撰文 | 丁玖（美國南密西西比大學(xué)數(shù)學(xué)系教授）

對于從事數(shù)學(xué)研究的大學(xué)教師，寫作并發(fā)表學(xué)術(shù)論文和教學(xué)一樣都是不可或缺的日常事務(wù)；對于數(shù)學(xué)各個分支領(lǐng)域的研究生，寫作也是學(xué)術(shù)訓(xùn)練的一個重要方面。目前，大部分中國學(xué)者是用英文寫作數(shù)學(xué)文章的，導(dǎo)致中國早已成為全世界僅次于美國的SCI論文大國。但是許多人的英文寫作是有不少問題的。在這篇文章里，我將就英文數(shù)學(xué)寫作談?wù)勎业目捶?，并對一些需要注意的地方舉例說明。

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首先我指出，英文寫作與中文寫作的基本原理是一樣的，即：要想說好某件事，一定要有某事說。這被美國已故的數(shù)學(xué)寫作與演講大家哈爾莫斯（Paul Halmos）列為“寫作第一原則”：In order to say something well you must have something to say. 他心目中的“寫作第二原則”是：當你決定寫作時，問問自己預(yù)期讀者是誰（When you decide to write something, ask yourself who it is that you want to reach.）。每一個寫作者，包括數(shù)學(xué)家們，都要牢記這兩項基本原則。

對于母語和外語而言，提高寫作水準的有效方法也是一樣的。一個放之四海而皆準的妙法很簡單，就是“熟讀唐詩三百首”。大量閱讀是提高寫作能力的一大法寶。如果一個人母語的寫作能力欠缺，即便能背得出一萬個外語單詞，他用那種語言大概也寫不出拿出手的文章。所以那些想在數(shù)學(xué)英文寫作中找竅門走捷徑的人，在對那些“博覽群書”者寫下的優(yōu)美文章前“臨淵羨魚”之后，不要忘了回到家里“退而結(jié)網(wǎng)”。

數(shù)學(xué)寫作屬于科學(xué)寫作。我先來概括一下科學(xué)寫作的一般要素。科學(xué)寫作的目的是交流學(xué)術(shù)思想和科學(xué)發(fā)現(xiàn)，所以在動筆前作者首先要清楚，這篇文章是寫給誰看的。要充分收集與本次寫作有關(guān)的材料以及關(guān)鍵的文獻，要仔細斟酌所表達內(nèi)容的先后次序和邏輯結(jié)構(gòu)。在寫作過程中要精確、清晰、簡潔、客觀地表達想說的東西。初稿完成后，要反復(fù)推敲，不斷修改，這對初出茅廬的新手尤其重要。為了不斷提高寫作水平，要養(yǎng)成閱讀國外英文學(xué)術(shù)書刊的好習(xí)慣。此外，要熟記本學(xué)科以及相鄰學(xué)科和相關(guān)領(lǐng)域的基本術(shù)語和常用專業(yè)詞匯。最后我想強調(diào)的是，寫文章貴在創(chuàng)新，切忌表達千篇一律?！俺F(xiàn)成的東西”是我們應(yīng)該終生“棄之如敝屣”的不良作風(fēng)。

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現(xiàn)在我簡單談?wù)撐恼碌慕Y(jié)構(gòu)。一篇數(shù)學(xué)文章一般由以下幾個部分組成：題目、摘要、引言、主體、結(jié)論、參考文獻。有的文章還有附錄。我們對每一部分大致說明一下。

