來(lái)源：投稿?作者：憤怒的可樂(lè)?

編輯：學(xué)姐

不懂?dāng)?shù)學(xué)是學(xué)不好人工智能的，本系列文章就匯總了人工智能所需的數(shù)學(xué)知識(shí)。本文是高等數(shù)學(xué)篇。

另有線代篇和概率論篇（點(diǎn)擊關(guān)注公眾后，今后更新，不錯(cuò)過(guò)...）

函數(shù)與極限

函數(shù)

y=f(x)?,x是函數(shù)f的自變量，y是因變量

函數(shù)極限

• 第一種表示|x|是無(wú)窮大的，同樣也可能是正數(shù)或負(fù)數(shù)；

• 第二種表示趨向于正無(wú)窮大；

• 第三種表示趨向于負(fù)無(wú)窮大；

函數(shù)極限的定義：

我們可以通過(guò)圖形來(lái)理解極限，如上圖，該函數(shù)的極限為0(x→?∞和x →+∞ ,都趨向于0，因此說(shuō)x→∞時(shí)極限為0 )

該圖形對(duì)應(yīng)的代碼為:

無(wú)窮小與無(wú)窮大

無(wú)窮小

極限為零的變量稱為無(wú)窮小。

無(wú)窮大

無(wú)窮大和無(wú)窮小都是有條件的，即趨于某一點(diǎn)或無(wú)窮大時(shí)。

極限的四則運(yùn)算

• 兩個(gè)無(wú)窮小的和是無(wú)窮小

• 有界函數(shù)和無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小

常見(jiàn)函數(shù)的極限

函數(shù)連續(xù)

上圖左邊的函數(shù)是連續(xù)的，而右邊的函數(shù)不是連續(xù)的。

舉例

因此極限不存在，該函數(shù)在0處不連續(xù)。

連續(xù)函數(shù)的和差積商也是連續(xù)的；連續(xù)函數(shù)的符合函數(shù)是連續(xù)的；基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)都連續(xù)。

導(dǎo)數(shù)

導(dǎo)數(shù)的理解：

• 指的是該點(diǎn)的變化率，可能是變大（導(dǎo)數(shù)為正），也可能變?。▽?dǎo)數(shù)為負(fù)）

• 從幾何意義上，是該點(diǎn)切線的斜率

怎么理解導(dǎo)數(shù)是變化率：

• 就是如果自變量x繼續(xù)增加，因變量y的變化。

• 如果導(dǎo)數(shù)大于0，則y變大；如果導(dǎo)數(shù)小于0，則y變小。

• 自變量x沿著導(dǎo)數(shù)地方向變化，就是沿著因變量y增加的方向變化。

可導(dǎo)和連續(xù)

先來(lái)看一下連續(xù)和可導(dǎo)的幾何意義

連續(xù)幾何上看就是函數(shù)的圖形不間斷；可導(dǎo)的幾何意義是曲線在該點(diǎn)處有斜率且斜率存在。

那么可導(dǎo)和連續(xù)的關(guān)系，我們可以通過(guò)一個(gè)圖形來(lái)理解：

由于在X2和X4處是斷開(kāi)的，不連續(xù)，無(wú)法做出切線，就沒(méi)有切線的斜率一說(shuō)了，因此不可導(dǎo)。

在X3處是連續(xù)的，但是圖形在X3處不光滑，沒(méi)有辦法做出唯一的切線，因此該點(diǎn)是不可導(dǎo)的。

X5處斜率不存在，不可導(dǎo)。

光滑函數(shù)：曲線不尖銳,必光滑。連續(xù)光滑的曲線，必然處處有切線，這點(diǎn)是必然的，沒(méi)有切線(或沒(méi)有唯一的切線)的地方，就不光滑。

由上可知，不連續(xù)一定不可導(dǎo)；可導(dǎo)則必然連續(xù)；連續(xù)不一定可導(dǎo)。

最后以一個(gè)圖片作為總結(jié)：

導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算

復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法

高階導(dǎo)數(shù)

