gè)空間旋轉(zhuǎn)變換。容易驗(yàn)證 $%7BT%5E%5Cmu%7D_%5Cnu(%5Calpha%2C%5Cbeta)k%5E%5Cnu%3Dk%5E%5Cmu$ ，因此 $%7BT%5E%5Cmu%7D_%5Cnu(%5Calpha%2C%5Cbeta)$ 是一個(gè)小群變換。因而小群變換 $T%5E%7B-1%7D(%5Calpha%2C%5Cbeta)W$ 是保持 $k%5E%5Cmu%3D(%5Ckappa%2C0%2C0%2C%5Ckappa)$ 不變的空間旋轉(zhuǎn)變換，它必定是繞z軸的空間旋轉(zhuǎn)變換，即滿足：

$T%5E%7B-1%7D(%5Calpha%2C%5Cbeta)W%3DR_z(%5Ctheta).%5Ctag%7B10.33%7D$

于是，小群變換的一般形式為：

$W(%5Calpha%2C%5Cbeta%2C%5Ctheta)%3DT(%5Calpha%2C%5Cbeta)R_z(%5Ctheta).%5Ctag%7B10.34%7D$

可以驗(yàn)證：

$T(%5Calpha_1%2C%5Cbeta_1)T(%5Calpha_2%2C%5Cbeta_2)%3DT(%5Calpha_1%2B%5Calpha_2%2C%5Cbeta_1%2B%5Cbeta_2).%5Ctag%7B10.35%7D$

$R_z(%5Ctheta_1)R_z(%5Ctheta_2)%3DR_z(%5Ctheta_1%2B%5Ctheta_2).%5Ctag%7B10.36%7D$

從而 $T(%5Calpha_1%2C%5Cbeta_1)T(%5Calpha_2%2C%5Cbeta_2)%3DT(%5Calpha_2%2C%5Cbeta_2)T(%5Calpha_1%2C%5Cbeta_1)$ ， $R_z(%5Ctheta_1)R_z(%5Ctheta_2)%3DR_z(%5Ctheta_2)R_z(%5Ctheta_1)$ 。因此 $%5C%7BT(%5Calpha%2C%5Cbeta)%5C%7D$ 和 $%5C%7BR_z(%5Ctheta)%5C%7D$ 是小群的兩個(gè)阿貝爾子群。進(jìn)一步推出：

$R_z%5E%7B-1%7D(%5Ctheta)T(%5Calpha%2C%5Cbeta)R_z(%5Ctheta)%3DT(%5Calpha%5Ccos%5Ctheta-%5Cbeta%5Csin%5Ctheta%2C%5Calpha%5Csin%5Ctheta%2B%5Cbeta%5Ccos%5Ctheta).%5Ctag%7B10.37%7D$

這意味著T(α,β)在任意小群元素的相似變換下變換到子群{T(α,β)}中的元素，這種情況下，數(shù)學(xué)上把{T(α,β)}稱為小群的不變子群。全體坐標(biāo)點(diǎn)(α,β)組成一個(gè)二維平面，（10.35）表明T(α,β)是平面上的平移變換，（10.36）和（10.37）表明 $R_z(%5Ctheta)$ 是平面上的旋轉(zhuǎn)變換。這些變換都保持二維歐幾里得空間的線元 $%5Cmathrm%20ds%5E2%3D%5Cmathrm%20d%5Calpha%5E2%2B%5Cmathrm%20d%5Cbeta%5E2$ 不變，因此由他們構(gòu)成的小群是二維歐幾里得空間的等距群ISO(2)。

現(xiàn)在討論ISO(2)的生成元算符。ISO(2)變換的無窮小形式為 $%7BW%5E%5Cmu%7D_%5Cnu(%5Calpha%2C%5Cbeta%2C%5Ctheta)%3D%7B%5Cdelta%5E%5Cmu%7D_%5Cnu%2B%7B%5Comega%5E%5Cmu%7D_%5Cnu$ ，其中無窮小參數(shù)為：

$%7B%5Comega%5E%5Cmu%7D_%5Cnu%3D%5Cbegin%7Bbmatrix%7D0%26%5Calpha%26%5Cbeta%260%5C%5C%5Calpha%260%26%5Ctheta%26-%5Calpha%5C%5C%5Cbeta%26-%5Ctheta%260%26-%5Cbeta%5C%5C0%26%5Calpha%26%5Cbeta%260%5Cend%7Bbmatrix%7D.%5Ctag%7B10.38%7D$

