在之前，其實我們已經(jīng)提到了ALS（即待定數(shù)組）的一些基本的使用方式和手段，但實際上待定數(shù)組還有很多話題要說，現(xiàn)在我們就來看看，ALS在鏈的章節(jié)里面會產(chǎn)生哪些有趣的內(nèi)容和知識。

Part 1?強ALS

1-1?同區(qū)域異數(shù)強關(guān)系引入

如圖所示，可以看到此時我們把r1c2(2)和r3c1(1)用強關(guān)系連起來，而它們是不同的數(shù)值。這是為什么呢？現(xiàn)在我們就來學(xué)習(xí)一下。

觀察紫色的兩個單元格r1c2和r3c1，可以發(fā)現(xiàn)此時兩個單元格只含有1、2、8三種不同的數(shù)字。如果此時假設(shè)r1c2(2)為假的時候，這兩個單元格里就沒有2了，如果再讓r3c1(1)也一并消失的話，兩個單元格就都只剩下唯一的一種候選數(shù)8，使得出錯。所以r1c2(2)為假時，需要r3c1(1)為真才行。

那么，可以發(fā)現(xiàn)r3c1(1)為真后，顯然r3c4(1)是為假的，所以形成弱關(guān)系；繼續(xù)推導(dǎo)的話，依然套用剛才的邏輯：觀察到{r12c5, r3c4}三個單元格包含1、2、3、8四種數(shù)字，而此時的r3c4(1)為假，也就意味著這三個單元格里不含有1。如果此時，這三個單元格的所有2也都消失的話，這三個單元格就同時少了兩種數(shù)字，便只剩下3和8，但這是三個單元格，填入兩個數(shù)字是顯然不夠的，所以也會矛盾。所以我們就得到了r3c4(1)=r12c5(2)的結(jié)論。

于是，這條鏈成立了：

這個例子就分析完畢了。其中可以發(fā)現(xiàn)，{r1c2, r3c1}兩個單元格包含三種不同的數(shù)字，因為最終填數(shù)是待定的，所以這兩個單元格組成了一個待定數(shù)組結(jié)構(gòu)，即一個ALS區(qū)域；同理，{r12c5, r3c4}三個單元格包含了四種不同的數(shù)字，所以填數(shù)也是不確定的，因此我們也稱為一個ALS區(qū)域。

可以從例子里看到，實際上，我們利用的ALS區(qū)域的邏輯是：n個單元格里包含(n + 1)種不同的候選數(shù)，如果少掉其中的兩種，就會變?yōu)?n - 1)種候選數(shù)，使得無法填滿n個單元格，進而出錯的結(jié)果。這便是ALS的核心。

另外，這個結(jié)構(gòu)的頭尾各使用了一個ALS，而中間用了弱關(guān)系連起來，是一個長度為3的鏈。我們把長度為3，且內(nèi)部的兩個強關(guān)系都產(chǎn)生自ALS的鏈稱為ALS-XZ法則（或ALS-雙強鏈法則，ALS-XZ Rule）。X和Z都表示涉及的數(shù)值，其中X是弱關(guān)系涉及的數(shù)，而Z是鏈頭和鏈尾兩端涉及的數(shù)。

實際上，ALS分兩種，強ALS和弱ALS。為了和后續(xù)的內(nèi)容作出區(qū)分，我們強制稱這個結(jié)構(gòu)為強ALS（Strong ALS，但一般都簡稱為ALS，而它一般不簡稱為SALS），因為在后面的內(nèi)容里，ALS內(nèi)存在一種與之相反的弱ALS（Weak ALS，簡稱WALS），這種ALS只產(chǎn)生弱關(guān)系。一般來說，只要我們不強調(diào)它和弱ALS的邏輯和定義不同，我們都直接簡稱之為ALS。

另外，你可能會有一種感覺，之前的假設(shè)推理都是“順序確切的”，也就是推導(dǎo)到這里的時候，一定能確定是某個節(jié)點為真（因為是共軛對的關(guān)系，前面假后面就必須為真），而此時我們感覺這個結(jié)構(gòu)里兩個數(shù)之間的這種關(guān)系還差一點。比如這兩個單元格里同樣包含數(shù)字8。如果此時我們假設(shè)r1c2和r3c1兩個8全消失的話，兩個單元格也只剩下數(shù)字1可填，而且其中r1c2還沒有候選數(shù)了，也照樣會出錯。那豈不是我還可以得到r1c2(2)={r1c2, r3c1}(8)的結(jié)論？準確的答案是，是的。強弱關(guān)系并不需要確切的順序得到，如果像是上面這種邏輯，我們照樣可以得到一樣的結(jié)果，因為在強弱關(guān)系的敘述文字里，我們并未提到在推導(dǎo)過程里，節(jié)點之間必須是明確的順次推導(dǎo)關(guān)系。比如這里，我們完全可以走候選數(shù)8的方向；當然，這個8是兩個不同行列的單元格，用起來不方便而已，但客觀來說，強關(guān)系確實是形成了。

那么，你真的了解ALS這個縮寫嗎？我相信大多數(shù)小伙伴在讀到這里都是把這個詞匯死記硬背記住的。ALS實際上是Almost Locked Set的縮寫，而Locked Set，實際上是數(shù)組在早期的英文稱呼，現(xiàn)在數(shù)組被廣泛采用“子集”一詞（Subset），所以這個說法應(yīng)當為Almost Subset。而為了保持兼容性（保留原始說法以照顧以前的習(xí)慣），故這個說法繼續(xù)采用了Locked Set這個古老的說法；當然，你也可以采用Almost Subset這種說法。不過，可以看到它們的縮寫一個是ALS，一個則是AS，差距并不大，而表示同一個東西難免會讓人覺得不好理解，所以注意區(qū)分和辨別。

