QFT #3 & #4

2023-03-20 15:02 作者:湮滅的末影狐 0人讀過(guò) | 我要投稿

* 筆記全部采用愛(ài)因斯坦求和約定和自然單位制。

* 旋量場(chǎng)的東西我花了較多的時(shí)間去理解和整理，所以這篇并不完全按上課內(nèi)容記錄。

* 參考了很多教材的緣故，符號(hào)定義會(huì)比較亂，大家注意區(qū)分。

* 3和4一起更了，是兩周的課程內(nèi)容。

Dirac Field 及其量子化

4.1 Lorentz 群的旋量表示

回顧1：標(biāo)量場(chǎng)、矢量場(chǎng)在洛倫茲變換下分別有形式

$%5Cphi'(x')%20%3D%20%5Cphi(x)%2C%20A'%5E%7B%5Cmu%7D(x')%20%3D%20%5CLambda%5E%5Cmu_%5Cnu%20A%5E%5Cnu(x)$

回顧2：群論基礎(chǔ)

群是建立了一定運(yùn)算規(guī)則，服從封閉性、結(jié)合律，有運(yùn)算單位元、逆元的集合，具體的內(nèi)容可參考隨便什么數(shù)學(xué)教材或筆者之前的專欄【Hassani讀書(shū)筆記】

洛倫茲群：

所有洛倫茲變換操作構(gòu)成的集合。

六個(gè)自由度：3*轉(zhuǎn)動(dòng)，3*boost 共六個(gè)生成元，見(jiàn)之前的專欄QFT#1

洛倫茲群可以有不同表示。

標(biāo)量場(chǎng)在洛倫茲變換下不變，對(duì)應(yīng)于平凡表示（所有元素映射到1）

矢量場(chǎng)的變換用Lambda矩陣表示，這是一個(gè)4維的表示。

【定義】4維角動(dòng)量：

$J%5E%7B%5Cmu%5Cnu%20%7D%20%3D%20i(x%5E%5Cmu%5Cpartial%5E%5Cnu-x%5E%5Cnu%5Cpartial%5E%5Cmu)$

這是一個(gè)二階反對(duì)稱張量。 $J%5E%7Bij%7D~~(i%2Cj%20%3D%20x%2Cy%2Cz)$ 給出空間旋轉(zhuǎn)，而 $J%5E%7B0i%7D$ 給出boost.

** 接下來(lái)的這些內(nèi)容，我想按我理解的邏輯進(jìn)行整理。不完全是上課的內(nèi)容。

【數(shù)學(xué)基礎(chǔ)】李群

要討論洛倫茲群的各種表示，了解一下李群還是有好處的。

李群是具有群結(jié)構(gòu)的流形，其上定義的群乘法和取逆元的映射都是光滑的。這意味著群的元素g可以由一系列連續(xù)變化的群參數(shù) α_k 描述：

$g%20%3D%20g(%5Calpha)%20%2C%20~~%5Calpha%20%3D%20%5C%7B%5Calpha_1%2C%5Calpha_2%2C...%2C%5Calpha_n%5C%7D$

并且參數(shù)可以合理設(shè)置使得 g(0) 對(duì)應(yīng)單位元。

這部分內(nèi)容筆者覺(jué)得中山大學(xué)的余釗煥老師的講義就講得很好，我在這悄悄放個(gè)截圖應(yīng)該沒(méi)關(guān)系吧

（https://yzhxxzxy.github.io/cn/teaching.html 這是余老師的個(gè)人網(wǎng)站，可以找到最新版的講義。最開(kāi)始我也是在往上找些量子場(chǎng)論教材的時(shí)候偶然搜到的這個(gè)講義，感覺(jué)還不錯(cuò)內(nèi)容很詳細(xì)）

【數(shù)學(xué)基礎(chǔ)】Lorentz代數(shù)

我們要研究某個(gè)態(tài)? $%7C%5Cpsi%5Crangle$ 在洛倫茲變換下的行為。認(rèn)為該態(tài)在洛倫茲變換下服從以下變換

$%7C%5Cpsi'(x')%5Crangle%20%3D%20U(%5CLambda)%7C%5Cpsi(x)%5Crangle$

U(lambda)應(yīng)當(dāng)是洛倫茲群的一個(gè)幺正表示。

Lorentz群是李群，所以采取對(duì)李群的一般研究方法，也就是研究單位元附近的無(wú)窮小Lorentz變換：

$%5CLambda%20%3D%201%2B%5Comega$

如果定義

$%5Cleft.%5Cmathcal%20J%5E%7B%5Cmu%20%5Cnu%7D%20%5Cequiv%202%20%5Cmathrm%7Bi%7D%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%20U(%5CLambda)%7D%7B%5Cpartial%20%5Comega_%7B%5Cmu%20%5Cnu%7D%7D%5Cright%7C_%7B%5Comega_%7B%5Cmu%20%5Cnu%7D%3D0%7D$