容易驗(yàn)證 $%7B%5Comega%5E%5Cmu%7D_%5Cnu%20k%5E%5Cnu%3D0$ ，因此這樣的無窮小變換導(dǎo)致 $k%5E%5Cmu$ 不變。反對(duì)稱無窮小參數(shù)為：

$%5Comega_%7B%5Cmu%5Cnu%7D%3Dg_%7B%5Cmu%5Crho%7D%7B%5Comega%5E%5Crho%7D_%5Cnu%3D%5Cbegin%7Bbmatrix%7D0%26%5Calpha%26%5Cbeta%260%5C%5C-%5Calpha%260%26-%5Ctheta%26%5Calpha%5C%5C-%5Cbeta%26%5Ctheta%260%26%5Cbeta%5C%5C0%26-%5Calpha%26-%5Cbeta%260%5Cend%7Bbmatrix%7D.%5Ctag%7B10.39%7D$

即

$%5Calpha%3D-%5Comega_%7B31%7D%3D%5Comega_%7B13%7D%3D%5Comega_%7B01%7D%3D-%5Comega_%7B10%7D%2C%5Cbeta%3D%5Comega_%7B23%7D%3D-%5Comega_%7B32%7D%3D%5Comega_%7B02%7D%3D-%5Comega_%7B20%7D%2C%5Ctheta%3D%5Comega_%7B21%7D%3D-%5Comega_%7B12%7D.%5Ctag%7B10.40%7D$

相應(yīng)的無窮小量子變換為：

$%5Cbegin%7Balign%7D%5Chat%20U(%5Cmathbf1%2B%5Comega)%26%3D1-i(%5Comega_%7B31%7D%5Chat%20J%5E%7B31%7D%2B%5Comega_%7B01%7D%5Chat%20J%5E%7B01%7D)-i(%5Comega_%7B23%7D%5Chat%20J%5E%7B23%7D%2B%5Comega_%7B02%7D%5Chat%20J%5E%7B02%7D)-i%5Comega_%7B12%7D%5Chat%20J%5E%7B12%7D%5C%5C%26%3D1%2Bi%5Calpha%5Chat%20A%2Bi%5Cbeta%5Chat%20B%2Bi%5Ctheta%5Chat%20J%5E3.%5Cend%7Balign%7D%5Ctag%7B10.41%7D$

其中生成元算符 $%5Chat%20A$ 和 $%5Chat%20B$ 為：

$%5Chat%20A%5Cequiv%5Chat%20J%5E%7B31%7D-%5Chat%20J%5E%7B01%7D%3D%5Chat%20J%5E2-%5Chat%20K%5E1%2C%5Chat%20B%5Cequiv-%5Chat%20J%5E%7B23%7D-%5Chat%20J%5E%7B02%7D%3D-%5Chat%20J%5E1-%5Chat%20K%5E2.%5Ctag%7B10.42%7D$

由洛倫茲代數(shù)關(guān)系推知生成元算符 $%5Chat%20J%5E3$ 、 $%5Chat%20A$ 和 $%5Chat%20B$ 的對(duì)易關(guān)系：

$%5B%5Chat%20J%5E3%2C%5Chat%20A%5D%3D%5B%5Chat%20J%5E3%2C%5Chat%20J%5E2%5D-%5B%5Chat%20J%5E3%2C%5Chat%20K%5E1%5D%3D-i%5Chat%20J%5E1-i%5Chat%20K%5E2%3Di%5Chat%20B.%5Ctag%7B10.43%7D$

$%5B%5Chat%20J%5E3%2C%5Chat%20B%5D%3D-%5B%5Chat%20J%5E3%2C%5Chat%20J%5E1%5D-%5B%5Chat%20J%5E3%2C%5Chat%20K%5E2%5D%3D-i%5Chat%20J%5E2%2Bi%5Chat%20K%5E1%3D-i%5Chat%20A.%5Ctag%7B10.44%7D$

$%5B%5Chat%20A%2C%5Chat%20B%5D%3D-%5B%5Chat%20J%5E2%2C%5Chat%20J%5E1%5D-%5B%5Chat%20J%5E2%2C%5Chat%20K%5E2%5D%2B%5B%5Chat%20K%5E1%2C%5Chat%20J%5E1%5D%2B%5B%5Chat%20K%5E1%2C%5Chat%20K%5E2%5D%3Di%5Chat%20J%5E3-i%5Chat%20J%5E3%3D0.%5Ctag%7B10.45%7D$