標題（title）是用最少的文字表達文章的主要內(nèi)容，它應(yīng)該簡潔、具體，并且要直接明了。一個佳例是我博士導(dǎo)師李天巖教授三十歲時與他的博士論文導(dǎo)師約克(James Yorke) 教授于1975年12月在《美國數(shù)學(xué)月刊》（American Mathematical Monthly）上發(fā)表的論文Period Three Implies Chaos。雖然文章的定理給出的是在比“周期三點存在”更加一般的假設(shè)下，逐次迭代一個連續(xù)函數(shù)的驚人結(jié)論，但“周期三點存在”這個特殊假設(shè)使得只有四個單詞的標題成為可能，而且該題目概括了文章的主要貢獻——此文在數(shù)學(xué)上首次引進“混沌”的數(shù)學(xué)術(shù)語。筆者參與寫作的關(guān)于一類新分形的一篇文章，標題就是直截了當?shù)姆中蚊郑篠ierpiński Pedal Triangles，讀者看了馬上一目了然。另外一些科學(xué)名篇的簡潔標題包括“混沌之父”洛倫茲（Edward Lorenz）的“Deterministic Nonperiodic Flow”。

由于文章標題特別重要，它需要作者費點心思推敲確定。香港城市大學(xué)電子工程系的陳關(guān)榮教授在一次關(guān)于科技寫作的演講中，舉了自己與弟子合作的一篇短論文作為例子，談?wù)撛鯓有薷臉祟}。這篇后來被廣泛引用的文章，初稿完成后的標題是“A New Chaotic Attractor Connecting the Lorenz Attractor and the Chen Attractor”。在文章修改過程中，作者仔細斟酌了標題，發(fā)現(xiàn)它雖然表達清楚，但有不簡潔的缺點，例如單詞“attractor”出現(xiàn)了三次。最終，他們將它改成了既精煉又醒目的短標題A New Chaotic Attractor Coined。

文章標題最好不要太籠統(tǒng)，而要具體，少用那些范圍太廣的學(xué)術(shù)名詞，切忌寫成像個書名，如Numerical analysis for Fluid Dynamics。在某些場合，疑問式的標題容易抓住讀者的眼球，如“分形之父”曼德博（Benoit Mandelbrot）的開創(chuàng)性論文How Long Is the Coast of Britain？總而言之，文章標題將給讀者留下關(guān)于該文的第一印象，如果它不是那么引人入勝的話，潛在的讀者可能不會繼續(xù)瀏覽文章的摘要進而閱讀全文。

摘要（abstract）是關(guān)于文章主要結(jié)果的一段或幾段文字概括。它是讀者的領(lǐng)路人，基本要求是短而精，并能提供文章的關(guān)鍵信息。為了讓更多的人讀之，應(yīng)該寫得讓作者所在專業(yè)小領(lǐng)域的“母體”領(lǐng)域大同行也能不費力氣地看懂。技術(shù)上，它應(yīng)該避免使用數(shù)學(xué)符號和公式，最好從頭到尾用敘述性文字，讓讀者覺得就像在林中散步時聽老朋友聊天一樣。摘要通常寫在文章初稿完成后，這時，不應(yīng)該照抄文章引言或結(jié)論兩節(jié)中的有關(guān)句子。要重新構(gòu)思，盡管表達與文章有關(guān)部分同樣的意思，也要使用不同的語詞表達，免得讀者有“似曾相識”之感。另外，可有可無的詞和句子盡量不用或少用，如“In this paper”。

如果必須在摘要里提到某篇文章，不要像在正文里那樣只列出它在文末“參考文獻”內(nèi)的序號，而是詳細給出該文所在的雜志名稱和發(fā)表信息，如發(fā)表年份、雜志卷數(shù)和期號。這是因為許多報告過的文章摘要也被放進某次會議的摘要集，而摘要的讀者讀不到文章后面的參考文獻。

純粹數(shù)學(xué)文章的摘要一般短于應(yīng)用數(shù)學(xué)和計算數(shù)學(xué)，篇幅比較短的文章摘要甚至一句話就能全面概括文章貢獻，如Lasota和Yorke一篇1973年發(fā)表的現(xiàn)代遍歷理論經(jīng)典論文的摘要是“A class of piecewise continuous, piecewise C1 transformations on the interval [0, 1] is shown to have absolutely continuous invariant measures.”