可以使得洛倫茲變換的這一表示的恒元附近局域性質(zhì)為

$U(1%2B%5Comega)%20%3D%201-%5Cfrac%20i%202%5Comega_%7B%5Cmu%5Cnu%7D%5Cmathcal%20J%5E%7B%5Cmu%5Cnu%7D$

于是這花體的 J 就是這個(gè)表示的生成元。而omega_mu_nu是洛倫茲群的六個(gè)獨(dú)立群參數(shù)，分別對(duì)應(yīng)rotation和boost。具體來(lái)說(shuō)，就是

$%5Cboldsymbol%7B%5Ctheta%7D%3D%5Cleft(-%5Comega_%7B23%7D%2C-%5Comega_%7B31%7D%2C-%5Comega_%7B12%7D%5Cright)%2C%20%5Cquad%20%5Cboldsymbol%7B%5Cbeta%7D%3D%5Cleft(-%5Comega_%7B01%7D%2C-%5Comega_%7B02%7D%2C-%5Comega_%7B03%7D%5Cright)%2C$

分別是繞x,y,z的轉(zhuǎn)動(dòng)和沿x,y,z的快度。

不管怎么說(shuō)，經(jīng)過(guò)一通計(jì)算，可以證明生成元 J 滿足的對(duì)易關(guān)系為：

$%5Cleft%5B%5Cmathcal%20J%5E%7B%5Cmu%20%5Cnu%7D%2C%20%5Cmathcal%20J%5E%7B%5Crho%20%5Csigma%7D%5Cright%5D%3D%5Cmathrm%7Bi%7D%5Cleft(g%5E%7B%5Cnu%20%5Crho%7D%20%5Cmathcal%20J%5E%7B%5Cmu%20%5Csigma%7D-g%5E%7B%5Cmu%20%5Crho%7D%20%5Cmathcal%20J%5E%7B%5Cnu%20%5Csigma%7D-g%5E%7B%5Cnu%20%5Csigma%7D%5Cmathcal%20%20J%5E%7B%5Cmu%20%5Crho%7D%2Bg%5E%7B%5Cmu%20%5Csigma%7D%5Cmathcal%20J%5E%7B%5Cnu%20%5Crho%7D%5Cright)$

上式就是Lorentz群的生成元所必須滿足的李代數(shù)，稱為Lorentz代數(shù)關(guān)系。

事實(shí)上，可以驗(yàn)證四維角動(dòng)量也滿足Lorentz代數(shù)關(guān)系：

$%5Cleft%5BJ%5E%7B%5Cmu%20%5Cnu%7D%2C%20J%5E%7B%5Crho%20%5Csigma%7D%5Cright%5D%3D%5Cmathrm%7Bi%7D%5Cleft(g%5E%7B%5Cnu%20%5Crho%7D%20J%5E%7B%5Cmu%20%5Csigma%7D-g%5E%7B%5Cmu%20%5Crho%7D%20J%5E%7B%5Cnu%20%5Csigma%7D-g%5E%7B%5Cnu%20%5Csigma%7D%20J%5E%7B%5Cmu%20%5Crho%7D%2Bg%5E%7B%5Cmu%20%5Csigma%7D%20J%5E%7B%5Cnu%20%5Crho%7D%5Cright)$

準(zhǔn)備工作大約做得差不多了。

接下來(lái)回到Lorentz群的旋量表示。話說(shuō)回來(lái)這章講狄拉克場(chǎng)，也就是和自旋1/2有關(guān)的場(chǎng)，于是要找一個(gè)Lorentz群關(guān)于自旋1/2的表示。

考慮4個(gè)滿足 Dirac 代數(shù)的 γ 矩陣，即滿足下式：

$%5Cleft%5C%7B%5Cgamma%5E%5Cmu%2C%20%5Cgamma%5E%5Cnu%5Cright%5C%7D%20%5Cequiv%20%5Cgamma%5E%5Cmu%20%5Cgamma%5E%5Cnu%2B%5Cgamma%5E%5Cnu%20%5Cgamma%5E%5Cmu%3D2%20g%5E%7B%5Cmu%20%5Cnu%7D$

然后，基于此可以構(gòu)造

$S%5E%7B%5Cmu%5Cnu%7D%20%3D%20%5Cfrac%20i4%5B%5Cgamma%5E%5Cmu%2C%5Cgamma%20%5E%5Cnu%5D$

反復(fù)利用前面的 Dirac 代數(shù)關(guān)系，可以算出

$%5Cleft%5BS%5E%7B%5Cmu%20%5Cnu%7D%2C%20S%5E%7B%5Crho%20%5Csigma%7D%5Cright%5D%3D%5Cmathrm%7Bi%7D%5Cleft(g%5E%7B%5Cnu%20%5Crho%7D%20S%5E%7B%5Cmu%20%5Csigma%7D-g%5E%7B%5Cmu%20%5Crho%7D%20S%5E%7B%5Cnu%20%5Csigma%7D-g%5E%7B%5Cnu%20%5Csigma%7D%20S%5E%7B%5Cmu%20%5Crho%7D%2Bg%5E%7B%5Cmu%20%5Csigma%7D%20S%5E%7B%5Cnu%20%5Crho%7D%5Cright)$