這與龐加萊代數(shù)關(guān)系

$%5B%5Chat%20J%5E3%2C%5Chat%20P%5E2%5D%3Di%5Chat%20P%5E1%2C%5B%5Chat%20J%5E3%2C%5Chat%20P%5E1%5D%3D-i%5Chat%20P%5E2%2C%5B%5Chat%20P%5E2%2C%5Chat%20P%5E1%5D%3D0%5Ctag%7B10.46%7D$

相同，畢竟 $%5Chat%20J%5E3$ 、 $%5Chat%20P%5E1$ 和 $%5Chat%20P%5E2$ 生成了xy平面的ISO(2)群。

由（10.45）式知道這兩個(gè)算符對(duì)易，因此具有共同本征態(tài) $%7C%5CPsi_%7Ba%2Cb%7D(k%5E%5Cmu)%5Crangle$ ，本征值分別為a,b，滿足：

$%5Chat%20A%7C%5CPsi_%7Ba%2Cb%7D(k%5E%5Cmu)%5Crangle%3Da%7C%5CPsi_%7Ba%2Cb%7D(k%5E%5Cmu)%5Crangle%2C%5Chat%20B%7C%5CPsi_%7Ba%2Cb%7D(k%5E%5Cmu)%5Crangle%3Db%7C%5CPsi_%7Ba%2Cb%7D(k%5E%5Cmu)%5Crangle.%5Ctag%7B10.47%7D$

小群ISO(2)的量子變換滿足同態(tài)關(guān)系：

$%5Chat%20U%5E%7B-1%7D%5BR_z(%5Ctheta)%5D%5Chat%20U%5BT(%5Calpha%2C%5Cbeta)%5D%5Chat%20U%5BR_z(%5Ctheta)%5D%3D%5Chat%20U%5BT(%5Calpha%5Ccos%5Ctheta-%5Cbeta%5Csin%5Ctheta%2C%5Calpha%5Csin%5Ctheta%2B%5Cbeta%5Ccos%5Ctheta)%5D.%5Ctag%7B10.48%7D$

將上式展開到無窮小參數(shù)的第一階：

$%5Chat%20U%5E%7B-1%7D%5BR_z(%5Ctheta)%5D(1%2Bi%5Calpha%5Chat%20A%2Bi%5Cbeta%5Chat%20B)%5Chat%20U%5BR_z(%5Ctheta)%5D%3D1%2Bi(%5Calpha%5Ccos%5Ctheta-%5Cbeta%5Csin%5Ctheta)%5Chat%20A%2Bi(%5Calpha%5Csin%5Ctheta%2B%5Cbeta%5Ccos%5Ctheta)%5Chat%20B.%5Ctag%7B10.49%7D$

由無窮小參數(shù)的任意性推出：

$%5Chat%20U%5E%7B-1%7D%5BR_z(%5Ctheta)%5D%5Chat%20A%5Chat%20U%5BR_z(%5Ctheta)%5D%3D%5Chat%20A%5Ccos%5Ctheta%2B%5Chat%20B%5Csin%5Ctheta%2C%5Chat%20U%5E%7B-1%7D%5BR_z(%5Ctheta)%5D%5Chat%20B%5Chat%20U%5BR_z(%5Ctheta)%5D%3D-%5Chat%20A%5Csin%5Ctheta%2B%5Chat%20B%5Ccos%5Ctheta.%5Ctag%7B10.50%7D$

即 $%5Chat%20A%5Chat%20U%5BR_z(%5Ctheta)%5D%3D%5Chat%20U%5BR_z(%5Ctheta)%5D(%5Chat%20A%5Ccos%5Ctheta%2B%5Chat%20B%5Csin%5Ctheta)%2C%5Chat%20B%5Chat%20U%5BR_z(%5Ctheta)%5D%3D%5Chat%20U%5BR_z(%5Ctheta)%5D(-%5Chat%20A%5Csin%5Ctheta%2B%5Chat%20B%5Ccos%5Ctheta).%5Ctag%7B10.51%7D$

