【銀蛇出品】數(shù)學(xué)漫談12——通過極坐標(biāo)變換進(jìn)行的對(duì)坐標(biāo)變換和梯度算子的考察

2021-08-19 12:14 作者:山舞_銀蛇 0人讀過 | 我要投稿

前置知識(shí)：向量與矩陣運(yùn)算、線性空間、多元函數(shù)微分學(xué)

前言：坐標(biāo)變換和基變換是線性代數(shù)中的一個(gè)基本問題．如果引入分析學(xué)的工具——微積分，就可以對(duì)坐標(biāo)變換問題進(jìn)行更深入地考察，從而建立適合于不同坐標(biāo)系下的物理工程模型，進(jìn)而解決之．問題是，十分重要的一個(gè)微分算子——梯度算子 $%5Cnabla$ 是怎樣的？我們首先給出一個(gè)經(jīng)典而便于理解的推導(dǎo)過程，然后再通過重新審視基這一概念，引出另一套更普遍的推導(dǎo)過程，而這個(gè)推導(dǎo)過程事實(shí)上將是適用于一切Riemann流形的．最后，引入度量張量（度量矩陣），以簡(jiǎn)要的介紹作為結(jié)束．

關(guān)鍵內(nèi)容：坐標(biāo)變換、梯度算子、度量張量

????我們的討論從大家再熟悉不過的極坐標(biāo)變換開始．設(shè) $%5Cmathbb%7BR%7D%5E2$ 下的向量 $%5Cboldsymbol%7Br%7D$ 在直角坐標(biāo)系下可表示為 $%5Cboldsymbol%7Br%7D%3Dx%5Cboldsymbol%7Be%7D_x%2By%5Cboldsymbol%7Be%7D_y$ ，在極坐標(biāo)系下可表示為 $%5Cboldsymbol%7Br%7D%3Dr%5Cboldsymbol%7Be%7D_r%7B%7D%5E%7B%5B1%5D%7D$ ，于是有

代入極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的變換關(guān)系式 $%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7D%0A%09x%3Dr%5Ccos%5Ctheta%5C%5C%0A%09y%3Dr%5Csin%5Ctheta%0A%09%5Cend%7Barray%7D%5Cright.$ 得

$%5Cleft(%5Cbegin%7Barray%7D%7Bcc%7D%0A%09%5Cboldsymbol%7Be%7D_x%26%5Cboldsymbol%7Be%7D_y%0A%09%5Cend%7Barray%7D%5Cright)%5Cleft(%5Cbegin%7Barray%7D%7Bc%7D%0A%09r%5Ccos%5Ctheta%5C%5Cr%5Csin%5Ctheta%0A%09%5Cend%7Barray%7D%5Cright)%3D%0A%09%5Cleft(%5Cbegin%7Barray%7D%7Bcc%7D%0A%09%5Cboldsymbol%7Be%7D_x%26%5Cboldsymbol%7Be%7D_y%0A%09%5Cend%7Barray%7D%5Cright)%5Cleft(%5Cbegin%7Barray%7D%7Bcc%7D%0A%09%5Ccos%5Ctheta%20%26%20%3F%5C%5C%0A%09%5Csin%5Ctheta%20%26%20%3F%0A%09%5Cend%7Barray%7D%5Cright)%5Cleft(%5Cbegin%7Barray%7D%7Bc%7D%0A%09r%5C%5C0%0A%09%5Cend%7Barray%7D%5Cright)%3D%0A%09%5Cleft(%5Cbegin%7Barray%7D%7Bcc%7D%0A%09%5Cboldsymbol%7Be%7D_r%26%5Cboldsymbol%7Be%7D_%5Ctheta%0A%09%5Cend%7Barray%7D%5Cright)%5Cleft(%5Cbegin%7Barray%7D%7Bc%7D%0A%09r%5C%5C0%0A%09%5Cend%7Barray%7D%5Cright)$

由此知

$%5Cboldsymbol%7Be%7D_r%3D%5Ccos%5Ctheta%5Cboldsymbol%7Be%7D_x%2B%5Csin%5Ctheta%5Cboldsymbol%7Be%7D_y$