1-2?ALS-XZ和偽數(shù)組

我們再來看一則示例。

如圖所示，首先我們觀察到，r2c169三個單元格包含3、6、8、9四種數(shù)字，現(xiàn)在以r2c6(3)為假作為鏈的起點。假設(shè)它為假后，對于r2c9(8)而言，它必須為真，否則3和8沒有了之后，三個單元格里就只剩下了兩種數(shù)字，填不滿導(dǎo)致出錯。所以形成了強關(guān)系；然后用弱關(guān)系連接上r1c7(8)后，因為r1c7是雙值格的關(guān)系，顯然r1c7(3=8)成立，所以整體的鏈就成立了，刪數(shù)則是r2c6(3)和r1c7(3)的交集。

可以看到，這一則示例如果我們不使用鏈的視角，把鏈的線條去掉，并把8的涂色也去掉之后，{r1c7, r2c169}四個單元格將可以構(gòu)成偽數(shù)組結(jié)構(gòu)：四個單元格里，除了數(shù)字3以外，其余的數(shù)字都只出現(xiàn)在一個區(qū)域里，即它們不可能有重復(fù)的填數(shù)情況，唯獨只有這里的3。而根據(jù)填數(shù)情況來分析可以發(fā)現(xiàn)，3必須至少有一個要出現(xiàn)，否則填不滿四個單元格。所以刪除掉數(shù)字3的交集。

所以，偽數(shù)組可以轉(zhuǎn)為ALS-雙強鏈結(jié)構(gòu)，并且轉(zhuǎn)換方式是，把其中單獨跨區(qū)的那一個單元格分開單獨作為一個ALS；而剩下的單元格就必定在同一區(qū)域了，所以它們作為一個區(qū)域，于是我們連上強弱關(guān)系就可以形成ALS-XZ結(jié)構(gòu)了。

實際上，ALS最小可以只涉及一個單元格（只要這個單元格是雙值格，我們就可以使用ALS，因為從定義來看，它確實也符合條件，并且可以運用強關(guān)系：如果兩數(shù)同假，則“1個單元格只包含0個候選數(shù)”，這一點也都是符合剛才所說的推理過程的；而最多只能到8個單元格（因為此時最多包含了9種候選數(shù)，也就是最大情況），不過實際上，這種結(jié)構(gòu)很少被使用，一般這種結(jié)構(gòu)都得不到什么合適的結(jié)論。

1-3?孿生ALS-XZ

如圖所示，我們來看這兩則示例，這兩則示例實際上是同一個題，而且結(jié)構(gòu)大部分內(nèi)容都是一樣的。

我們先來理解第一個示例，寫出它的文本表示形式。

在第一個示例里，是以r89c8(1)作為區(qū)塊節(jié)點起頭，假設(shè)為假的，顯然，r89c8兩個單元格里只有1、7、8三種候選數(shù)，而如果r89c8(1)區(qū)塊節(jié)點為假，而且r8c8(7)也為假的話，則這兩個單元格就只剩下8這一種數(shù)字，顯然矛盾了；所以說r89c8(1)為假的時候，對于r8c8(1)來說就必須為真，所以它們形成強關(guān)系；然后，r5c8(7)和r46c9(1)的邏輯同理。

而第二個例子：

可以從例子看到，這里涉及了一個“拐彎的區(qū)塊”。我們嘗試把它看作和之前BUG區(qū)塊類型的那種“廣義的區(qū)塊”一樣的邏輯，把它們視為一起，那么這種結(jié)構(gòu)如果為真或為假兩種情況確實和普通的區(qū)塊節(jié)點的邏輯是一模一樣的。由于三個單元格同宮，所以視為一個節(jié)點后，它為假就只能使得其中沒有任意一個單元格填入這個數(shù)；反之，如果這個節(jié)點為真，則也意味著其中只有一個單元格填入這個數(shù)，這個說法和區(qū)塊節(jié)點的思維完全一樣。所以我們干脆就把它也稱為區(qū)塊節(jié)點。

首先，r89c8(8)=r8c8(7)是顯然的（這一點在上一情況已經(jīng)講到過）；而對于r5c8(7)={r4c9, r5c89}(8)，也是成立的：現(xiàn)在r5c8(7)是為假的，如果繼續(xù)向下推理，如果{r4c9. r5c89}(8)這個節(jié)點也為假的話，就意味著里面沒有一個單元格能放下8，此時8也沒有了，而細數(shù){r5c8, r456c9}四個單元格，里面一共是1、3、4、7、8五種數(shù)字，而此時由于兩個節(jié)點同假的假設(shè)的關(guān)系，四個單元格里同時少了全部的7和8，導(dǎo)致只剩下了1、3、4三種數(shù)，而它必須放在這四個單元格里，這樣顯然是不夠放下的。所以，這樣便出現(xiàn)了矛盾。

可以看到，兩個情況下，除了開頭和結(jié)尾的節(jié)點不一致以外，弱關(guān)系相連的數(shù)字7是完全一樣的節(jié)點，而切換到不同的頭尾，就會產(chǎn)生不同的刪數(shù)，我們稱之為孿生ALS-XZ（Siamese ALS-XZ），孿生一詞已經(jīng)在鏈列（魚）結(jié)構(gòu)里出現(xiàn)過，正好表達的是“大部分結(jié)構(gòu)相同，而不同的地方能導(dǎo)致不同的刪數(shù)”之意。而實際上，這種結(jié)構(gòu)和孿生鏈列一樣，我們依然可以合并為一個圖，如圖所示。請你思考一下這個合并的示例如果整體，應(yīng)該如何推理。