那么，態(tài)矢 $%7C%5CPsi_%7Ba%2Cb%2C%5Ctheta%7D(k%5E%5Cmu)%5Crangle%3D%5Chat%20U%5BR_z(%5Ctheta)%5D%7C%5CPsi_%7Ba%2Cb%7D(k%5E%5Cmu)%5Crangle$ 是 $%5Chat%20A%2C%5Chat%20B$ 的共同本征態(tài)：

$%5Cbegin%7Balign%7D%5Chat%20A%7C%5CPsi_%7Ba%2Cb%2C%5Ctheta%7D(k%5E%5Cmu)%5Crangle%26%3D%5Chat%20A%5Chat%20U%5BR_z(%5Ctheta)%5D%7C%5CPsi_%7Ba%2Cb%7D(k%5E%5Cmu)%5Crangle%3D%5Chat%20U%5BR_z(%5Ctheta)%5D(%5Chat%20A%5Ccos%5Ctheta%2B%5Chat%20B%5Csin%5Ctheta)%7C%5CPsi_%7Ba%2Cb%7D(k%5E%5Cmu)%5Crangle%5C%5C%26%3D%5Chat%20U%5BR_z(%5Ctheta)%5D(a%5Ccos%5Ctheta%2Bb%5Csin%5Ctheta)%7C%5CPsi_%7Ba%2Cb%7D(k%5E%5Cmu)%5Crangle%3D(a%5Ccos%5Ctheta%2Bb%5Csin%5Ctheta)%7C%5CPsi_%7Ba%2Cb%2C%5Ctheta%7D(k%5E%5Cmu)%5Crangle.%5Cend%7Balign%7D%5Ctag%7B10.52%7D$

$%5Cbegin%7Balign%7D%5Chat%20B%7C%5CPsi_%7Ba%2Cb%2C%5Ctheta%7D(k%5E%5Cmu)%5Crangle%26%3D%5Chat%20B%5Chat%20U%5BR_z(%5Ctheta)%5D%7C%5CPsi_%7Ba%2Cb%7D(k%5E%5Cmu)%5Crangle%3D%5Chat%20U%5BR_z(%5Ctheta)%5D(-%5Chat%20A%5Csin%5Ctheta%2B%5Chat%20B%5Ccos%5Ctheta)%7C%5CPsi_%7Ba%2Cb%7D(k%5E%5Cmu)%5Crangle%5C%5C%26%3D%5Chat%20U%5BR_z(%5Ctheta)%5D(-a%5Csin%5Ctheta%2Bb%5Ccos%5Ctheta)%7C%5CPsi_%7Ba%2Cb%7D(k%5E%5Cmu)%5Crangle%3D(-a%5Csin%5Ctheta%2Bb%5Ccos%5Ctheta)%7C%5CPsi_%7Ba%2Cb%2C%5Ctheta%7D(k%5E%5Cmu)%5Crangle.%5Cend%7Balign%7D%5Ctag%7B10.53%7D$

當(dāng)a,b固定時(shí)，由于轉(zhuǎn)動(dòng)角θ取連續(xù)值，本征值acosθ+bsinθ和-asinθ+bcosθ也是連續(xù)的，因此，只要a和b不全為零，就有一系列連續(xù)的本征態(tài) $%7C%5CPsi_%7Ba%2Cb%2C%5Ctheta%7D(k%5E%5Cmu)%5Crangle$ ，但是，我們沒有觀測(cè)到無質(zhì)量粒子具有以轉(zhuǎn)動(dòng)角θ作為連續(xù)自由度的物理態(tài)。因此，自然界中的物理態(tài)是a=b=0的本征態(tài)，只由小群生成元算符 $%5Chat%20J%5E3$ 的本征值σ標(biāo)記，記作 $%7C%5CPsi_%5Csigma(k%5E%5Cmu)%5Crangle$ ，滿足：

$%5Chat%20A%7C%5CPsi_%5Csigma(k%5E%5Cmu)%5Crangle%3D0%2C%5Chat%20B%7C%5CPsi_%5Csigma(k%5E%5Cmu)%5Crangle%3D0%2C%5Chat%20J%5E3%7C%5CPsi_%5Csigma(k%5E%5Cmu)%5Crangle%3D%5Csigma%7C%5CPsi_%5Csigma(k%5E%5Cmu)%5Crangle.%5Ctag%7B10.54%7D$