記為式(1)．但我們還不能確定 $%5Cboldsymbol%7Be%7D_%5Ctheta$ 的形式．過渡矩陣中的“?”處只要是有限量，則該式一定成立，我們需要考慮推導(dǎo)或定義 $%5Cboldsymbol%7Be%7D_%5Ctheta$ ．

????回憶在普通物理學(xué)中極坐標(biāo)系下對(duì)速度的推導(dǎo)過程，我們定義了 $%5Cdfrac%7B%5Cpartial%20%5Cboldsymbol%7Be%7D_r%7D%7B%5Cpartial%20%5Ctheta%7D%3D%5Cboldsymbol%7Be%7D_%5Ctheta%7B%7D%5E%7B%5B2%5D%7D$ ，于是有

$%5Cboldsymbol%7Be%7D_%5Ctheta%3D-%5Csin%5Ctheta%5Cboldsymbol%7Be%7D_x%2B%5Ccos%5Ctheta%5Cboldsymbol%7Be%7D_y$

記為式(2)．這樣定義的好處是， $%5Cboldsymbol%7Be%7D_r%2C%5Cboldsymbol%7Be%7D_%5Ctheta$ 構(gòu)成單位正交基，對(duì)定量計(jì)算來說是十分方便的．

問題1. 求此時(shí)極坐標(biāo)系下的 $%5Cdfrac%7B%5Cpartial%20%5Cboldsymbol%7Be%7D_r%7D%7B%5Cpartial%20r%7D%2C%5Cdfrac%7B%5Cpartial%20%5Cboldsymbol%7Be%7D_r%7D%7B%5Cpartial%20%5Ctheta%7D%2C%5Cdfrac%7B%5Cpartial%20%5Cboldsymbol%7Be%7D_%5Ctheta%7D%7B%5Cpartial%20r%7D%2C%5Cdfrac%7B%5Cpartial%20%5Cboldsymbol%7Be%7D_%5Ctheta%7D%7B%5Cpartial%20%5Ctheta%7D$ ．

????到這里，我們已經(jīng)能夠?qū)O坐標(biāo)系下的向量函數(shù)求導(dǎo)了．

????繼續(xù)考慮梯度算子 $%5Cnabla$ ．在直角坐標(biāo)系下，我們定義

$%5Cnabla%3D%5Cboldsymbol%7Be%7D_x%5Cfrac%7B%5Cpartial%7D%7B%5Cpartial%20x%7D%2B%5Cboldsymbol%7Be%7D_y%5Cfrac%7B%5Cpartial%7D%7B%5Cpartial%20y%7D$

記為式(3)，并認(rèn)為它是一個(gè)向量．通過復(fù)雜的變量代換和偏導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t，我們能夠求出在極坐標(biāo)系下

$%5Cnabla%3D%5Cboldsymbol%7Be%7D_r%5Cfrac%7B%5Cpartial%7D%7B%5Cpartial%20r%7D%2B%5Cboldsymbol%7Be%7D_%5Ctheta%5Cfrac%7B1%7D%7Br%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial%7D%7B%5Cpartial%20%5Ctheta%7D$

記為式(4)．式(4)的結(jié)果比較簡(jiǎn)潔，并且可以觀察到梯度算子的形式在極坐標(biāo)系下發(fā)生了變化．雖然結(jié)果正確，但是求導(dǎo)過程繁瑣，也體現(xiàn)不出背后的數(shù)學(xué)原理．如果要求球坐標(biāo)系下梯度算子表達(dá)式，工作量還是很大的．

????我們考慮對(duì)梯度算子進(jìn)行推廣，先給出一種推廣定義：

定義1. 令梯度算子 $%5Cnabla$ 滿足 $%5Cnabla%20f%5Ccdot%5Cmathrm%7Bd%7D%5Cboldsymbol%7Br%7D%3D%5Cmathrm%7Bd%7D%20f$ ．

可代入直角坐標(biāo)的情形進(jìn)行檢驗(yàn)，進(jìn)而說明該推廣定義的合理性．

????接下來我們可以考慮極坐標(biāo)的情形，進(jìn)一步檢驗(yàn)定義1的合理性．

問題2. 從定義1出發(fā)，求極坐標(biāo)系下的梯度算子 $%5Cnabla$ 的表達(dá)式．

????分別考察 $%5Cnabla%20f%2C%5Cmathrm%7Bd%7D%5Cboldsymbol%7Br%7D%2C%5Cmathrm%7Bd%7D%20f$ ，其中 $f$ 是任意可微函數(shù)．

