繼續(xù)聊《高數(shù)》上的常微分方程部分+高鴻業(yè)的“彈性”部分+曼昆經(jīng)濟學第三條原理。

學習開始！

part 1 同濟《高等數(shù)學》常微分方程部分

我們聊過最簡單也最特別的微分方程的解法，今天繼續(xù)介紹微分方程的解法，在此之前我們先復(fù)習一下之前學過的知識——

微分方程的基本概念——

微分方程——含有一個函數(shù)不同階導(dǎo)數(shù)構(gòu)成的方程，就是微分方程。

常微分方程——一元函數(shù)構(gòu)成的微分方程。

偏微分方程——多元函數(shù)關(guān)于其中一個自變量的微分方程。

全微分方程——等式左端是一個多元函數(shù)的全微分，右端是零的形式——又叫做恰當方程，一般是《常微》教材介紹的第一種類型的常微分方程。

微分方程的解——一個滿足等式的函數(shù)。

我們之前介紹了三種方法對應(yīng)兩種類型的微分方程——

1. 直接法——不定積分那一章的所有題目——直接可以用不定積分解決的常微分方程的形式，不過這種類型的題目，把不定積分那一章學好就可以了，一般常微分方程教材不會作多贅述；

2. 分離變量的方法——變量可分離的方程——顧名思義，就是說，我們可以把所有的含x或者dx的項移到等式一邊，把所有y和dy移到另外一邊，而且這里面，dx和dy的關(guān)系一定是相除的關(guān)系dx/dy，dx和含x的式子，dy和含y的式子一定是相乘的形式，然后一起積分就好。

3. 變量替換法——齊次方程——令y=ux，u=y/x，是一個關(guān)于x的函數(shù)。

今天我們繼續(xù)介紹可以使用變量替換法的另一種類型的方程。

我們知道，直接滿足齊次方程的條件的方程是極少一部分；但是有些形式的方程，我們可以通過變量的變換，轉(zhuǎn)化為齊次方程或者可分離變量的方程，就可以繼續(xù)用變量替換法或者分離變量法了，這種類型的方程，我們稱之為——可化為齊次/可分離變量的方程。

這一部分的思路和不定積分中將某些本身不是有理函數(shù)的函數(shù)通過變量替換化為有理函數(shù)求積分的思路大同小異。

可化為齊次方程/可分離變量的方程

定理——形如dy/dx=（ax+by+c）/（a1x+b1y+c1）的微分方方程在c=c1=0時為齊次方程，當c和c1至少有一個不為0時，可以做相關(guān)變換，使其轉(zhuǎn)化為齊次方程，令——

1. x=X+h，則dx=dX；

2. y=Y+k，則dy=dY；

3. 1、2中h和k是待定的常數(shù)，所以我們要列方程組，解出它們，這部分內(nèi)容，涉及到了《線性代數(shù)》里的克萊姆法則。——我們由這個方程組解的有無，來判定，這種類型的微分方程，轉(zhuǎn)化的方式。

過程——

1. ax+by+c=a（X+h）+b（Y+k）+c=aX+bY+ah+bk+c，a1x+b1y+c=a1（X+h）+b1（Y+k）+c=a1X+b1Y+a1h+b1k+c；
   

2. dY/dX=（aX+bY+ah+bk+c）/（a1X+b1Y+a1h+b1k+c）；

3. 因為2中方程應(yīng)該滿足齊次方程的形式，故而得到方程組ah+bk+c=0且a1h+b1k+c=0；

4. 由克萊姆法則，當行列式ab1-a1b不等于0的時候，方程組有解，我們解出對應(yīng)的k與h，將原方程轉(zhuǎn)化為dY/dX=（aX+bY）/（a1X+b1Y）即可；

5. 由克萊姆法則，當行列式ab1-a1b=0的時候，則a1/a=b1/b=l，將l代入原方程，得到dy/dx=（ax+by+c）/[l（ax+by）+c1]；

   我們令v=ax+by，則dy/dx=（v+c）/（lv+c1）；

6. 又可得dv/dx=a+b（dy/dx），即dy/dx=（dv/dx-a）/b——y是關(guān)于x的函數(shù)；

   則dy/dx=（dv/dx-a）/b=（v+c）/（lv+c1），即dv/[（bv+bc）/（lv+c1）+a]=dx，轉(zhuǎn)化為一個可分離變量的微分方程。

part 2.1?經(jīng)濟學概念——高鴻業(yè)

