【閱前提示】本篇出自『數(shù)理化自學(xué)叢書6677版』，此版叢書是“數(shù)理化自學(xué)叢書編委會”于1963-1966年陸續(xù)出版，并于1977年正式再版的基礎(chǔ)自學(xué)教材，本系列叢書共包含17本，層次大致相當(dāng)于如今的初高中水平，其最大特點(diǎn)就是可用于“自學(xué)”。當(dāng)然由于本書是大半個世紀(jì)前的教材，很多概念已經(jīng)與如今迥異，因此不建議零基礎(chǔ)學(xué)生直接拿來自學(xué)。不過這套叢書卻很適合像我這樣已接受過基礎(chǔ)教育但卻很不扎實(shí)的學(xué)酥重新自修以查漏補(bǔ)缺。另外，黑字是教材原文，彩字是我寫的注解。

【山話嵓語】『數(shù)理化自學(xué)叢書』其實(shí)還有新版，即80年代的改開版，改開版內(nèi)容較新而且還又增添了25本大學(xué)基礎(chǔ)自學(xué)內(nèi)容，直接搞出了一套從初中到大學(xué)的一條龍數(shù)理化自學(xué)教材大系列。不過我依然選擇6677版，首先是因?yàn)?677版保留了很多古早知識，讓我終于搞明白了和老工程師交流時遇到的奇特專業(yè)術(shù)語和計(jì)算模式的來由。另外就是6677版的版權(quán)風(fēng)險(xiǎn)極小，即使出版社再版也只會再版80年代改開版。我認(rèn)為6677版不失為一套不錯的自學(xué)教材，不該被埋沒在故紙堆中，是故才打算利用業(yè)余時間，將『數(shù)理化自學(xué)叢書6677版』上傳成文字版。??

第十二章曲線運(yùn)動，轉(zhuǎn)動

【山話||? 本系列專欄中的力單位達(dá)因等于10??牛頓；功的單位爾格等于10??焦耳。另外這套老教材中的力的單位常用公斤，如今是不允許的，力是不能使用公斤為單位的】

§12-6向心力和離心力

【01】從§12-5中知道，作勻速圓周運(yùn)動的物體，由于受到向心力的作用而具有向心加速度 a＝v2/R? 。于是應(yīng)用牛頓第二運(yùn)動定律 F＝ma，把向心加速度的值代入，就得到向心力。

【02】由此可見，作勻速圓周運(yùn)動的物體所受的向心力，等于它的質(zhì)量和線速度的平方的乘積被圓半徑所除的商。

【03】讀者必須注意，任何一種力，只要是使物體作勻速圓周運(yùn)動的，都可以作為向心力。在力學(xué)范圍內(nèi)，重力、彈力和摩擦力，都可以看作為向心力，所以我們決不能誤以為向心力是上述三種力之外的另一類的力。我們舉幾個例子來加以說明。

【04】在彈簧上拴一個小鋼球（圖12·22）。我們把球沖擊一下，使它沿箭頭所指的方向運(yùn)動。開始時球由于慣性而作直線運(yùn)動，這時它和固定點(diǎn) O 的距離增加，因而使彈簧伸長。這樣就產(chǎn)生了作用在球上的指向固定點(diǎn)的彈力，這個力就使球開始沿圓周運(yùn)動。所以，在這個例子中，彈力就是鋼球作勻速圓周運(yùn)動所需要的向心力。

【05】我們再來討論騎自行車的人的運(yùn)動。當(dāng)運(yùn)動沿著直線進(jìn)行時，作用在人和自行車上的總重力 P 和地面對它們的托力 Q 位于同一條豎直線上，并且相互平衡。在轉(zhuǎn)彎時，人和車向圓心一方傾斜（圖12·23）。這時，作用在人和車上的力 P 和 Q 不再平衡，它們的合力 F 指向圓心，并使人和車獲得向心加速度 a＝v2/R 而作勻速圓周運(yùn)動。由此可見，這個合力就是向心力。