好的摘要能吊起讀者的胃口，馬上就想讀文章的第一部分——引言，因此將它寫好對迅速傳播自己的研究成果十分重要。

引言（introduction）可被看成是擴充版的摘要，它將給出文章的背景、有關(guān)的前人研究成果、本文需要解決的問題、求解的思路等。在敘述別人的工作時，既要客觀報道，也不應(yīng)隨意貶低，鋒芒畢露；當介紹自己的成果時，要用新聞體式的平實語言，概括得體。整個引言要寫得一氣呵成，開始部分要用淺顯易懂的語言引導(dǎo)讀者慢慢登堂入室，信心滿滿地理解整篇文章要解決的問題和采用的思想及方法。要力求避免一開始就羅列一大堆數(shù)學(xué)符號，因為這容易導(dǎo)致讀者對后面的部分望而生畏而止步于此。引言只須提及與本文密切相關(guān)的背景和應(yīng)用，不必大張旗鼓地談?wù)搼?yīng)用前景的方方面面，免得離題太遠。要知道，研究型文章寫的是自己的研究結(jié)果，不是有關(guān)應(yīng)用歷史或前景的綜述場所，所以次要甚至無需的材料不要寫得喧賓奪主。

引言的中間應(yīng)該概括文章的主要貢獻、好的新結(jié)果，論證的方法，以及期待的效果。它的內(nèi)容包括：提出問題，總結(jié)過去，分析困難，解決措施，給出目的等。

引言的最后部分一般是對文章的結(jié)構(gòu)做出說明，給出文章主體部分各小節(jié)的基本內(nèi)容。但是，這里不應(yīng)該將各節(jié)的小標題再寫上一筆，而是補充交代小節(jié)的目的所在。

文章的引言寫好后常需修改，而主要修改之處往往導(dǎo)致“瘦身”，因為敘述啰嗦以及多此一舉是寫作中常有的毛病，容易讓第一節(jié)變得“虛胖”。再版過一本數(shù)學(xué)寫作手冊的一位英國皇家學(xué)會會士說過：“改進引言的一個可行方法是刪去第一句或前幾句，因其常為無關(guān)緊要的泛泛而談?！彼e了一個佳例：Polynomials are widely used as approximating functions in many areas of mathematics and they can be expressed in various bases. We consider here how to choose the basis to minimize the error of evaluation in floating point arithmetic. 這兩句話中的第一句是人人知道的簡單事實，不必再提。因此他將兩句縮成一句，并且是讓人思考的疑問句：In which basis should we express a polynomial to minimize the error of evaluation in floating point arithmetic? 因此，我們只要記住“可寫可不寫的句子就不要寫”的這個簡單法則，就能去掉引言中的那些“多余的話”。

主體（main body）是文章的主要部分，它由引言和結(jié)論一前一后兩節(jié)之間的所有小節(jié)構(gòu)成。這幾節(jié)的寫法百花齊放，各有各的特色。一般第一節(jié)引入所需的新老概念、術(shù)語定義以及預(yù)備知識或有用命題；對于計算數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)分支，它也含有需要數(shù)值求解的連續(xù)方程，包括微分或積分方程，或算子方程。對純粹數(shù)學(xué)而言，下面的各節(jié)就要敘述作者新發(fā)現(xiàn)的定理，通常做法是將定理的證明也一并帶上。對于復(fù)雜的定理證明，也可以另設(shè)一節(jié)，專事證明。也有少數(shù)篇幅較大的文章將證明放到文章主體的最后甚至更后的附錄中。對于應(yīng)用數(shù)學(xué)和計算數(shù)學(xué)，這里是數(shù)值方法設(shè)計和分析的場所，包括關(guān)于算法收斂性的理論證明，加上計算試驗的數(shù)值列表畫圖。

如果定理的證明較長，幫助讀者理解關(guān)鍵想法的一個好方法是將一個或幾個思路的結(jié)果寫成引理，放在定理的前面。有的文章將所有定理所需的引理統(tǒng)統(tǒng)放在一起，甚至單列一節(jié)。但是較好的做法是將服務(wù)于哪個定理的引理放在那個定理的前面，便于讀者閱讀。

