601深夜研討會-m-1

2021-05-14 04:18 作者:ABA在睡覺 0人讀過 | 我要投稿

先在前面寫點廢話，這大概是一個新的專欄，會記錄點經(jīng)過我們寢室討論的覺得有意思的數(shù)學(xué)題，本來說是讓另外的一個室友TYC發(fā)他的知乎專欄里面去，結(jié)果這人一直沒抽出空，再加上不知道為啥B站大發(fā)良心，給專欄增添了支持代碼輸入和LaTeX輸入的模塊，所以我就把這活給接過來了，這個專欄的第一篇是一個有定論了的實變問題，之后的第二篇和第三篇大概率都是一個點拓問題，不過得等到我們徹底搞懂再說。

目前看來，這個601深夜研討會的常客會有四位：ABA，TYC，SPF和LWX(不過經(jīng)常網(wǎng)不好不在線就是了)，然后之后一些我們沒討論出題目的題目我們應(yīng)該也會去多找點特邀嘉賓來做客601深夜研討會。然后這學(xué)期主要討論的問題會集中在點集拓撲和實變函數(shù)。

好了速度正題。

題目：

設(shè) $G$ 是 $%5Cmathbb%7BR%7D$ 中的非空開集，問 $%5C%3Bm(%5Coverline%7BG%7D)%3Dm(G)%5C%3B$ 是否成立？

然后我們干脆直接快速的給出一個正確的答案：

不成立，考慮如下反例

記 $%5C%3B%5Cmathbb%7BQ%7D%3D%5C%7Br_n%5C%7D_%7Bn%3D1%7D%5E%7B%5Cinfty%7D$ ， $G%3D%5Cbigcup_%7Bn%3D1%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%0A%20(r_n-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%5En%7D%20%2Cr_n%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%5En%7D)$

自然有 $%5C%3B%5Coverline%7BG%7D%3D%5Cmathbb%7BR%7D$

且 $%5C%3Bm(G)%20%5Cleqslant%20%20%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%5Cinfty%20%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%5E%7Bn-1%7D%7D%20%3D2%3Cm(%5Coverline%7BG%7D)$ ，與題意不符

但是之所以要拿出來講這個題，那必然是有值得一提的東西。

首先我們要來看一個錯誤的做法：

成立，證明如下：

首先：

$G%5Csubseteq%20%5Coverline%7BG%7D%20%5CRightarrow%20m(G)%5Cleqslant%20m(%5Coverline%7BG%7D)%5C%3B%5Ccdots%0A%5Cast$

其次：

對 $%5C%3B%5Cmathbb%7BR%7D%5C%3B%0A$ 上的開集 $%5C%3BG%5C%3B$ 必有 $%5C%3BG%3D%5Cbigcup_%7Bn%3D1%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%20(a_n%2Cb_n)$ ，其中， $%5C%3B(a_n%2Cb_n)%5C%3B$ 是兩兩不交的開區(qū)間

而自然由 $G$ 的形式可知： $%5C%3B%5Coverline%7BG%7D%3D%5Cbigcup_%7Bn%3D1%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%20%5Ba_n%2Cb_n%5D%5C%3B$

且有： $%5C%3B%5Coverline%7BG%7D%20%3D%20G%5C%2C%5Ccup%20%5C%2C%5Cpartial%20G$ ，其中， $%5C%3B%5Cpartial%20G%20%3D%5C%7Ba_n%2Cb_n%5Cmid%20n%5Cin%20%5Cmathbb%7BN%5E%2B%7D%5C%7D$

顯然， $%5C%3B%5Cpartial%20G%5C%3B$ 是可數(shù)集，因此 $%5C%3B%5Cpartial%20G%5C%3B$ 是零測集，即 $%5C%3Bm(%5Cpartial%20G)%20%3D%200%5C%3B$

所以 $%5C%3Bm(%5Coverline%7BG%7D)%20%5Cleqslant%20m(G)%2Bm(%5Cpartial%20G)%3Dm(G)%5Ccdots%5Cast$