【06】賽跑和滑冰時，到了轉(zhuǎn)彎的地方，也總是要把自己的身體向圓心一方傾斜，以獲得轉(zhuǎn)彎時所需要的向心力。

【07】月球和人造衛(wèi)星繞地球運(yùn)行所需要的向心力，就是地球?qū)λ鼈兊囊Α?/p>

【08】根據(jù)牛頓第三運(yùn)動定律，既然作圓周運(yùn)動的物體從另外的物體那里得到所需要的向心力，那么它必然對另外的物體也同時有一個大小相等、方向相反（沿半徑離開圓心）的力，這個力叫做離心力，例如在圖12·22中，彈簧作用在鋼球上的力是鋼球作圓周運(yùn)動時所需要的向心力，而鋼球作用在彈簧上的力就是離心力。月球或人造衛(wèi)星繞地球運(yùn)行時的離心力就是它們對地球的引力。

【09】向心力和離心力是作用力和反作用力，它們大小相等、方向相反，同時存在、同時消失，而且作用在兩個不同的物體上，因此它們決不能相互平衡。

【10】向心力和離心力的概念很重要，讓我們再舉一個例子來說明。如圖12·24所示，在光滑水平桌面的中央，釘一只釘子，釘子上套一根細(xì)繩，繩子的另一端拴一個小球。先把繩子拉直，然后在繩子的垂直方向?qū)π∏驔_擊一下，使之獲得一個水平速度。如果沒有繩子拉住小球，由于慣性，小球?qū)⒀剡@時的速度方向運(yùn)動?，F(xiàn)在繩子拉住小球，就是給它一個拉力，迫使它改變運(yùn)動方向。改變運(yùn)動方向以后，如果沒有繩子拉住它，小球又將由于慣性而沿這時的速度方向作直線運(yùn)動，但繩子仍舊拉住它，因而它又改變運(yùn)動方向。這樣小球在繩子的拉力作用下，繼續(xù)不斷地改變運(yùn)動方向而作勻速圓周運(yùn)動。

【11】繩子拉住小球的力就是向心力【繩子拉住小球的力實(shí)際上是繩子的彈力（或稱張力），因小球要按慣性離開圓周作直線運(yùn)動，把繩子拉長，于是繩子就產(chǎn)生彈力，拉住小球，這和圖12·22是一樣的】，沿著半徑指向圓心作用在小球上。小球?qū)K子的力就是離心力，沿著半徑離開圓心作用在繩子上。它們的大小相等、方向相反。

【12】假使在某一瞬間繩子突然斷裂，則小球即將從它斷裂瞬間所在的位置沿切線方向飛去。這個現(xiàn)象，有人以為小球是在離心力的作用下飛出去的。當(dāng)然，這是錯誤的。我們必須明確：第一，繩子一旦斷裂，向心力就立即消失，同時離心力也立即消失；第二，離心力是作用在繩子上的，不是作用在小球上的；第三，離心力的方向是沿半徑向外，不是沿切線方向。因此，這個現(xiàn)象決不能用離心力來說明，而應(yīng)該說：因?yàn)槔K子斷裂，小球已不受力的作用，由于慣性，按照牛頓第一運(yùn)動定律，保持它的勻速直線運(yùn)動狀態(tài)不變，而沿切線方向飛出去的。

例9.一輛汽車和它所載的貨物共重為 P，用速度 v 通過橋面。設(shè)橋面圓弧的半徑都是R，求汽車在通過下列兩種橋面中央時作用在橋上的壓力。(1)凹形，(2)凸形（圖12·25）。

【解】

(1)先討論作用在汽車上的力。汽車受到的作用力有兩個，一個是汽車和所載貨物的重力 P，豎直向下；另一個是橋面對它的托力 Q，豎直向上。托力 Q 在數(shù)值上等于汽車對橋面的壓力（因?yàn)闃蛎鎸ζ嚨耐辛推噷蛎娴膲毫κ且粚ψ饔昧头醋饔昧Γ?

