預(yù)備知識：

1. 收斂數(shù)列{an}極限為a，則an=a+ɑn，其中{ɑn}為一個無窮??；

2. 收斂數(shù)列必有界；

3. 有限個無窮小的和還是無窮??；

4. 有界數(shù)列乘以無窮小的積還是無窮小；

5. 設(shè)lim an=a，則lim（a1+a2+……+an）/n=a；

6. 設(shè)lim an=a，lim（a1+2a2+……+nan）/（1+2+……+n）=a。

參考資料：

1. 《數(shù)學(xué)分析習(xí)題演練》（周民強(qiáng) 編著）

2. 《空間解析幾何》（高紅鑄 王敬蹇 傅若男 編著）

3. 《高等代數(shù)習(xí)題集》（楊子胥 編）

數(shù)學(xué)分析——

例題（來自《數(shù)學(xué)分析習(xí)題演練（周民強(qiáng)?編著）》）——

設(shè)有{an}滿足lim（a1+a2+……+an）=A，試證明：

a.lim（a1+2a2+……+nan）/n=0.

b.lim（n！a1*a2*……*an）^（1/n）=0.

證：

a.

1. 令S0=0，Sn=a1+a2+……+an，an=Sn-Sn-1，已知lim Sn=A，則lim（S1+S2+……+Sn）/n=A；

2. a1+2a2+……+nan

   =（S1-S0）+2（S2-S1）+……+n（Sn-Sn-1）

   =-（S1+……+Sn-1）+nSn；

3. lim（a1+2a2+……+nan）/n

   =-lim（S1+……+Sn-1）/n+lim Sn

   =-lim（S1+……+Sn-1）/（n-1）lim（n-1）/n+lim?Sn

   =-A*1+A=0.

b.

1. n！a1*a2*……*an

   =1a1*2a2*……*nan

2. 由均值不等式：

   0

   <=（n！a1*a2*……*an）^（1/n）

   =（1a1*2a2*……*nan）^（1/n）

   <=（a1+2a2+……+nan）/n；

3. lim（a1+2a2+……+nan）/n=0，所以lim（n！a1*a2*……*an）^（1/n）=0.

解析幾何——

例題（來自《空間解析幾何（高紅鑄 王敬蹇 傅若男?編著）》）——

三個向量有公共的始點(diǎn)O，并分別以三角形ABC的頂點(diǎn)為終點(diǎn).試證OA+OB+OC=0的充要條件為：點(diǎn)O為三角形ABC的重心。

證：

a.充分性：若O為三角形ABC的重心，D，E，F(xiàn)分別為BC，CA，AB中點(diǎn)——

1. OA

   =2DA/3

   =2（DB+BA）/3

   =2[（CB/2）+BA）/3

   =（CB+2BA）/3

   =[（OB-OC）+2（OA-OB）]/3

   =2OA/3-OB/3-OC/3；

2. 由1：OA+OB+OC=0。

b.必要性：OA+OB+OC=0，設(shè)G為三角形ABC重心——

1. OA=-（OB+OC）；

2. GA

   =2DA/3

   =2（DB+BA）/3

   =2[（CB/2）+BA）/3

   =（CB+2BA）/3

   =[（OB-OC）+2（OA-OB）]/3

   =2OA/3-OB/3-OC/3；

3. 由1：

   GA

   =2OA/3-OB/3-OC/3

   =2OA/3-（OB+OC）/3

   =-2（OB+OC）/3-（OB+OC）/3

   =-（OB+OC）

   =OA；

4. OG=OA+AG=OA-GA=0，則O點(diǎn)，G點(diǎn)重合，即O為三角形ABC的重心。

高等代數(shù)——

例題（來自《高等代數(shù)習(xí)題集（楊子胥 編）》）——

設(shè)A，B，C均為n階矩陣.證明：如果B=E+AB，C=A+CA，則B-C=E.

證：

1. C=A+CA，則C-CA=A，則C（E-A）=A；

2. B=E+AB，則B-AB=E，則（E-A）B=E；

3. C=CE=C（E-A）B=AB；

4. B=E+AB=E+C，則B-C=E.

到這里！