文章主體部分的撰寫沒有套路可循，但基本的原則就是清楚完整地展示作者解決問題的思路和方法，不同學(xué)科的寫作風(fēng)格和表達方式可能稍有區(qū)別。初學(xué)者可以通過閱讀寫作經(jīng)驗豐富的同行專家已被發(fā)表的論文，最好是英文為作者母語刊登在權(quán)威雜志上的那些，來學(xué)會怎樣寫。剛開始從事寫作時可以小模仿，但絕不能整段整句地抄別人的敘述。

主體部分包含許多數(shù)學(xué)公式，有的因為后面用到而需要標號。記住一個原則：盡量少用標號。后面不需要的公式就不要標號。如果某個公式僅在下一行或幾行處提到，也不必標號，可以用像“the above equality”類似的詞組指出該公式而不會引起誤解。

結(jié)論（conclusions）通常是文章的最后一節(jié)，它的功能就是關(guān)于文章內(nèi)容的“總結(jié)性發(fā)言”，闡述本文的主要貢獻，使得讀者在讀完文章主體后有個全面的回顧。這時作者可以展望未來，就相關(guān)的研究提出設(shè)想。理想的結(jié)論節(jié)除了不重復(fù)引言中的句子外，還要具備讓讀者有余音繞梁之感或意猶未盡之慨，會引發(fā)他們對未決問題的思考，甚而心中涌起躍躍欲試的沖動。與引言不一樣的是，當在結(jié)論節(jié)總結(jié)文章的主要工作時，常常用過去式時態(tài)來敘述，例如The main contribution of the paper is that we proved an existence theorem for the class of piecewise convex transformations of the unit interval.

一些人寫到結(jié)論節(jié)的標題時只寫單數(shù)，不加表示復(fù)數(shù)的“s”，這是不太規(guī)范的。按照約定俗成的做法，這一節(jié)的標題是“Conclusions”，如果不用其他詞組如“Concluding Remarks”的話。

參考文獻（references）中堆放的是與文章內(nèi)容有關(guān)并且被正文引用的那些論文和書籍。它看上去可以不費吹灰之力地完成，但實際上是最容易出錯的地方。最大的錯誤可能是格式不統(tǒng)一，即不同參考文獻的寫法各異。原因可能是作者不分青紅皂白地將別人文章中的對應(yīng)條目全盤照搬，而忘了不同雜志對參考文獻的寫法格式或有細微差別。其他錯誤包括作者的姓和名次序不一致、雜志名稱的全名和縮寫前后混用、屬于同一范疇的詞組字體不一樣、上下不按照第一作者英文姓的首字母次序排列等。參考文獻應(yīng)盡可能地放上原始論文，除非信息缺乏而迫不得已改列間接出處，如一本書。當然教科書中的經(jīng)典結(jié)果無需列出最早的出處，只要給出含有它們的著作即可。還有一個需要注意的事項是：文章中被引用的全部論文或圖書必須與參考文獻中的所有條目一一對應(yīng)。作者應(yīng)該記住，與文章沒有關(guān)系的文獻一條也不應(yīng)該列。極端的例子屬于柯爾莫哥洛夫（Andrey Kolmogorov），他有約15篇論文沒有參考文獻，因為它們都是真正開創(chuàng)性的工作。另一方面，對文章研究成果出過力的任何文獻，作者都應(yīng)該列出，缺一不可。

文章的第一頁除了標題外，還包含了作者姓名等信息。關(guān)于多位作者的署名，數(shù)學(xué)文章國際通用的約定俗成是按照英文姓氏首字母排序。記得我在美國讀博士時所寫的第一篇數(shù)學(xué)文章，初稿將合作者、導(dǎo)師李天巖教授的名字放在第一，反映出尊師的傳統(tǒng)習(xí)慣。他修改文章時，將兩人的署名順序顛倒過來，并告訴我“按字母順序署名”是數(shù)學(xué)界的不成文規(guī)矩，與作者貢獻無關(guān)。從此我和他的所有合作論文都是這樣按照規(guī)矩辦事的。我的師爺約克教授的英文姓是Yorke，所以他的合作文章幾乎篇篇他的署名在后，但這不影響他的學(xué)術(shù)貢獻和地位。如果數(shù)學(xué)文章的署名違反了規(guī)矩，那可能是那個排在后面的作者貢獻微小，盡管如按此人姓氏首字母應(yīng)該排在前面。當然對于反序的例外情形，也有別的種種不便明說的原因。