????設(shè) $%5Cnabla%20f%3Df_r%5Cboldsymbol%7Be%7D_r%2Bf_%5Ctheta%5Cboldsymbol%7Be%7D_%5Ctheta$ ．

????利用問題1的結(jié)果， $%5Cmathrm%7Bd%7D%5Cboldsymbol%7Br%7D%3D%5Cmathrm%7Bd%7D(r%5Cboldsymbol%7Be%7D_r)%3D%5Cmathrm%7Bd%7D%20r%5Cboldsymbol%7Be%7D_r%2Br%5C%2C%5Cmathrm%7Bd%7D%5Cboldsymbol%7Be%7D_r%3D%5Cmathrm%7Bd%7D%20r%5Cboldsymbol%7Be%7D_r%2Br%5C%2C%5Cmathrm%7Bd%7D%5Ctheta%5Cboldsymbol%7Be%7D_%5Ctheta$ ．

????于是定義式左邊為 $f_r%5C%2C%5Cmathrm%7Bd%7D%20r%2Brf_%5Ctheta%5C%2C%5Cmathrm%7Bd%7D%5Ctheta$ ．

????根據(jù)偏導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t， $%5Cmathrm%7Bd%7D%20f%3D%5Cdfrac%7B%5Cpartial%20f%7D%7B%5Cpartial%20r%7D%5Cmathrm%7Bd%7D%20r%2B%5Cdfrac%7B%5Cpartial%20f%7D%7B%5Cpartial%5Ctheta%7D%5Cmathrm%7Bd%7D%5Ctheta$ ．

????兩邊對(duì)應(yīng)得 $f_r%3D%5Cdfrac%7B%5Cpartial%20f%7D%7B%5Cpartial%20r%7D%2Cf_%5Ctheta%3D%5Cdfrac%7B1%7D%7Br%7D%5Cdfrac%7B%5Cpartial%20f%7D%7B%5Cpartial%5Ctheta%7D$ ，即 $%5Cnabla%20%3D%5Cboldsymbol%7Be%7D_r%5Cdfrac%7B%5Cpartial%7D%7B%5Cpartial%20r%7D%2B%5Cboldsymbol%7Be%7D_%5Ctheta%5Cdfrac%7B1%7D%7Br%7D%5Cdfrac%7B%5Cpartial%7D%7B%5Cpartial%20%5Ctheta%7D$ ．

????這種算法的計(jì)算量已經(jīng)比純變量代換的小很多了．但是注意，這種推導(dǎo)方式依賴于 $%5Cmathrm%7Bd%7D%5Cboldsymbol%7Br%7D$ 的形式，如果不能給出 $%5Cmathrm%7Bd%7D%5Cboldsymbol%7Br%7D$ 的準(zhǔn)確表達(dá)式，這些計(jì)算就無從談起．舉一個(gè)很常見的例子：在球坐標(biāo)系中，我們?nèi)绾味x $%5Cboldsymbol%7Be%7D_%5Ctheta%2C%5Cboldsymbol%7Be%7D_%5Cvarphi$ 及其導(dǎo)數(shù)？三維空間中的幾何法還是不夠直觀，推導(dǎo)起來比較麻煩．如果費(fèi)了很大力氣推導(dǎo)出來然后記住也不是不可以，但該方法普適性不好，每遇到一個(gè)新的坐標(biāo)系都要重新推導(dǎo)．就算是分析清楚了一切三維空間中的坐標(biāo)系，那遇到高維空間怎么辦？

????于是我們?cè)倏紤]其它推廣梯度算子的方式：

定義2. 令梯度算子 $%5Cnabla$ 滿足 $%5Cnabla%20f%5Ccdot%5Cboldsymbol%7Be%7D_i%3D%5Cdfrac%7B%5Cpartial%20f%7D%7B%5Cpartial%20x_i%7D$ ，其中 $%5Cboldsymbol%7Be%7D_i$ 為第 $i$ 個(gè)基向量， $x_i$ 為相應(yīng)的坐標(biāo)， $i%3D1%2C2%2C...%2Cn$ ．