????????當(dāng)汽車靜止時，力 P 和 Q 在同一條豎直線上，并且相互平衡。但當(dāng)汽車在橋上運(yùn)動并通過中點(diǎn)時，力 P 和 Q 就不再平衡，它們的合力就是使汽車沿圓弧形橋面行駛時所需要的向心力 F? 。

(2)現(xiàn)在我們來求橋面對汽車的托力 Q? 。

????????因?yàn)榱?P 和 Q 作用在同一直線上，并且方向相反，所以向心力 F 等于它們的數(shù)值的差，即

????????對于凹形橋面：F＝Q－P，∴? Q＝P＋F? 。

????????對于凸形橋面：F＝P－Q，∴??Q＝P－F? 。

????????用P＝mg，F(xiàn)＝mv2/R 代入，得

????????凹形橋面：Q＝mg＋mv2/R? 。

????????凸形橋面：Q＝mg－mv2/R? 。

(3)由于汽車對橋的壓力在數(shù)值上等于橋?qū)ζ嚨耐辛?Q，所以我們說：汽車在通過凸形橋面的最高點(diǎn)時，對橋的壓力比本身的重量為??；汽車在通過凹形橋面的最低點(diǎn)時，對橋的壓力比本身的重量為大。如果汽車的速度相當(dāng)大，那么，它對凹形橋面的壓力就比本身的重量大得多，因此，凹形橋?qū)嶋H上是不適用的。

例10.鐵路轉(zhuǎn)彎處圓弧的半徑是R，兩軌道之間的寬度是d? 。如果火車通過這里的標(biāo)準(zhǔn)速度是v，求這里的外軌道比內(nèi)軌道應(yīng)該高多少？

【解】和自行車轉(zhuǎn)彎時一樣，火車在轉(zhuǎn)彎的地方也必須向圓心一方傾斜。這種傾斜是依靠鐵路在轉(zhuǎn)彎的地方外軌道要鋪得比內(nèi)軌道稍高一些得到的，也就是說，在這種地方路面是稍有傾斜的，傾斜面對向圓心（圖12·26）。

????????作用在火車上的力有兩個：一個是火車的重量 P；另一個是鐵軌對火車的托力 Q，其大小就等于火車對鐵軌的壓力，它們的合力 F 就是使火車得到向心加速度的向心力。

????????如圖12·27所示，OQ⊥CB，OP⊥AB，所以△ABC~△OPF，因此，。如果 AC＝內(nèi)、外兩軌道的離度差＝h，AB≈CB＝兩軌道之間的寬度＝d，于是。

????????再用F＝mv2/R，P＝mg 代入，得。

????????由此可見，在轉(zhuǎn)彎處，軌道半徑 R 一定時，內(nèi)、外兩軌道之間的高度差是根據(jù)一定的速度來決定的。反過來講，對于一定的內(nèi)、外軌道高度差，就要有一定的速度來配合它。如果火車的速度大大地超過了這個速度，就有可能發(fā)生火車出軌或傾復(fù)事故。

習(xí)題12-6

1、一輛汽車和它所載的貨物共重5噸。這輛汽車用21.6公里/小時的速度通過凸形橋面。橋的圓弧的半徑是50米。求汽車通過橋中央時作用在橋面上的壓力。（取g＝10米/秒2）【4640公斤】

2、一個重25公斤的小孩坐在秋千板上，秋千板離拴繩子的橫梁是3米。如果秋千板經(jīng)過最低位置時的擺動速度是2.7米/秒，求這時秋千板所受的壓力?！炯s31.2公斤】

3、鐵路轉(zhuǎn)彎處圓弧的半徑是300米，兩軌道之間的寬度是1435毫米。如果火車通過這里的標(biāo)準(zhǔn)速度是54公里/小時，求這里的外軌道比內(nèi)軌道要高出多少？【約0.11米】

4、使一把撐開的帶有雨水的傘繞著傘柄旋轉(zhuǎn)，當(dāng)速度不太大時，雨點(diǎn)隨著旋轉(zhuǎn)作圓周運(yùn)動。試問這里作為雨點(diǎn)的向心力是什么力？當(dāng)旋轉(zhuǎn)速度增大時，雨點(diǎn)為什么會沿切線方向飛去？

5、飛機(jī)在天空的豎直平面上作半徑為150米的圓周運(yùn)動。如果飛行員的體重是70公斤，飛機(jī)經(jīng)過圓周的最低點(diǎn)時的速度是360公里/小時，求這時飛行員對座位的壓力。（取g＝10米/秒2）【約537公斤】