對(duì)于單粒子態(tài) $%7C%5CPsi_%5Csigma(k%5E%5Cmu)%5Crangle$ ， $%5Chat%7B%5Cmathbf%20J%7D$ 是自旋角動(dòng)量算符。標(biāo)準(zhǔn)四維動(dòng)量 $k%5E%5Cmu%3D(%5Ckappa%2C0%2C0%2C%5Ckappa)$ 的空間分量k沿著z軸方向，因而σ是自旋角動(dòng)量在動(dòng)量方向的投影本征值，稱為螺旋度。

無窮小量子變換（10.41）表明：

$%5Cfrac%7B%5Cpartial%5Chat%20U%5BT(%5Calpha%2C%5Cbeta)%5D%7D%7B%5Cpartial%5Calpha%7D%5Cbigg%7C_%7B%5Calpha%3D%5Cbeta%3D0%7D%3Di%5Chat%20A%2C%5Cfrac%7B%5Cpartial%5Chat%20U%5BT(%5Calpha%2C%5Cbeta)%5D%7D%7B%5Cpartial%5Cbeta%7D%5Cbigg%7C_%7B%5Calpha%3D%5Cbeta%3D0%7D%3Di%5Chat%20B%2C%5Cfrac%7B%5Cmathrm%20d%5Chat%20U%5BR_z(%5Ctheta)%5D%7D%7B%5Cmathrm%20d%5Ctheta%7D%5Cbigg%7C_%7B%5Ctheta%3D0%7D%3Di%5Chat%20J%5E3.%5Ctag%7B10.55%7D$

由此求得：

$%5Chat%20U%5BT(%5Calpha%2C%5Cbeta)%5D%3De%5E%7Bi%5Calpha%5Chat%20A%2Bi%5Cbeta%5Chat%20B%7D%2C%5Chat%20U%5BR_z(%5Ctheta)%5D%3De%5E%7Bi%5Ctheta%5Chat%20J%5E3%7D.%5Ctag%7B10.56%7D$

由此求得一般的小群變換（10.34）為：

$%5Chat%20U%5BW(%5Calpha%2C%5Cbeta%2C%5Ctheta)%5D%3De%5E%7Bi%5Calpha%5Chat%20A%2Bi%5Cbeta%5Chat%20B%2Bi%5Ctheta%5Chat%20J%5E3%7D.%5Ctag%7B10.57%7D$

作用到單粒子態(tài) $%7C%5CPsi_%5Csigma(k%5E%5Cmu)%5Crangle$ 上，得到：

$%5Chat%20U%5BW(%5Calpha%2C%5Cbeta%2C%5Ctheta)%5D%7C%5CPsi_%5Csigma(k%5E%5Cmu)%5Crangle%3De%5E%7Bi%5Csigma%5Ctheta%7D%7C%5CPsi_%5Csigma(k%5E%5Cmu)%5Crangle.%5Ctag%7B10.58%7D$

代入（10.11）式得：

$D_%7B%5Csigma%5E%5Cprime%5Csigma%7D(W)%3De%5E%7Bi%5Csigma%5Ctheta%7D%5Cdelta_%7B%5Csigma%5E%5Cprime%5Csigma%7D.%5Ctag%7B10.59%7D$

另一方面，（10.9）式化為：

$V%5E%7B-1%7D(%5CLambda%20p)%5CLambda%20V(p)%3DW%3DT%5B%5Calpha(%5CLambda%2Cp)%2C%5Cbeta(%5CLambda%2Cp)%5DR_z%5B%5Ctheta(%5CLambda%2Cp)%5D.%5Ctag%7B10.60%7D$

這個(gè)關(guān)系決定了θ依賴于 $%7B%5CLambda%5E%5Cmu%7D_%5Cnu$ 和 $p%5E%5Cmu$ 的關(guān)系。根據(jù)（10.16）式，得到：

$%5Chat%20U(%5CLambda)%7C%5CPsi_%5Csigma(p%5E%5Cmu)%5Crangle%3D%5Cfrac%7BN(p)%7D%7BN(%5CLambda%20p)%7De%5E%7Bi%5Csigma%5Ctheta(%5CLambda%2Cp)%7D%7C%5CPsi_%5Csigma(%7B%5CLambda%5E%5Cmu%7D_%5Cnu%20p%5E%5Cnu)%5Crangle.%5Ctag%7B10.61%7D$