????這種推廣定義更加自然，不依賴于基向量的微分．同樣，代入直角坐標(biāo)的情形可說明其合理性．

問題3. 從定義2出發(fā)，求極坐標(biāo)系下的梯度算子 $%5Cnabla$ 的表達(dá)式．

????仍設(shè) $%5Cnabla%20f%3Df_r%5Cboldsymbol%7Be%7D_r%2Bf_%5Ctheta%5Cboldsymbol%7Be%7D_%5Ctheta$ ．

????根據(jù)定義2容易推出 $f_r%3D%5Cdfrac%7B%5Cpartial%20f%7D%7B%5Cpartial%20r%7D%2Cf_%5Ctheta%3D%5Cdfrac%7B%5Cpartial%20f%7D%7B%5Cpartial%20%5Ctheta%7D$ ．

很顯然這個(gè)結(jié)果是錯(cuò)誤的．

????問題出在哪里呢？我們審視一下導(dǎo)致前邊推導(dǎo)出現(xiàn)矛盾的假設(shè)：

????i. $%5Cdfrac%7B%5Cpartial%20%5Cboldsymbol%7Be%7D_r%7D%7B%5Cpartial%20%5Ctheta%7D%3D%5Cboldsymbol%7Be%7D_%5Ctheta$ ；

????ii. $%5Cnabla%20f%5Ccdot%5Cboldsymbol%7Be%7D_i%3D%5Cdfrac%7B%5Cpartial%20f%7D%7B%5Cpartial%20x_i%7D$ ．

我們始終默認(rèn)假設(shè)i是正確的．現(xiàn)在打開腦洞，考慮一下承認(rèn)假設(shè)ii，否決假設(shè)i的情形．

????否定了假設(shè)i，就要重新考慮如何定義 $%5Cboldsymbol%7Be%7D_%5Ctheta$ ．

????觀察式(1)，它可以改寫為

$%5Cboldsymbol%7Be%7D_r%3D%5Cfrac%7B%5Cpartial%20x%7D%7B%5Cpartial%20r%7D%5Cboldsymbol%7Be%7D_x%2B%5Cfrac%7B%5Cpartial%20y%7D%7B%5Cpartial%20r%7D%5Cboldsymbol%7Be%7D_y$

記為式(1')．如果我們令 $%5Cboldsymbol%7Be%7D_i%3D%5Cdfrac%7B%5Cpartial%7D%7B%5Cpartial%20x_i%7D%7B%7D%5E%7B%5B3%5D%7D$ ，就會(huì)得到一個(gè)非常有趣的結(jié)果

$%5Cfrac%7B%5Cpartial%7D%7B%5Cpartial%20r%7D%3D%5Cfrac%7B%5Cpartial%20x%7D%7B%5Cpartial%20r%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial%7D%7B%5Cpartial%20x%7D%2B%5Cfrac%7B%5Cpartial%20y%7D%7B%5Cpartial%20r%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial%7D%7B%5Cpartial%20y%7D$

記為式(5)．姑且不管這種變換的理由，我們能夠發(fā)現(xiàn)一個(gè)事實(shí)，式(5)在形式上滿足偏導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t．根據(jù)這種思想，我們能夠?qū)懗龌蛄?img type="latex" class="latex" src="https://api.bilibili.com/x/web-frontend/mathjax/tex?formula=%5Cboldsymbol%7Be%7D_%5Ctheta" alt="%5Cboldsymbol%7Be%7D_%5Ctheta">的形式

$%5Cboldsymbol%7Be%7D_%5Ctheta%3D%5Cfrac%7B%5Cpartial%7D%7B%5Cpartial%5Ctheta%7D%3D%5Cfrac%7B%5Cpartial%20x%7D%7B%5Cpartial%5Ctheta%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial%7D%7B%5Cpartial%20x%7D%2B%5Cfrac%7B%5Cpartial%20y%7D%7B%5Cpartial%5Ctheta%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial%7D%7B%5Cpartial%20y%7D%3D-r%5Csin%5Ctheta%5Cboldsymbol%7Be%7D_x%2Br%5Ccos%5Ctheta%5Cboldsymbol%7Be%7D_y$

