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5.20特輯：心臟線

2022-09-27 23:39 作者:我恨PDN定理 0人讀過(guò) | 我要投稿

（本篇為作者在5.20所作的特輯）

一、定義
心臟線，也稱心形線，是外擺線的一種，亦為蚶線的一種，是一個(gè)圓上的固定一點(diǎn)在它繞著與其相切且半徑相同的另外一個(gè)圓周滾動(dòng)時(shí)所形成的軌跡，因其形狀像心形而得名。
二、軌跡方程
由心臟線定義，不難得到下面這張圖：

圖中 $O_1$ 、 $O_2$ 為兩個(gè)半徑相等的相切的圓的圓心，不妨令 $P_1$ 為極點(diǎn)，且初始時(shí) $P_2$ 與 $P_1$ 對(duì)應(yīng)，那么不難得到， $P_1$ $P_2$ // $O_1$ $O_2$ ，此時(shí)對(duì)應(yīng)的 $%5Crho%20$ 與 $%5Ctheta%20$ 不難求出關(guān)系，在這種情況下的通式為： $%5Crho%20%3Da%5Ccdot(1%2Bcos%5C%3B%5Ctheta%20)$ ，于是完成了對(duì)心臟線軌跡方程的推導(dǎo)
三、心臟線的面積與周長(zhǎng)
在這里以 $%5Crho%20%3Da%5Ccdot(1%2Bcos%5C%2C%5Ctheta%20)$ 為例，因?yàn)槠鋱D像關(guān)于極軸對(duì)稱，故在取范圍時(shí)只取 $%5B0%5C%2C%2C%5C%2C%5Cpi%20%5D$ ，過(guò)程如下：

$dA%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%5Ccdot%5Crho%20%5E2(%5Ctheta)%5C%2Cd%5Ctheta$

$A%3D%5Cint%7BdA%7D%3D%5Cint%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%5Ccdot%5Crho%20%5E2(%5Ctheta)%5C%3Bd%5Ctheta%3D%5Cfrac%7Ba%5E2%7D%7B2%7D%5Cint_0%5E%5Cpi%7B(1%2Bcos%5Ctheta)%5E2%7D%5C%2Cd%5Ctheta%3D%5Cfrac%7B3a%5E2%7D%7B4%7D%5Cpi$

$A'%3D2A%3D%5Cfrac%7B3a%5E2%7D%7B2%7D%5Cpi$

$%5Cbegin%7Bcases%7D%0Ax%3D%5Crho%5C%2C(%5Ctheta)%5Ccdot%20cos%5Ctheta%20%5C%5C%0Ay%3D%5Crho%5C%2C(%5Ctheta)%5Ccdot%20sin%5Ctheta%20%20%5C%5C%0A%5Cend%7Bcases%7D$

$ds%3D%5Csqrt%7B%5Crho%20%5E2(%5Ctheta)%2B%5Crho%7B'%7D%5E2(%5Ctheta)%7D%5Ccdot%20d%5Ctheta$

$s%3D%5Cint%7Bds%7D%3D%5Cint%7B%5Csqrt%7B%5Crho%20%5E2(%5Ctheta)%2B%5Crho%7B'%7D%5E2(%5Ctheta)%7D%5Ccdot%20d%5Ctheta%7D%3D%5Csqrt%7B2%7Da%5Ccdot%5Cint_0%5E%5Cpi%7B%5Csqrt%7B1%2Bcos%5Ctheta%7D%7D%5C%3Bd%5Ctheta%3D4a$