這正是Lorentz代數(shù)關(guān)系。于是， $S%5E%7B%5Cmu%5Cnu%7D$ 就是 Lorentz 群旋量表示的生成元。

S^{0i}對(duì)應(yīng)boost，S^{ij}對(duì)應(yīng)rotation.

gamma矩陣有不同的表示形式，下面列舉幾個(gè)：

① 手征 Weyl 表示：

$%5Cgamma%5E0%20%3D%20%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%200%20%26%20I_2%5C%5CI_2%260%20%5Cend%7Bbmatrix%7D%2C%20%5Cgamma%5Ei%20%3D%20%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%200%20%26%20%5Csigma%5Ei%5C%5C-%5Csigma%5Ei%260%20%5Cend%7Bbmatrix%7D$

② Dirac-Pauli 表示：

$%5Cgamma%5E0%20%3D%20%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%20I_2%20%26%200%5C%5C0%26I_2%20%5Cend%7Bbmatrix%7D%2C%20%5Cgamma%5Ei%20%3D%20%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%200%20%26%20%5Csigma%5Ei%5C%5C-%5Csigma%5Ei%20%26%200%20%5Cend%7Bbmatrix%7D$

③ Majorana 表示

這是一個(gè)純虛的表示。

后面的討論中，我們主要采用手征 Weyl 表象。

其中，σ^i 是泡利矩陣，

$%5Csigma%5E1%20%3D%20%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%200%20%26%201%5C%5C1%260%20%5Cend%7Bbmatrix%7D%2C%5Csigma%5E2%20%3D%20%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%200%20%26%20-i%5C%5Ci%260%20%5Cend%7Bbmatrix%7D%2C%5Csigma%5E3%20%3D%20%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%201%20%26%200%5C%5C0%26-1%20%5Cend%7Bbmatrix%7D$

于是旋量表示下，γ 矩陣在 Lorentz 變換下滿足

$%5CLambda_%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%7D%5E%7B-1%7D%20%5Cgamma%5E%5Cmu%20%5CLambda_%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%7D%3D%5CLambda_%5Cnu%5E%5Cmu%20%5Cgamma%5E%5Cnu$

其中旋量表示的矩陣：

$%5CLambda_%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%7D%3D%5Cexp%20%5Cleft(-%5Cfrac%7Bi%7D%7B2%7D%20%5Comega_%7B%5Cmu%20%5Cnu%7D%20S%5E%7B%5Cmu%20%5Cnu%7D%5Cright)$

4.2 狄拉克方程

狄拉克方程的形式是：

$(i%5Cgamma%5E%5Cmu%20%5Cpartial_%5Cmu-m)%5Cpsi%20%3D0$

可以驗(yàn)證，γ 矩陣及 ψ 場(chǎng)按旋量表示變換時(shí)，Dirac 方程有洛倫茲變換不變性。

$%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%7B%5Cleft%5Bi%20%5Cgamma%5E%5Cmu%20%5Cpartial_%5Cmu-m%5Cright%5D%20%5Cpsi(x)%20%7D%20%26%20%5Crightarrow%5Cleft%5Bi%20%5Cgamma%5E%5Cmu%5Cleft(%5CLambda%5E%7B-1%7D%5Cright)%5E%5Cnu%7B%20%7D_%5Cmu%20%5Cpartial_%5Cnu-m%5Cright%5D%20%5CLambda_%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%7D%20%5Cpsi%5Cleft(%5CLambda%5E%7B-1%7D%20x%5Cright)%20%5C%5C%0A%26%20%3D%5CLambda_%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%7D%20%5CLambda_%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%7D%5E%7B-1%7D%5Cleft%5Bi%20%5Cgamma%5E%5Cmu%5Cleft(%5CLambda%5E%7B-1%7D%5Cright)%5E%5Cnu%7B%20%7D_%5Cmu%20%5Cpartial_%5Cnu-m%5Cright%5D%20%5CLambda_%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%7D%20%5Cpsi%5Cleft(%5CLambda%5E%7B-1%7D%20x%5Cright)%20%5C%5C%0A%26%20%3D%5CLambda_%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%7D%5Cleft%5Bi%20%5CLambda_%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%7D%5E%7B-1%7D%20%5Cgamma%5E%5Cmu%20%5CLambda_%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%7D%5Cleft(%5CLambda%5E%7B-1%7D%5Cright)%5E%5Cnu%7B%20%7D_%5Cmu%20%5Cpartial_%5Cnu-m%5Cright%5D%20%5Cpsi%5Cleft(%5CLambda%5E%7B-1%7D%20x%5Cright)%20%5C%5C%0A%26%20%3D%5CLambda_%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%7D%5Cleft%5Bi%20%5CLambda_%5Csigma%5E%5Cmu%20%5Cgamma%5E%5Csigma%5Cleft(%5CLambda%5E%7B-1%7D%5Cright)%5E%5Cnu%7B%20%7D_%5Cmu%20%5Cpartial_%5Cnu-m%5Cright%5D%20%5Cpsi%5Cleft(%5CLambda%5E%7B-1%7D%20x%5Cright)%20%5C%5C%0A%26%20%3D%5CLambda_%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%7D%5Cleft%5Bi%20%5Cgamma%5E%5Cnu%20%5Cpartial_%5Cnu-m%5Cright%5D%20%5Cpsi%5Cleft(%5CLambda%5E%7B-1%7D%20x%5Cright)%20%5C%5C%0A%26%20%3D0%20.%0A%5Cend%7Baligned%7D$