記為式(6)．這種定義方式與式(2)是不同的，式(2)相當(dāng)于式(6)進(jìn)行了歸一化．另外可以檢驗(yàn)，式(2)是不符合定義式(5)的．通過式(5)，我們可以方便地對(duì)每一種坐標(biāo)變換導(dǎo)出唯一一組基向量．

????這種定義的思想的新穎之處在于，基向量描述了一部分關(guān)于度量的信息，而不必強(qiáng)制要求基向量是歸一化的．

????再次考察定義1和定義2兩種梯度算子推廣定義的合理性．

問題4. 分別用定義1和定義2驗(yàn)證極坐標(biāo)系下的梯度算子 $%5Cnabla$ 的表達(dá)式．

計(jì)算結(jié)果顯示，定義式(5)所定義的極坐標(biāo)的基向量能夠完美兼容這兩種定義．更小的計(jì)算量和思考量以及更好的普適性顯示出了定義2及 $%5Cboldsymbol%7Be%7D_i%3D%5Cdfrac%7B%5Cpartial%7D%7B%5Cpartial%20x_i%7D$ 的優(yōu)越性．

問題5. 考察球坐標(biāo)系下的梯度算子 $%5Cnabla$ 的表達(dá)式．

????設(shè)球坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系的變換式為 $%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dr%5Csin%5Cvarphi%5Ccos%5Ctheta%5C%5C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20y%3Dr%5Csin%5Cvarphi%5Csin%5Ctheta%5C%5C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20z%3Dr%5Ccos%5Cvarphi%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cend%7Barray%7D%5Cright.$ ，容易推出

$%5Cbegin%7Balign*%7D%0A%09%09%09%5Cboldsymbol%7Be%7D_r%26%3D%5Csin%5Cvarphi%5Ccos%5Ctheta%5Cboldsymbol%7Be%7D_x%2B%5Csin%5Cvarphi%5Csin%5Ctheta%5Cboldsymbol%7Be%7D_y%2B%5Ccos%5Cvarphi%5Cboldsymbol%7Be%7D_z%5C%5C%0A%09%09%09%5Cboldsymbol%7Be%7D_%5Cvarphi%26%3Dr%5Ccos%5Cvarphi%5Ccos%5Ctheta%5Cboldsymbol%7Be%7D_x%2Br%5Ccos%5Cvarphi%5Csin%5Ctheta%5Cboldsymbol%7Be%7D_y-r%5Csin%5Cvarphi%5Cboldsymbol%7Be%7D_z%5C%5C%0A%09%09%09%5Cboldsymbol%7Be%7D_%5Ctheta%26%3D-r%5Csin%5Cvarphi%5Csin%5Ctheta%5Cboldsymbol%7Be%7D_x%2Br%5Csin%5Cvarphi%5Ccos%5Ctheta%5Cboldsymbol%7Be%7D_y%0A%09%09%5Cend%7Balign*%7D$

????記 $%5Cnabla%20f%3Df_r%5Cboldsymbol%7Be%7D_r%2Bf_%5Cvarphi%5Cboldsymbol%7Be%7D_%5Cvarphi%2Bf_%5Ctheta%5Cboldsymbol%7Be%7D_%5Ctheta$ ，根據(jù)定義2容易推出

$%5Cbegin%7Balign*%7D%0A%09%09%09f_r%26%3D%5Cfrac%7B%5Cpartial%20f%7D%7B%5Cpartial%20r%7D%5C%5C%0A%09%09%09r%5E2f_%5Cvarphi%26%3D%5Cfrac%7B%5Cpartial%20f%7D%7B%5Cpartial%20%5Cvarphi%7D%5C%5C%0A%09%09%09r%5E2%5Csin%5E2%5Cvarphi%20f_%5Ctheta%26%3D%5Cfrac%7B%5Cpartial%20f%7D%7B%5Cpartial%5Ctheta%7D%0A%09%09%5Cend%7Balign*%7D$