許多文章的最后有致謝部分，感謝對文章有貢獻但未署名的人和/或研究基金。有的文章在投稿過程中，某個認真負責(zé)的審稿人對改進文章的數(shù)學(xué)或語言有不可忽視的幫助，這時作者最好表示感謝這位匿名者。致謝部分應(yīng)該寫得簡潔，比如I would like to thank可以縮短為I thank。

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下面我略談一下文章寫作的基本材料——單詞和詞組。雖然科技寫作不像文學(xué)創(chuàng)作那樣追求想象力和抒情，但有一點是共同的，就是避免重復(fù)用詞。這就要求作者擁有比較大的詞匯量，在表達相同或相似的意思時可以選取不同的單詞來表達。我和湯濤教授合著的工具書《數(shù)學(xué)之英文寫作》中，有一章列出了數(shù)學(xué)不同學(xué)科的基本詞匯表，以及表達相同或相反意思的英文單詞和詞組。為了提高英文寫作的能力和用詞的靈活性，就要經(jīng)常從本專業(yè)歐美作品中吸取營養(yǎng)。比如說，養(yǎng)成習(xí)慣定期瀏覽美國數(shù)學(xué)會網(wǎng)站www.ams.org中會員通俗雜志Notices of the American Mathematical Society上的綜述文章甚至新聞簡報。我于1986年去美國讀博士的那幾年，作為系里提名的美國數(shù)學(xué)會學(xué)生會員，每期收到這個內(nèi)容豐富的雜志后，我都要瀏覽一番，好的文章細讀，而不是像有的人那樣將它摔在一邊，不聞不問。讀這類雜志的好處多多，不僅可以了解其他領(lǐng)域的一些行情，而且從那些優(yōu)美的寫作中學(xué)會怎樣寫數(shù)學(xué)文章，還可以更進一步從那些數(shù)學(xué)家（如陳省身教授）的訪談中，了解他們成長的心路歷程和有趣故事。我自己的英文寫作能力除了我以前打下的中文寫作基礎(chǔ)，就主要得益于對英文雜志這樣的大量閱讀。

國內(nèi)學(xué)者英文寫作中的一個普遍問題是關(guān)于冠詞以及可數(shù)名詞單數(shù)或復(fù)數(shù)的用法上。一般來說，當?shù)谝淮螌懙侥硞€可數(shù)名詞時，比方說在定義一個術(shù)語的時候，我們可將此名詞或詞組寫成前面有不定冠詞的單數(shù)形式，如Let V be a vector space或For an orthonormal basis，或?qū)懗蓮?fù)數(shù)形式，如Generalizations of the above lemma appear in various articles。但是當所述名詞帶有限定語的時候，常常需要寫成前置定冠詞的單數(shù)形式，如Let B(H) be the algebra of all bounded linear operators on a complex Hilbert space H. 一個學(xué)科的名稱，如algebra（代數(shù)），屬于不可數(shù)名詞，所以我們這樣寫：from Banach’s Lemma in functional analysis，而不寫in the functional analysis。然而有了一個具體對象后，就要用定冠詞了，如The first part of the book is on the functional analysis of Frobenius-Perron operators and the second one is devoted to the numerical analysis of the operator. 當一個名詞第一次以復(fù)數(shù)形式出現(xiàn)時，一般不用定冠詞，除非名詞前有限定性定語，如teaching for sciences及teaching for the computational sciences。當一個對象存在但不是唯一時，通常用不定冠詞或復(fù)數(shù)，而當這個對象很快再被提及時，就可以用定冠詞了，此時the有著“這個 (this) ”或“那個 (that) 的意思。茲舉一例：

Suppose a smooth function has a critical point. If the second derivative of the function at the critical point is positive, then it is a relative minimum of the function.