高鴻業(yè)《西方經(jīng)濟學》第二章第五節(jié)：彈性——

稍微開個頭第五節(jié)引入彈性的概念——

彈性——一般來說，只要兩個經(jīng)濟變量之間存在函數(shù)關(guān)系，我們就可用彈性來表示因變量對自變量變化的反應(yīng)敏感程度。

彈性一般公式——彈性系數(shù)=因變量的變動比例/自變量的變動比例。

彈性公式——e=（ΔY/ΔX）（X/Y）——e：彈性系數(shù)，ΔX、ΔY變量X、Y的變動值。

弧彈性公式——ΔX趨于0時，e=lim?（ΔY/ΔX）（X/Y）=（dY/dX）（X/Y）——極限值。

需求的價格彈性含義——表示在一定時期內(nèi)一種商品的需求量變動對于該商品的價格變動的反應(yīng)程度；或者說，它表示在一定時期內(nèi)一種商品的價格變化百分之一時所引起的該商品的需求量變化的百分比。

需求的價格彈性公式——需求的價格彈性系數(shù)=需求量變動率/價格變動率。

需求的價格彈性分類——

A.弧彈性——需求的價格弧彈性表示某商品需求曲線上兩點之間的需求量的變動對于價格的變動的反應(yīng)程度；簡單地說，它表示需求曲線上兩點之間的彈性。

弧彈性公式——ed=-（ΔQ/Q）/（ΔP/P）=-（ΔQ/ΔP）*（P/Q）——需求函數(shù)Q=f（P），ΔQ與ΔP分別表示需求量的變動量和價格的變動量，ed表示需求的價格彈性系數(shù)——通常情況下，商品的需求量和價格是呈反方向變動的，即為ΔQ/ΔP負值，所以公式加了個負號，使價格彈性系數(shù)ed取正值。

B.點彈性——當需求曲線上兩點之間的變化量趨于無窮小時，需求的價格彈性要用點彈性來表示；也就是說，它表示需求曲線上某一點的需求量變動對于價格變動的反應(yīng)程度。

點彈性公式——ΔP趨于0時，ed=lim[-（ΔQ/Q）/（ΔP/P）]=-（dQ/dP）*（P/Q）。

C.弧彈性和點彈性的關(guān)系——本質(zhì)上是相同的；區(qū)別僅在于：前者表示需求曲線上兩點之間價格變動時的彈性，后者表示需求曲線的某一點上價格變動量無窮小時的彈性。

part 2.2?經(jīng)濟學概念——曼昆

我們來逐一介紹曼昆《經(jīng)濟學原理》上的原理，曼昆的經(jīng)濟學的十條原理第二條：

rational ppl think at the margin.理性的人考慮邊際——

1. 引出概念：marginal changes邊際變化——對一個計劃的微小改變；

2. 理性的人做決定時會考慮——marginal benefits邊際效用和marginal cost邊際成本；

3. 如何看待一個問題取決于那個時候具體的情境——

4. 例子一——一個有200個座位的航班成本為100 000，那么平均每個位子的成本是500元，似乎在任何情況下，定價都不應(yīng)該小于500元，考慮具體情況，這個航班起飛時有十個空位子，那么這個時候有乘客想要以300元的價格上飛機應(yīng)不應(yīng)該允許呢？答案是肯定的，因為比起500元的損失，定價300元的損失要小得多；

5. 例子二——為什么不喝水人會死但是水很便宜，鉆石沒什么用但是鉆石很貴呢？因為水的總量是很多的，多擁有一杯水的邊際效用，即多獲得的好處是很少的，因為大家都擁有許多水，但是鉆石是很稀少的，所以人們獲得鉆石的邊際效用是很大的，因為往往大多數(shù)人都沒有鉆石；

6. 上面兩個例子都是一般狀態(tài)，現(xiàn)實中往往是有特例的，理解作者在表達什么即可。

明天繼續(xù)！