即 $%5Cnabla%3D%5Cboldsymbol%7Be%7D_r%5Cdfrac%7B%5Cpartial%7D%7B%5Cpartial%20r%7D%2B%5Cboldsymbol%7Be%7D_%5Cvarphi%5Cdfrac%7B1%7D%7Br%5E2%7D%5Cdfrac%7B%5Cpartial%7D%7B%5Cpartial%5Cvarphi%7D%2B%5Cboldsymbol%7Be%7D_%5Ctheta%5Cdfrac%7B1%7D%7Br%5E2%5Csin%5E2%5Cvarphi%7D%5Cdfrac%7B%5Cpartial%7D%7B%5Cpartial%5Ctheta%7D$ ．

問題6. 考察一般的 $n$ 維Euclidean空間 $%5Cmathbb%7BR%7D%5En$ 下，梯度算子 $%5Cnabla$ 的通式．

????設(shè) $%5Cmathbb%7BR%7D%5En$ 下的直角坐標(biāo)為 $%5Cboldsymbol%7Be%7D_i$ ，相應(yīng)的單位基向量為 $%5Cboldsymbol%7Be%7D_i$ ；選定的坐標(biāo)為 $%5Ctilde%7Bx%7D_i$ ，按 $%5Cboldsymbol%7B%5Ctilde%7Be%7D%7D%3D%5Cdfrac%7B%5Cpartial%7D%7B%5Cpartial%20%5Ctilde%7Bx%7D_i%7D$ 定義相應(yīng)的基向量，其中 $i%3D1%2C2%2C...%2Cn$ ，有 $%5Cboldsymbol%7B%5Ctilde%7Be%7D%7D_i%3D%5Csum_%7Bj%3D1%7D%5E%7Bn%7D%5Cdfrac%7B%5Cpartial%20x_j%7D%7B%5Cpartial%20%5Ctilde%7Bx%7D_i%7D%5Cboldsymbol%7Be%7D_j$ ．

????引入記號(hào) $g_%7Bij%7D%3D%5Cboldsymbol%7B%5Ctilde%7Be%7D%7D_i%5Ccdot%5Cboldsymbol%7B%5Ctilde%7Be%7D%7D_j$ ，易知 $g_%7Bij%7D%3D%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5E%7Bn%7D%5Cdfrac%7B%5Cpartial%20x_k%7D%7B%5Cpartial%20%5Ctilde%7Bx%7D_i%7D%5Cdfrac%7B%5Cpartial%20x_k%7D%7B%5Cpartial%20%5Ctilde%7Bx%7D_j%7D$ ．

????記 $%5Cnabla%20f%3D%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7Df_i%5Cboldsymbol%7B%5Ctilde%7Be%7D%7D_i$ ，兩側(cè)同時(shí)點(diǎn)乘 $%5Cboldsymbol%7B%5Ctilde%7Be%7D%7D_j$ 有

$%5Cdfrac%7B%5Cpartial%20f%7D%7B%5Cpartial%5Ctilde%7Bx%7D_j%7D%3D%5Cnabla%20f%5Ccdot%5Cboldsymbol%7B%5Ctilde%7Be%7D%7D_j%3D%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7Df_i%5Cboldsymbol%7B%5Ctilde%7Be%7D%7D_i%5Ccdot%5Cboldsymbol%7B%5Ctilde%7Be%7D%7D_j%3D%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7Df_i%20g_%7Bij%7D$

????改寫成矩陣形式為

$%5Cbegin%7Balign*%7D%0A%09%09%09%5Cleft(%5Cbegin%7Barray%7D%7Bcccc%7D%0A%09%09%09f_1%26f_2%26%5Ccdots%26f_n%0A%09%09%09%5Cend%7Barray%7D%5Cright)%5Cleft(%5Cbegin%7Barray%7D%7Bcccc%7D%0A%09%09%09g_%7B11%7D%26g_%7B12%7D%26%5Ccdots%26g_%7B1n%7D%5C%5C%0A%09%09%09g_%7B21%7D%26g_%7B22%7D%26%5Ccdots%26g_%7B2n%7D%5C%5C%0A%09%09%09%5Cvdots%26%5Cvdots%26%5Cddots%26%5Cvdots%5C%5C%0A%09%09%09g_%7Bn1%7D%26g_%7Bn2%7D%26%5Ccdots%26g_%7Bnn%7D%5C%5C%0A%09%09%09%5Cend%7Barray%7D%5Cright)%3D%5Cleft(%5Cbegin%7Barray%7D%7Bcccc%7D%0A%09%09%09%5Cdfrac%7B%5Cpartial%20f%7D%7B%5Cpartial%5Ctilde%7Bx%7D_1%7D%26%5Cdfrac%7B%5Cpartial%20f%7D%7B%5Cpartial%5Ctilde%7Bx%7D_2%7D%26%5Ccdots%26%5Cdfrac%7B%5Cpartial%20f%7D%7B%5Cpartial%5Ctilde%7Bx%7D_n%7D%0A%09%09%09%5Cend%7Barray%7D%5Cright)%0A%09%09%5Cend%7Balign*%7D$

