今天按計劃來講Stolz公式的例題，這一部分習(xí)題都很簡單，除非計算特別復(fù)雜——

33Stolz公式

在此之前我們先復(fù)習(xí)一下Stolz公式的內(nèi)容和適用范圍——

Stolz公式如下——

1. 對于*/∞型的數(shù)列xn/yn，其中——

2. 存在自然數(shù)N"，使得n>N"時，yn是單增數(shù)列，即，yn+1>yn；

3. 在已知lim [（xn-xn-1）/（yn-yn-1）]為有限值或趨向于無窮的情況下；

4. 公式lim（xn/yn）=lim [（xn-xn-1）/（yn-yn-1）]成立。

其中1~3是條件，4是結(jié)論——因為正常做題不可能會像教材上一樣把一道用這個定理的題就出在這個定理下面，所以遇到數(shù)列極限的題目，一定要按照如下原則去操作——

1. 判斷這個數(shù)列是不是可以看做兩個數(shù)列比值的形式；

2. 判斷分母是不是從某一項開始單調(diào)數(shù)列：不單調(diào)，考慮別的方法——如上/下極限；單調(diào)，則用Stolz公式——

3. 單增數(shù)列直接用該公式，單減，則該分母的相反數(shù)構(gòu)成的數(shù)列單增，即可轉(zhuǎn)化；

4. 如果是不定式轉(zhuǎn)化為∞/∞型的“不定式”——

   0/0型做如下轉(zhuǎn)化xn/yn=1/[（1/xn）/（1/yn）]；

   ∞-∞型利用分子有理化轉(zhuǎn)化；

   0*∞型做如下轉(zhuǎn)化xn*yn=yn/（1/xn）。

   
   

下面看習(xí)題，因為這部分內(nèi)容連著前面求數(shù)列極限的習(xí)題，所以題號接上次習(xí)題的號數(shù)——

12.求數(shù)列極限lim（a^n/n），a>1

按步驟分析{a^n/n}——

1. 數(shù)列{a^n}為無窮大，數(shù)列{n}也是無窮大，顯然這個數(shù)列是∞/∞型不定式；

2. 分母對應(yīng)的數(shù)列{n}顯然是單增數(shù)列，所以直接套用Stolz公式即可。

解題——

1. 對數(shù)列{a^n/n}，顯然xn=a^n，yn=n；

2. 求出lim?[（xn-xn-1）/（yn-yn-1）]=lim { [a^n-a^（n-1）]/[n-（n-1）] }=lim?[a^n-a^（n-1）]=lim （a^n）（1-1/a）=lim?（a^n）lim（1-1/a）=lim（a^n）=+∞；

3. 所以lim（a^n/n）=lim（xn/yn）=lim?[（xn-xn-1）/（yn-yn-1）]=+∞。

13.求數(shù)列極限lim（a1+a2+……+an）/n，lim an=a（a為有限極限或無窮）

按步驟分析{（a1+a2+……+an）/n}——

1. 顯然該數(shù)列可以看做兩個數(shù)列的比值形式；

2. 其中數(shù)列{n}是單增無窮大，可以直接用Stolz公式。

解題——

1. 對數(shù)列{（a1+a2+……+an）/n}，顯然xn=a1+a2+……+an，yn=n；

2. 求出lim?[（xn-xn-1）/（yn-yn-1）]=lim (an/1?)=lim an=a；

3. 所以lim（a1+a2+……+an）/n=lim（xn/yn）=lim?[（xn-xn-1）/（yn-yn-1）]=a。

14.求數(shù)列極限lim（1^k+2^k+……+n^k）/n^（k+1），k是自然數(shù)——

按步驟分析{（1^k+2^k+……+n^k）/n^（k+1）}——

1. 數(shù)列{1^k+2^k+……+n^k}為無窮大，數(shù)列{n^（k+1）}也是無窮大，顯然這個數(shù)列是∞/∞型不定式；

2. 分母對應(yīng)的數(shù)列{n}顯然是單增數(shù)列，所以直接套用Stolz公式即可。

解題——

1. 對數(shù)列{（1^k+2^k+……+n^k）/n^（k+1）}，顯然xn=1^k+2^k+……+n^k，yn=n^（k+1）；

2. xn-xn-1=（1^k+2^k+……+n^k）-[1^k+2^k+……+（n-1）^k]=n^k；

3. yn-yn-1=n^（k+1）-（n-1）^（k+1）=[n-（n-1）][n^k+n^（k-1）*（n-1）+……+（n-1）^（k-1）*n+（n-1）^k]=n^k+n^（k-1）*（n-1）+……+（n-1）^（k-1）*n+（n-1）^k；

4. 求出lim?[（xn-xn-1）/（yn-yn-1）]=lim?{n^k/[n^k+n^（k-1）*（n-1）+……+（n-1）^（k-1）*n+（n-1）^k] }=lim?{1/[1+（1-1/n）+……+（1-1/n）^k]?}=1/（k+1）；

5. 所以lim?（1^k+2^k+……+n^k）/n^（k+1）=lim（xn/yn）=lim?[（xn-xn-1）/（yn-yn-1）]=1/（k+1）。

還有一道題計算上面比較復(fù)雜，明天繼續(xù)！