二階及二階以上的導(dǎo)數(shù)稱為高階導(dǎo)數(shù)。

偏導(dǎo)數(shù)

要學(xué)習(xí)偏導(dǎo)數(shù)，先要了解二元函數(shù)的概念

二元函數(shù)

偏導(dǎo)數(shù)的概念

對(duì)y的偏導(dǎo)數(shù)同理。

要注意的是，?函數(shù)在一點(diǎn)處偏導(dǎo)存在，則函數(shù)在這點(diǎn)不一定連續(xù)。

偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義

注意，求偏導(dǎo)的時(shí)候，把其他因變量看成常量

微分

微分的意義是因變量增量的近似值(函數(shù)變化的程度)

導(dǎo)數(shù)從微分的角度看可以表示成因變量的微分比上自變量的微分，所以導(dǎo)數(shù)還有個(gè)別名叫微商。

由此也可以看出可微和可導(dǎo)是等價(jià)的，因此求微分時(shí)可以先求導(dǎo)數(shù)，再改寫(xiě)為微分。

中值定理

羅爾定理

如果函數(shù)y=f(x)滿足條件

在[a,b]上連續(xù)；

在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)；

f ( a ) = f ( b )；

幾何意義：如果連續(xù)曲線除端點(diǎn)外處處具有不垂直于x軸的切線，且兩個(gè)端點(diǎn)處的縱坐標(biāo)相等，那么其上至少有一點(diǎn)處的切線平行于x軸。

其應(yīng)用是判斷方程根的存在性。

拉格朗日中值定理

該定理反反映了可導(dǎo)函數(shù)在閉區(qū)間上整體的平均變化率與區(qū)間內(nèi)某點(diǎn)的局部變化率的關(guān)系。

從這個(gè)函數(shù)圖形來(lái)看，是不是很像羅爾定理的圖形旋轉(zhuǎn)了一下。并且可以看出，c點(diǎn)處的切線雖然不再平行于x軸，但是平行于AB兩點(diǎn)的連線。即它們的斜率是相等的，有：

得到拉格朗日中值定理：

如果函數(shù)y=f(x)滿足條件

• 在[a,b]上連續(xù)；

• 在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)；

幾何意義：如果連續(xù)曲線除端點(diǎn)外處處具有不垂直于ox軸的切線，那么其上至少有這樣一點(diǎn)存在，在該點(diǎn)處曲線的切線平行于連接兩端點(diǎn)的直線，即兩者斜率相同。

柯西中值定理

是拉格朗日中值定理的推廣。

在拉格朗日中值定理中，若函數(shù)由參數(shù)方程:

表示，如圖所示

則連接兩個(gè)端點(diǎn)A，B的直線斜率為

則由曲線在點(diǎn)P的切線T與直線L平行可知：

得到柯西中值定理：

如果函數(shù)f(x)和F(x)滿足

• 在[a,b]上連續(xù)；

• 在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且F′( x )≠0;

洛必達(dá)法則

設(shè)函數(shù)f(x)，g(x)滿足：

泰勒展開(kāi)式

如果兩個(gè)連續(xù)的曲線想要相同，那么它們?cè)谀骋稽c(diǎn)的一階導(dǎo)數(shù)要相同，二階導(dǎo)數(shù)也要相同，…，n階導(dǎo)數(shù)也要相同，這是泰勒展開(kāi)的核心思想。(曲線的變化率的變化率的變化率…都相同)

如何理解x變成了x?a了呢？從0點(diǎn)改到a點(diǎn)，相當(dāng)于函數(shù)圖像向右平移a個(gè)單位，即變成了x?a (左右平移是X加或減)

得到泰勒展開(kāi)式為：

如果想要等式左右兩邊相等，光到n nn項(xiàng)是不夠的，后面還有n+2,...無(wú)窮多項(xiàng)，n后的無(wú)窮多項(xiàng)通過(guò)Rn(x)來(lái)表示。