接下來(lái)，如果想構(gòu)造 Lorentz 不變的 Dirac 場(chǎng)的拉氏量，就要考慮 ψ 場(chǎng)與自身的內(nèi)積，最簡(jiǎn)單的構(gòu)造是 $%5Cpsi%5E%7B%5Cdagger%7D%5Cpsi$ .?

但考慮到旋量表示矩陣 $%5CLambda_%7B1%2F2%7D$ 不是厄米矩陣，這意味著在 Lorentz 變換? $%5Cpsi%5Crightarrow%20%5CLambda_%7B1%2F2%7D%5Cpsi$ 無(wú)法保這一內(nèi)積不變。因此，需要狄拉克共軛：

$%5Cbar%5Cpsi%20%3D%20%5Cpsi%5E%5Cdagger%5Cgamma%5E0$

Dirac 場(chǎng)的拉氏量形式為：

$%5Cmathcal%7BL%7D_%7B%5Ctext%20%7BDirac%20%7D%7D%3D%5Cbar%7B%5Cpsi%7D%5Cleft(i%20%5Cgamma%5E%5Cmu%20%5Cpartial_%5Cmu-m%5Cright)%20%5Cpsi$

可以驗(yàn)證該拉氏量代入歐拉-拉格朗日方程可以得到狄拉克方程。

【W(wǎng)eyl 旋量】

前面提到用手征Weyl表示，Lorentz 群旋量表示的生成元

$%5Cbegin%7Barray%7D%7Bc%7D%0AS%5E%7B0%20i%7D%3D%5Cfrac%7Bi%7D%7B4%7D%5Cleft%5B%5Cgamma%5E%7B0%7D%2C%20%5Cgamma%5E%7Bi%7D%5Cright%5D%3D-%5Cfrac%7Bi%7D%7B2%7D%5Cleft(%5Cbegin%7Barray%7D%7Bcc%7D%0A%5Csigma%5E%7Bi%7D%20%26%200%20%5C%5C%0A0%20%26%20-%5Csigma%5E%7Bi%7D%0A%5Cend%7Barray%7D%5Cright)%2C%20%5C%5C%0AS%5E%7Bi%20j%7D%3D%5Cfrac%7Bi%7D%7B4%7D%5Cleft%5B%5Cgamma%5E%7Bi%7D%2C%20%5Cgamma%5E%7Bj%7D%5Cright%5D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%5Cepsilon%5E%7Bi%20j%20k%7D%5Cleft(%5Cbegin%7Barray%7D%7Bcc%7D%0A%5Csigma%5E%7Bk%7D%20%26%200%20%5C%5C%0A0%20%26%20%5Csigma%5E%7Bk%7D%0A%5Cend%7Barray%7D%5Cright)%20%5Cequiv%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%5Cepsilon%5E%7Bi%20j%20k%7D%20%5CSigma%5E%7Bk%7D%20.%0A%5Cend%7Barray%7D$

顯然是一個(gè)完全可約表示（都是分塊形式）。于是考慮把ψ場(chǎng)分解：

$%5Cpsi%20%3D%20%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%20%5Cpsi_%7BL%7D%5C%5C%5Cpsi_R%5Cend%7Bpmatrix%7D$

兩項(xiàng)分別稱為左手/右手 Weyl 旋量。代入前面無(wú)窮小變換的表達(dá)式和 S 矩陣的形式，可以證明左右手旋量變換規(guī)則是：

$%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7D%0A%5Cpsi_%7BL%7D%20%5Crightarrow%5Cleft(1-i%20%5Cboldsymbol%7B%5Ctheta%7D%20%5Ccdot%20%5Cfrac%7B%5Csigma%7D%7B2%7D-%5Cboldsymbol%7B%5Cbeta%7D%20%5Ccdot%20%5Cfrac%7B%5Csigma%7D%7B2%7D%5Cright)%20%5Cpsi_%7BL%7D%20%5C%5C%0A%5Cpsi_%7BR%7D%20%5Crightarrow%5Cleft(1-i%20%5Cboldsymbol%7B%5Ctheta%7D%20%5Ccdot%20%5Cfrac%7B%5Csigma%7D%7B2%7D%2B%5Cboldsymbol%7B%5Cbeta%7D%20%5Ccdot%20%5Cfrac%7B%5Csigma%7D%7B2%7D%5Cright)%20%5Cpsi_%7BR%7D%0A%5Cend%7Barray%7D$