這個(gè)式子表明 $%7C%5CPsi_%5Csigma(p%5E%5Cmu)%5Crangle$ 與經(jīng)過量子洛倫茲變換之后的態(tài) $%5Chat%20U(%5CLambda)%7C%5CPsi_%5Csigma(p%5E%5Cmu)%5Crangle$ 具有相同的σ，也就是說，量子洛倫茲變換不會(huì)混合具有不同螺旋度的無質(zhì)量粒子態(tài)。這意味著，對(duì)無質(zhì)量粒子來說，螺旋度σ是固有保時(shí)向洛倫茲變換的不變量，在所有慣性系中取值相同。因此，無質(zhì)量粒子可根據(jù)螺旋度σ的值分類。

前面提到，固有保時(shí)向洛倫茲群 $SO%5E%5Cuparrow(1%2C3)$ 是群空間是雙連通的，與SO(3)的情況類似，群空間內(nèi)從恒元出發(fā)、經(jīng)過 $%5CLambda_1$ 和? $%5CLambda_2%5CLambda_1$ 再回到恒元的閉合曲線分為兩類，一類能連續(xù)收縮成恒元一點(diǎn)，另一類不能。可以推出類似（10.23）式的關(guān)系：

$%5Chat%20U(%5CLambda_2)%5Chat%20U(%5CLambda_1)%3D%5Cpm%5Chat%20U(%5CLambda_2%5CLambda_1).%5Ctag%7B10.62%7D$

對(duì)于無質(zhì)量粒子，（10.61）式表明，相位因子±1起源于繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng)角度θ=2π引起的 $e%5E%7B2%5Cpi%20i%5Csigma%7D$ 因子，即：

$e%5E%7B2%5Cpi%20i%5Csigma%7D%3D%5Cpm%201.%5Ctag%7B10.63%7D$

這個(gè)條件限制了無質(zhì)量粒子螺旋度的取值，要求：

$%5Csigma%3D0%2C%5Cpm%5Cfrac12%2C%5Cpm1%2C%5Cpm%5Cfrac32%2C%5Cpm2%2C%E2%80%A6%5Ctag%7B10.64%7D$

σ為整數(shù)對(duì)應(yīng)于 $SO%5E%5Cuparrow(1%2C3)$ 的線性表示，σ為半奇數(shù)對(duì)應(yīng)于 $SO%5E%5Cuparrow(1%2C3)$ 的雙值表示。由于螺旋度是自旋角動(dòng)量在動(dòng)量方向上的投影，無質(zhì)量粒子自旋量子數(shù)可?。?/p>

$s%3D%7C%5Csigma%7C%3D0%2C%5Cfrac12%2C1%2C%5Cfrac32%2C2%2C%E2%80%A6%5Ctag%7B10.65%7D$

與有質(zhì)量粒子的取值情況一樣。

于是，自旋為 s 的無質(zhì)量粒子具有 2 種自旋極化態(tài)，對(duì)應(yīng)于兩種螺旋度σ?= ±s。如果沒有額外的條件，可以把 s 相同而σ不同的兩個(gè)無質(zhì)量粒子當(dāng)作不同的粒子對(duì)待。不過，額外的條件是存在的。宇稱變換會(huì)改變 σ 的符號(hào)，而電磁相互作用、強(qiáng)相互作用和引力相互作用都保持宇稱守恒，如果無質(zhì)量粒子不具有破壞宇稱的相互作用，則螺旋度相反的兩種粒子具有相同的相互作用行為。從而，可以把它們當(dāng)作同一種粒子的兩種自由度。比如，作為電磁場(chǎng)的量子，光子是自旋為 1 的無質(zhì)量粒子，具有-1和+1兩種螺旋度，分別對(duì)應(yīng)于真空電磁波的左旋圓極化和右旋圓極化。假想的引力子是自旋為2的無質(zhì)量粒子，具有-2和+2兩種螺旋度。在標(biāo)準(zhǔn)模型中，自旋為 $%5Cfrac12$ 的中微子沒有質(zhì)量，參與破壞宇稱的弱相互作用，因而可以把螺旋度相反的兩種中微子當(dāng)作兩種粒子，螺旋度為 $-%5Cfrac12$ 的是狹義的中微子，螺旋度為 $%2B%5Cfrac12$ 的稱為反中微子。