記矩陣 $(g_%7Bij%7D)$ 的逆為 $(g%5E%7Bij%7D)$ ，則有 $f_i%3D%5Cdisplaystyle%7B%5Csum_%7Bj%3D1%7D%5E%7Bn%7D%7Dg%5E%7Bji%7D%5Cdfrac%7B%5Cpartial%20f%7D%7B%5Cpartial%5Ctilde%7Bx%7D_j%7D$ ，即 $%5Cnabla%3D%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7D%5Csum_%7Bj%3D1%7D%5E%7Bn%7Dg%5E%7Bji%7D%5Cboldsymbol%7Be%7D_i%5Cdfrac%7B%5Cpartial%7D%7B%5Cpartial%5Ctilde%7Bx%7D_j%7D$ ．

????到這里，對(duì)于我們一般能遇到的坐標(biāo)系來說已經(jīng)夠用了，至于散度、旋度、Laplacian都可以用梯度算子 $%5Cnabla$ 生成．

????

????在問題6中，我們引入了一個(gè)矩陣 $(g_%7Bij%7D)$ ，稱之為度量矩陣，它描述了所研究空間的某種度量方式．并稱映射 $g%3AV%5Ctimes%20V%5Cto%20%5Cmathbb%7BR%7D%2C(%5Cboldsymbol%7Be%7D_i%2C%5Cboldsymbol%7Be%7D_j)%5Cmapsto%20g_%7Bij%7D%5Cin%5Cmathbb%7BR%7D$ 為度量張量，其中 $V%5E%7B%5B4%5D%7D$ 為向量空間．度量張量可以用度量矩陣來表示．

問題7. 考察Euclidean空間 $%5Cmathbb%7BR%7D%5E3$ 在直角坐標(biāo)系、柱坐標(biāo)系、球坐標(biāo)系下的度量矩陣．

????一般情況下，我們通過內(nèi)積定義長(zhǎng)度，因而度量矩陣是對(duì)稱矩陣（或Hermite矩陣）．而對(duì)于Euclidean空間來說，度量矩陣還是正定的．

定義3. 稱在適當(dāng)基下度量矩陣為 $%5Cleft(%5Cbegin%7Barray%7D%7Bcccc%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-1%26%26%26%5C%5C%261%26%26%5C%5C%26%261%26%5C%5C%26%26%261%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cend%7Barray%7D%5Cright)$ 的空間為Minkowski空間，記為 $R%5E%7B1%2C3%7D$ ．

????Minkowski空間說明度量矩陣并不一定是正定的，而根據(jù)內(nèi)積的正定性，容易知道Minkowski空間中的坐標(biāo)變換需要引入復(fù)數(shù)．

????Minkowski空間是描述狹義相對(duì)論的有力工具，我們以一個(gè)簡(jiǎn)單的坐標(biāo)變換為例．

問題8. Lorentz變換是狹義相對(duì)論中兩個(gè)作相對(duì)勻速運(yùn)動(dòng)的慣性參考系之間的坐標(biāo)變換，試用線性變換描述Lorentz變換 $%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7D%0A%09t'%3D%5Cdfrac%7Bt-%5Cfrac%7Bvx%7D%7Bc%5E2%7D%7D%7B%5Csqrt%7B1-%5Cleft(%5Cfrac%7Bv%7D%7Bc%7D%5Cright)%5E2%7D%7D%5C%5C%0A%09x'%3D%5Cdfrac%7Bx-vt%7D%7B%5Csqrt%7B1-%5Cleft(%5Cfrac%7Bv%7D%7Bc%7D%5Cright)%5E2%7D%7D%5C%5C%0A%09y'%3Dy%5C%5C%0A%09z'%3Dz%0A%09%5Cend%7Barray%7D%5Cright.$ ．