后面還有一些關(guān)于Weyl旋量的性質(zhì)，這里直接放 Peskin 原文了：

4.3 Dirac方程的平面波解

滿足 Dirac 方程的解必然滿足 Klein-Gordon 方程，故平面波解有形式：

$%5Cpsi%20%3D%20u(p)e%5E%7B-ip%5Ccdot%20x%7D$

這里 u(p) 有4個(gè)分量，稱為 Dirac 旋量，只是 p 的函數(shù)，而 p 是4-動(dòng)量。

代入狄拉克方程，得 u(p) 滿足

$%5Cleft(i%20%5Cgamma%20%5E%5Cmu%20p_u-m%5Cright)%20u(p)%3D(i%20%5Cnot%20p-m)%20u(p)%3D0$

某個(gè)量上面加一斜杠，表示它與4個(gè) gamma 矩陣的點(diǎn)積。

要求狄拉克方程的平面波解，核心就是解上面這個(gè)矩陣方程。

過(guò)程筆者不想多作贅述，這里想先給出兩個(gè)正能解和兩個(gè)負(fù)能解的形式：

正能滿足? $p%5E0%20%3D%20%5Csqrt%7Bm%5E2%2B%5Cvec%20p%5E2%7D$ （4動(dòng)量的0分量就是能量），正能解為

$u%5Es(p)%3D%5Cleft(%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7D%0A%5Csqrt%7Bp%20%5Ccdot%20%5Csigma%7D%20%5Cxi%5Es%20%5C%5C%0A%5Csqrt%7Bp%20%5Ccdot%20%5Cbar%7B%5Csigma%7D%7D%20%5Cxi%5Es%0A%5Cend%7Barray%7D%5Cright)%2C%20%5Cquad%20s%3D1%2C2$

其中， $%5Csigma%5E%5Cmu%20%5Cequiv(1%2C%20%5Cboldsymbol%7B%5Csigma%7D)%2C%20%5Cquad%20%5Cbar%7B%5Csigma%7D%5E%5Cmu%20%5Cequiv(1%2C-%5Cboldsymbol%7B%5Csigma%7D)$ ，p是4動(dòng)量。

而 s 用來(lái)標(biāo)記兩個(gè)不同的解， $%5Cxi%5E1%20%3D%20%5Cbinom%7B1%7D%7B0%7D%20%2C%20%5Cxi%5E2%20%3D%20%5Cbinom%7B0%7D%7B1%7D$ .

而負(fù)能解為

$v%5Es(p)%3D%5Cleft(%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7D%0A%5Csqrt%7Bp%20%5Ccdot%20%5Csigma%7D%20%5Cxi%5Es%20%5C%5C%0A-%5Csqrt%7Bp%20%5Ccdot%20%5Cbar%7B%5Csigma%7D%7D%20%5Cxi%5Es%0A%5Cend%7Barray%7D%5Cright)%2C%20%5Cquad%20s%3D1%2C2$

對(duì)于上面這些解，大家可以利用這個(gè)性質(zhì)? $h%20%3D%20%5Chat%20p%20%5Ccdot%20%5Cvec%20S$ ?來(lái)驗(yàn)證上面給出的兩個(gè)解確實(shí)能夠符合 Dirac 方程。

我們進(jìn)一步討論一下這些解意味著什么。

兩個(gè)比較常用的特殊解，一是靜止粒子，二是動(dòng)量沿z軸的解。

可以注意到，高能極限下，動(dòng)量沿z軸的兩個(gè)解，一個(gè)只剩左手 Weyl 旋量，一個(gè)只剩右手 Weyl 旋量。不難猜到，這兩個(gè)解對(duì)應(yīng)的物理意義其實(shí)就是 z 方向自旋的兩個(gè)本征態(tài)。

【定義】螺旋度 Helicity?

這是一個(gè)常用的物理量，定義為自旋在動(dòng)量方向的投影。

$h%20%3D%20%5Chat%20p%20%5Ccdot%20%5Cvec%20S$

高能極限時(shí)，h=+1/2 對(duì)應(yīng)右手手征，反之左手。

零質(zhì)量粒子的螺旋度是一個(gè)Lorentz不變量。

【平面波解的正交完備性】

上面兩式均可以計(jì)算驗(yàn)證，\bar u 是狄拉克共軛。以上體現(xiàn)的就是正交完備關(guān)系，對(duì)于零質(zhì)量粒子用后一個(gè)，有質(zhì)量的可以用前一個(gè)。

【自旋求和公式】

In evaluating Feynman diagrams, we will often wish to sum over the polarization states of a fermion. We can derive the relevant completeness relations with a simple calculation:

$%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%5Csum_%7Bs%3D1%2C2%7D%20u%5Es(p)%20%5Cbar%7Bu%7D%5Es(p)%20%26%20%3D%5Csum_s%5Cleft(%5Cbegin%7Barray%7D%7Bc%7D%0A%5Csqrt%7Bp%20%5Ccdot%20%5Csigma%7D%20%5Cxi%5Es%20%5C%5C%0A%5Csqrt%7Bp%20%5Ccdot%20%5Cbar%7B%5Csigma%7D%7D%20%5Cxi%5Es%0A%5Cend%7Barray%7D%5Cright)%5Cleft(%5Cxi%5E%7Bs%20%5Cdagger%7D%20%5Csqrt%7Bp%20%5Ccdot%20%5Cbar%7B%5Csigma%7D%7D%2C%20%5Cxi%5E%7Bs%20%5Cdagger%7D%20%5Csqrt%7Bp%20%5Ccdot%20%5Csigma%7D%5Cright)%20%5C%5C%0A%26%20%3D%5Cleft(%5Cbegin%7Barray%7D%7Bcc%7D%0A%5Csqrt%7Bp%20%5Ccdot%20%5Csigma%7D%20%5Csqrt%7Bp%20%5Ccdot%20%5Cbar%7B%5Csigma%7D%7D%20%26%20%5Csqrt%7Bp%20%5Ccdot%20%5Csigma%7D%20%5Csqrt%7Bp%20%5Ccdot%20%5Csigma%7D%20%5C%5C%0A%5Csqrt%7Bp%20%5Ccdot%20%5Cbar%7B%5Csigma%7D%7D%20%5Csqrt%7Bp%20%5Ccdot%20%5Cbar%7B%5Csigma%7D%7D%20%26%20%5Csqrt%7Bp%20%5Ccdot%20%5Cbar%7B%5Csigma%7D%7D%20%5Csqrt%7Bp%20%5Ccdot%20%5Csigma%7D%0A%5Cend%7Barray%7D%5Cright)%20%5C%5C%0A%26%20%3D%5Cleft(%5Cbegin%7Barray%7D%7Bcc%7D%0Am%20%26%20p%20%5Ccdot%20%5Csigma%20%5C%5C%0Ap%20%5Ccdot%20%5Cbar%7B%5Csigma%7D%20%26%20m%0A%5Cend%7Barray%7D%5Cright)%20.%0A%5Cend%7Baligned%7D$

聽(tīng)說(shuō)這公式以后挺常用，雖然筆者暫時(shí)沒(méi)搞懂能用來(lái)干啥。

4.4 Dirac場(chǎng)雙線性型

形如? $%5Cbar%20%5Cpsi%20%5CGamma%20%5Cpsi$ ?這樣的表達(dá)式叫做雙線性型，Γ是4*4的矩陣。

眾所周知這意味著Γ有16個(gè)自由度，而這里我們希望利用四個(gè) γ 矩陣構(gòu)造全反對(duì)稱形式的基。

這16個(gè)基如下：

這樣，任意的 Γ 可用上面列出的16個(gè)矩陣表示。這里提一下這個(gè)符號(hào)約定：

$%5Cgamma%5E%7B%5B%5Cmu%7D%20%5Cgamma%5E%5Cnu%20%5Cgamma%5E%7B%5Crho%5D%7D%20%3D(%20%5Cgamma%5E%5Cmu%5Cgamma%5E%5Cnu%5Cgamma%5E%5Crho%20-%5Cgamma%5E%5Cnu%5Cgamma%5E%5Cmu%5Cgamma%5E%5Crho%2B%5Cgamma%5E%5Cnu%5Cgamma%5E%5Crho%5Cgamma%5E%5Cmu-%5Cgamma%5E%5Cmu%5Cgamma%5E%5Crho%5Cgamma%5E%5Cnu%2B%20%5Cgamma%5E%5Crho%5Cgamma%5E%5Cmu%5Cgamma%5E%5Cnu%20-%20%5Cgamma%5E%5Crho%5Cgamma%5E%5Cnu%5Cgamma%5E%5Cmu)%2F3!$

表示一個(gè)全反對(duì)稱形式的求和。

如果定義? $%5Cgamma%5E5%20%5Cequiv%20i%20%5Cgamma%5E0%20%5Cgamma%5E1%20%5Cgamma%5E2%20%5Cgamma%5E3$

可以驗(yàn)證這個(gè)gamma5的性質(zhì)為：

$%5Cbegin%7Bgathered%7D%0A%5Cleft(%5Cgamma%5E5%5Cright)%5E%7B%5Cdagger%7D%3D%5Cgamma%5E5%20%5C%5C%0A%5Cleft(%5Cgamma%5E5%5Cright)%5E2%3D1%20%5C%5C%0A%5Cleft%5C%7B%5Cgamma%5E5%2C%20%5Cgamma%5E%5Cmu%5Cright%5C%7D%3D0%0A%5Cend%7Bgathered%7D$

如果在手征Weyl表象，gamma5 的具體形式是

$%5Cgamma%5E5%20%3D%20%5Cbegin%7Bpmatrix%7D-I_%7B2%5Ctimes2%7D%26%5C%5C%20%26I_%7B2%5Ctimes2%7D%5Cend%7Bpmatrix%7D$