綜合兩個 $%5Cast$ 式可知： $m(G)%20%3D%20m(%5Cpartial%20G)$

既然是研討會，那干巴巴的把題講了就沒什么意思了，所以后面我來講講我們當(dāng)時的研討會的情況。

TYC是堅定的第二種做法黨派，SPF是堅定的第一種做法黨派，而ABA(也就是我了)是作業(yè)上寫著第二種做法但是覺得第一種好像也很有道理的搖擺派，而我們爭論的焦點在于，對于第一種做法里面構(gòu)造出的 $%5C%3BG%5C%3B$ 是否是存在的，我當(dāng)時的想法是這個集合既然是從形式上進行的構(gòu)造，那么按邏輯上來說確實是一個符合題意的開集。但是TYC覺得正是因為這個 $%5C%3BG%5C%3B$ 是在測度上存在奇怪的矛盾，所以這樣的 $%5C%3BG%5C%3B$ 是不存在的，并且提出來一個比較關(guān)鍵的問題： $%5C%3BG%5C%3B$ 是否就是 $%5C%3B%5Cmathbb%7BR%7D%5C%3B$ 。

顯然的， $%5C%3B%5Cmathbb%7BQ%7D%5Csubseteq%20%5Cmathbb%7BR%7D%5C%3B$ ，因此，是否存在一個無理數(shù) $%5C%3Ba%5C%3B$ ，使得 $%5C%3Ba%5Cnotin%20%20G%5C%3B$ ，就成了我們需要討論的兩個重點之一，而另外一個重點則自然是第一種做法的可能存在錯誤在哪里？

TYC認為不存在這樣的 $%5C%3Ba%5C%3B$ ，是基于實數(shù)的稠密性的考慮，在這里，任意一個無理數(shù)都存在一個距離“無限小”的有理數(shù)，因此任意無理數(shù)一定會存在于某一個 $%5C%3B(r_n-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%5En%7D%2Cr_n%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%5En%7D%20)%5C%3B$ 。但事實上，上述考慮是存在一定的邏輯問題，因為 $%5C%3B(r_n-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%5En%7D%2Cr_n%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%5En%7D%20)%5C%3B$ 同樣是個區(qū)間長度會趨近于0的集列，因此兩個“無限小”不能進行邏輯上的比較。

為了更加直觀的舉出例子，我考慮了這樣一個例子： $%5C%3Ba%3D%5Csqrt%7B2%7D%20%5C%3B$ ，并從此開始反向構(gòu)造。

$r_1%20%3D%201$ ， $r_2%20%3D%201.4$ ， $r_3%20%3D%201.41$ ， $%5Ccdots$

同時將原構(gòu)造中的 $%5C%3B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%5En%7D%20%5C%3B$ 更改為 $%5C%3B%5Cfrac%7B1%7D%7B20%5En%7D%20%20$

如此構(gòu)造之后，不難發(fā)現(xiàn) $%5C%3Ba%3D%5Csqrt%7B2%7D%20%5C%3B%5Cnotin%20G$

那么在解決了這個問題之后，我們就需要去找出第一種做法種存在的漏洞，事實上，第一種做法并不如我現(xiàn)在所展示的這般簡潔，存在著一些繞彎路的地方，因此這為我們找出漏洞增添了許多痛苦，不過所幸最終倒也是找到了。我和TYC對 $%5C%3BG%5C%3B$ 的閉包存在嚴(yán)重的問題， $%5C%3BG%5C%3B$ 的閉包事實上是不能被表示為 $%5C%3B%5Cbigcup_%7Bn%3D1%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%20%5Ba_n%2Cb_n%5D%5C%3B$ ，更進一步， $%5C%3B%5Cbigcup_%7Bn%3D1%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%20%5Ba_n%2Cb_n%5D%5C%3B$ 甚至并不一定表示了一個閉集。