????記 $%5Cbeta%3D%5Cdfrac%7Bv%7D%7Bc%7D%2C%5Cgamma%3D%5Cdfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B1-%5Cbeta%5E2%7D%7D$ ．

????根據(jù)光速不變?cè)恚瑧?yīng)有 $(%5CDelta%20x)%5E2%2B(%5CDelta%20y)%5E2%2B(%5CDelta%20z)%5E2-(c%5CDelta%20t)%5E2%3D0$ ，這啟示我們可以將問題放在Minkowski空間下加以研究．

????作變換 $w%3D%5Cmathrm%7Bi%7D%20ct$ ，將 $(t%2Cx%2Cy%2Cz)%5Cin%5Cmathbb%7BR%7D%5E4$ 映成 $(w%2Cx%2Cy%2Cz)%5Cin%20R%5E%7B1%2C3%7D$ ，這樣就實(shí)現(xiàn)了將四維Euclidean空間中的問題轉(zhuǎn)化成Minkowski空間中的問題．

????稍加整理，變換可寫為 $%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7D%0A%09w'%3D%5Cgamma(w-%5Cmathrm%7Bi%7D%5Cbeta%20x)%5C%5C%0A%09x'%3D%5Cgamma(%5Cmathrm%7Bi%7D%5Cbeta%20w%2Bx)%5C%5C%0A%09y'%3Dy%5C%5C%0A%09z'%3Dz%0A%09%5Cend%7Barray%7D%5Cright.$ ，寫成矩陣形式即為

$%5Cleft(%5Cbegin%7Barray%7D%7Bc%7D%0A%09%09%09w'%5C%5Cx'%5C%5Cy'%5C%5Cz'%0A%09%09%09%5Cend%7Barray%7D%5Cright)%3D%5Cleft(%5Cbegin%7Barray%7D%7Bcccc%7D%0A%09%09%09%5Cgamma%26-%5Cmathrm%7Bi%7D%5Cbeta%5Cgamma%26%26%5C%5C%0A%09%09%09%5Cmathrm%7Bi%7D%5Cbeta%5Cgamma%26%5Cgamma%26%26%5C%5C%0A%09%09%09%26%261%26%5C%5C%0A%09%09%09%26%26%261%0A%09%09%09%5Cend%7Barray%7D%5Cright)%5Cleft(%5Cbegin%7Barray%7D%7Bc%7D%0A%09%09%09w%5C%5Cx%5C%5Cy%5C%5Cz%0A%09%09%09%5Cend%7Barray%7D%5Cright)$

容易驗(yàn)證，Lorentz變換是酉變換．

????本文從梯度算子起手，實(shí)際上將思考引導(dǎo)到了切向量、度量張量這些現(xiàn)代微分幾何學(xué)中闡述的概念上，其重要應(yīng)用之一便是狹義相對(duì)論和廣義相對(duì)論．梯度算子部分偏重實(shí)用性，略去了大量的細(xì)節(jié)；度量張量部分以Minkowski空間為例，介紹了Lorentz變換這一重要概念．對(duì)這些內(nèi)容感興趣的同學(xué)可以參閱關(guān)于微分幾何、狹義相對(duì)論方面的教材．

[1] 直觀地說，總可以把向量平移到原點(diǎn)上．至于極角的信息則包含在$\be_r$中，在后續(xù)推導(dǎo)中可以看出．

[2] 請(qǐng)思考筆者這里使用“定義”而非“推導(dǎo)”的原因．

[3] 這定義來源于微分流形上的切向量，對(duì)詳細(xì)推導(dǎo)有興趣的同學(xué)可以參考現(xiàn)代微分幾何教材．筆者在此推薦孫和軍、趙培標(biāo)所著《現(xiàn)代微分幾何》．

[4] 這里的向量空間可以是實(shí)的，也可以是復(fù)的．

標(biāo)簽：

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