上面五種雙線性型，在引入gamma5之后如下：

$%5Cbar%20%5Cpsi%20%5Cpsi%2C%5Cbar%20%5Cpsi%20%5Cgamma%5E%5Cmu%20%5Cpsi%2C%5Cbar%20%5Cpsi%20%5Csigma%5E%7B%5Cmu%5Cnu%7D%20%5Cpsi%2C%5Cbar%20%5Cpsi%5Cgamma%5E%5Cmu%5Cgamma%5E5%20%5Cpsi%2C%5Cbar%20%5Cpsi%5Cgamma%5E5%20%5Cpsi$ ?這五種雙線性型分別在Lorentz變換下表現(xiàn)為

Lorentz標(biāo)量、Lorentz矢量、Lorentz張量、贗矢量、贗標(biāo)量。

所謂“贗”，指的是在宇稱（空間反演）變換下，這東西的變化比正常的東西正負(fù)是反的。

比如說(shuō)兩個(gè)矢量的叉乘變成贗矢量，就是因?yàn)榭臻g反演后，矢量都反了，叉乘的這個(gè)結(jié)果沒(méi)變。

這里也放一小段中山大學(xué)講義的片段，他講的比較專業(yè)

由此我們構(gòu)造相關(guān)的兩個(gè)守恒流：

4.5 Dirac場(chǎng)量子化

接下來(lái)量子化狄拉克場(chǎng)。

正則動(dòng)量密度：

$%5Cmathcal%7BL%7D_%7B%5Ctext%20%7BDirac%20%7D%7D%3D%5Cbar%7B%5Cpsi%7D%5Cleft(i%20%5Cgamma%5E%5Cmu%20%5Cpartial_%5Cmu-m%5Cright)%20%5Cpsi%5CRightarrow%20%20%5Cpi(x)%20%3D%20%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%20%5Cmathcal%20L%7D%7B%5Cpartial%20%5Cdot%5Cpsi%7D%20%3D%20%20i%5Cpsi%5E%5Cdagger$

于是得到 Hamiltonian

$H%3D%5Cint%5Cpi%5Cdot%5Cpsi-%5Cmathcal%20L%3D%5Cint%20d%5E3%20x%20%5Cpsi%5E%7B%5Cdagger%7D%5Cleft%5B-i%20%5Cgamma%5E0%20%5Cboldsymbol%7B%5Cgamma%7D%20%5Ccdot%20%5Cboldsymbol%7B%5Cnabla%7D%2Bm%20%5Cgamma%5E0%5Cright%5D%20%5Cpsi$

接下來(lái)考慮等時(shí)量子化條件，直接類比 Klein-Gordon 場(chǎng)可能給出：

然而這并不是一個(gè)合適的對(duì)易關(guān)系，如果深究下去會(huì)發(fā)現(xiàn)這個(gè)關(guān)系在處理因果律的時(shí)候比較奇怪。具體的很多計(jì)算過(guò)程這里先不記錄了，我們這里直接給出結(jié)論：

場(chǎng)算符的形式是：

$%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%26%20%5Cpsi(x)%3D%5Cint%20%5Cfrac%7Bd%5E3%20p%7D%7B(2%20%5Cpi)%5E3%7D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B2%20E_%7B%5Cmathbf%7Bp%7D%7D%7D%7D%20%5Csum_s%5Cleft(a_%7B%5Cmathbf%7Bp%7D%7D%5Es%20u%5Es(p)%20e%5E%7B-i%20p%20%5Ccdot%20x%7D%2Bb_%7B%5Cmathbf%7Bp%7D%7D%5E%7Bs%20%5Cdagger%7D%20v%5Es(p)%20e%5E%7Bi%20p%20%5Ccdot%20x%7D%5Cright)%20%5C%5C%0A%26%20%5Cbar%7B%5Cpsi%7D(x)%3D%5Cint%20%5Cfrac%7Bd%5E3%20p%7D%7B(2%20%5Cpi)%5E3%7D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B2%20E_%7B%5Cmathbf%7Bp%7D%7D%7D%7D%20%5Csum_s%5Cleft(b_%7B%5Cmathbf%7Bp%7D%7D%5Es%20%5Cbar%7Bv%7D%5Es(p)%20e%5E%7B-i%20p%20%5Ccdot%20x%7D%2Ba_%7B%5Cmathbf%7Bp%7D%7D%5E%7Bs%20%5Cdagger%7D%20%5Cbar%7Bu%7D%5Es(p)%20e%5E%7Bi%20p%20%5Ccdot%20x%7D%5Cright)%0A%5Cend%7Baligned%7D$

s用來(lái)標(biāo)記不同的解，可以取1和2；

a和b都是產(chǎn)生湮滅算符，它們滿足的是反對(duì)易關(guān)系：

$%5Cleft%5C%7Ba_%7B%5Cmathbf%7Bp%7D%7D%5Er%2C%20a_%7B%5Cmathbf%7Bq%7D%7D%5E%7Bs%20%5Cdagger%7D%5Cright%5C%7D%3D%5Cleft%5C%7Bb_%7B%5Cmathbf%7Bp%7D%7D%5Er%2C%20b_%7B%5Cmathbf%7Bq%7D%7D%5E%7Bs%20%5Cdagger%7D%5Cright%5C%7D%3D(2%20%5Cpi)%5E3%20%5Cdelta%5E%7B(3)%7D(%5Cmathbf%7Bp%7D-%5Cmathbf%7Bq%7D)%20%5Cdelta%5E%7Br%20s%7D$