不定積分

原函數(shù)：在區(qū)間I上函數(shù)F(x)可導(dǎo)，F(xiàn)′(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx，那么F(x)就是f(x)在這個(gè)區(qū)間上的一個(gè)原函數(shù)。

連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù)

在區(qū)間I上函數(shù)f(x)的全體原函數(shù)F(x)+C稱為f(x)的不定積分，記為∫f(x)dx=F(x)+C

不定積分是全體原函數(shù)(常數(shù)C的導(dǎo)數(shù)為0)

∫積分號(hào),f(x)被積函數(shù)，f(x)dx被積表達(dá)式，x積分變量

微分運(yùn)算與不定積分運(yùn)算互為逆運(yùn)算。

不定積分的性質(zhì)：

∫[f(x)±g(x)]dx=∫f(x)dx±∫g(x)dx

∫ kf(x)dx=k ∫ f(x)dx (k，且不為零)

定積分

如果f(x)是[a,b]上的連續(xù)函數(shù)，并且有F′(x)=f(x)，那么

也就是說(shuō)，一個(gè)定積分式的值，就是原函數(shù)在上限的值與原函數(shù)在下限的值的差。

函數(shù)單調(diào)性與極值

函數(shù)單調(diào)性

函數(shù)極值

極大值和極小值統(tǒng)稱為極值；極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)。

要注意是：

• 極值是局部性概念

• 可以有多個(gè)極大值或極小值

• 端點(diǎn)不是極值點(diǎn)(極值只在區(qū)間內(nèi)部取得)

極值點(diǎn)處若f′(x)=0，這樣的點(diǎn)稱為駐點(diǎn)，若導(dǎo)數(shù)不存在，則稱為尖點(diǎn)。

我們可以注意到，極值點(diǎn)兩側(cè)單調(diào)性不同，也就是導(dǎo)數(shù)符號(hào)不同，

根據(jù)這點(diǎn)，我們可以得到極值判定第一充分條件??

極值判定(極值判定第一充分條件)：

我們看上圖，大概x xx取-3點(diǎn)處的函數(shù)值是極大值，該點(diǎn)出的切線斜率(導(dǎo)數(shù))為0，左則切線斜率大于0，右側(cè)切線斜率小于0。

也就是說(shuō)，一階導(dǎo)數(shù)在單調(diào)遞減，因此二階導(dǎo)數(shù)小于0。得出極值判定第二充分條件：

極值判定(極值判定第二充分條件)：

曲線的凹凸與拐點(diǎn)

凹凸

設(shè)函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)：

若曲線f(x)上任一點(diǎn)切線位于曲線的下方，則稱曲線在(a,b)內(nèi)是凹的，區(qū)間(a,b)稱為凹區(qū)間；

若曲線f(x)上任一點(diǎn)切線位于曲線的上方，則稱曲線在(a,b)內(nèi)是凸的，區(qū)間(a,b)稱為凸區(qū)間；

但是這是在給定了函數(shù)圖像的情況下，若沒(méi)有函數(shù)圖像，我們?cè)撊绾瓮ㄟ^(guò)函數(shù)表達(dá)式來(lái)判斷呢？

可以看到，導(dǎo)函數(shù)f′(x)是單調(diào)遞增的，也就是f′′(x)≥0

同理，凸函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)f′′(x)≤0

函數(shù)的凹凸性判斷

如果函數(shù)f(x)在(a,b)具有二階導(dǎo)數(shù)f′′(x)：

• 若在(a,b)內(nèi)f′′(x)>0，則f(x)在(a,b)內(nèi)是凹的；

• 若在(a,b)內(nèi)f′′(x)<0，則f(x)在(a,b)內(nèi)是凸的；

拐點(diǎn)

定義：連續(xù)曲線上凹弧與凸弧的分界點(diǎn)稱為曲線的拐點(diǎn)。

— 完 —

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