場(chǎng)算符的反對(duì)易關(guān)系為

$%5Cbegin%7Barray%7D%7Bc%7D%0A%5Cleft%5C%7B%5Cpsi_%7Ba%7D(%5Cmathbf%7Bx%7D)%2C%20%5Cpsi_%7Bb%7D%5E%7B%5Cdagger%7D(%5Cmathbf%7By%7D)%5Cright%5C%7D%3D%5Cdelta%5E%7B(3)%7D(%5Cmathbf%7Bx%7D-%5Cmathbf%7By%7D)%20%5Cdelta_%7Ba%20b%7D%20%5C%5C%0A%5Cleft%5C%7B%5Cpsi_%7Ba%7D(%5Cmathbf%7Bx%7D)%2C%20%5Cpsi_%7Bb%7D(%5Cmathbf%7By%7D)%5Cright%5C%7D%3D%5Cleft%5C%7B%5Cpsi_%7Ba%7D%5E%7B%5Cdagger%7D(%5Cmathbf%7Bx%7D)%2C%20%5Cpsi_%7Bb%7D%5E%7B%5Cdagger%7D(%5Cmathbf%7By%7D)%5Cright%5C%7D%3D0%0A%5Cend%7Barray%7D$

真空態(tài)由下式給出：

$a_%7B%5Cmathbf%7Bp%7D%7D%5E%7Bs%7D%7C0%5Crangle%3Db_%7B%5Cmathbf%7Bp%7D%7D%5E%7Bs%7D%7C0%5Crangle%3D0$

Hamiltonian 用產(chǎn)生湮滅算符的形式寫(xiě)為

$H%3D%5Cint%20%5Cfrac%7Bd%5E%7B3%7D%20p%7D%7B(2%20%5Cpi)%5E%7B3%7D%7D%20%5Csum_%7Bs%7D%20E_%7B%5Cmathbf%7Bp%7D%7D%5Cleft(a_%7B%5Cmathbf%7Bp%7D%7D%5E%7Bs%20%5Cdagger%7D%20a_%7B%5Cmathbf%7Bp%7D%7D%5E%7Bs%7D%2Bb_%7B%5Cmathbf%7Bp%7D%7D%5E%7Bs%20%5Cdagger%7D%20b_%7B%5Cmathbf%7Bp%7D%7D%5E%7Bs%7D%5Cright)$

總動(dòng)量為

$%5Cmathbf%7BP%7D%3D%5Cint%20d%5E3%20x%20%5Cpsi%5E%7B%5Cdagger%7D(-i%20%5Cboldsymbol%7B%5Cnabla%7D)%20%5Cpsi%3D%5Cint%20%5Cfrac%7Bd%5E3%20p%7D%7B(2%20%5Cpi)%5E3%7D%20%5Csum_s%20%5Cmathbf%7Bp%7D%5Cleft(a_%7B%5Cmathbf%7Bp%7D%7D%5E%7Bs%20%5Cdagger%7D%20a_%7B%5Cmathbf%7Bp%7D%7D%5Es%2Bb_%7B%5Cmathbf%7Bp%7D%7D%5E%7Bs%20%5Cdagger%7D%20b_%7B%5Cmathbf%7Bp%7D%7D%5Es%5Cright)%20.$

單粒子態(tài)：a-dagger產(chǎn)生一個(gè)動(dòng)量為p的正粒子，b-dagger則產(chǎn)生反粒子。

單粒子態(tài)滿足的正交歸一條件

$%5Clangle%5Cvec%7Bp%7D%2C%20r%20%5Cmid%20%5Cvec%7Bq%7D%2C%20s%5Crangle%3D(2%20%5Cpi)%5E%7B3%7D%202%20E_%7B%5Cvec%7Bp%7D%7D%20%5Cdelta%5E%7B3%7D(%5Cvec%7Bp%7D-%5Cvec%7Bq%7D)%20%5Cdelta%5E%7Br%20s%7D$

* 新的關(guān)系對(duì)于因果律的解決：

$%5Cpsi%2C%5Cbar%20%5Cpsi$ ?各自單獨(dú)不能構(gòu)成可觀測(cè)量，只有 Dirac 場(chǎng)雙線性型? $%5Cbar%5Cpsi%5CGamma%5Cpsi$ ?構(gòu)成可觀測(cè)物理量。要滿足因果律，只要類空間隔下的兩個(gè)可觀測(cè)量算符互不影響就可以了，