抽象名詞因為不可數(shù)，當然不能用不定冠詞，如果非用不可，就需要某種“量詞”放在它的后頭。例如，我們不能寫This is a wonderful news，而是要寫成This is wonderful news或者This is a piece of wonderful news.

還有幾個與定冠詞有關(guān)的寫法：(i)當指一樣?xùn)|西時，例如某個公式，可以有兩種途徑。一種是用the，另一種就省去它。因此from the inequality (5)和from inequality (5)都是正確的寫法。但如果不列出公式標號，光寫from inequality就不對，因為這里讀者不知道指的是哪個公式，這時可根據(jù)上下文寫成如from the above inequality。(ii)當寫以某人名字命名的命題時，可以用所有格形式或在人名前加上the，例如by Li-Yorke’s theorem或by the Li-Yorke theorem，但不能寫by the Li-Yorke’s theorem。(iii)一些形容詞當名詞使用時，一般加the，如From the above和the more, the better。單詞next常用the，如the next theorem，但也有不加the的時候，如We come back to this topic next time.

英文數(shù)學(xué)文章常用以Let或Suppose等特殊動詞開頭的祈使句，尤其在命題敘述的開頭部分。這時它的結(jié)尾應(yīng)為句號，即點號，所以Suppose the inequality is satisfied, then the conclusion is valid. 應(yīng)該改為Suppose the inequality is satisfied. Then the conclusion is valid. 祈使句也可以換成分句的形式，如Denote the matrix by M. We find that可以寫成Denoting the matrix by M, we find that。前者是兩個句子，而后者是帶有現(xiàn)在分詞結(jié)構(gòu)的一個句子。

連詞and的用法也值得注意。幾個并列的事物或句子之間用逗號隔開，并在最后一個對象前加上and，這個and之前一般加上最后一個逗號或不加，如If the first function is continuous, the second function is differentiable, and the last function is monotonic或同樣正確的If the first function is continuous, the second function is differentiable and the last function is monotonic。自然連接兩個對象時，逗號就不需要了，如See the paper by Zhang and Zhu，而不是See the paper by Zhang, and Zhu。

一些作者，可能由于沒有時間養(yǎng)成習(xí)慣閱讀好文章，或沒有注意到英文中那些拉丁語“小詞”的正確寫法，容易在詞語寫作上出錯，尤其是那種不易感知的“小錯”。無論“大錯”還是“小錯”，在嚴謹?shù)膶懽髡哐劾锒际清e誤。比如說，我在國內(nèi)學(xué)者的文章中見過正確的拉丁文“et al.”（意指“等等人”）的每一種錯誤的寫法：et al，et. al.，et. al。因此只有下面的寫法是對的：The book by Carson et al. is regarded as the authoritative text on the topic。列出多于一人時，可以這樣寫：The article by Jones, Perez, et al. is well-known, but the one by Jones, Lee, et al. has been more widely cited。注意etc.指的是“等等事物”，不可與et al. 混用。

后面帶有點號的拉丁語詞或英語縮寫，當它出現(xiàn)在句子的最后時，一般省去表示句子結(jié)束的點號以免重復(fù)，如We refer the reader to the work of Li et al. 對于“i.e.”（即）和“e.g.”（例如），它們的前后通常加上逗號，如The claim is thus proved, i.e., the function is the difference of two increasing ones和See, e.g., the monograph [4] for more details.

在數(shù)學(xué)文章里，應(yīng)該避免將數(shù)學(xué)符號寫在句子的開頭，并且在兩個數(shù)學(xué)表達式之間放上至少一個英文詞。例如，句子h is an increasing function 可以改寫為The function h is increasing，句子From formula (1) , x = 1, g(s) < 0 for some s可以寫成From formula (1) we have x = 1 and g(s) < 0 for some s或We have x = 1 from formula (1). The inequality g(s) < 0 is valid for some s。

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在簡單介紹文章各個部分寫作基本要素及其他注意事項后，我想通過舉例的形式來對癥下藥地修改一些寫得有缺點的英文。下面的例子有的來自雜志編輯請我審核的投稿，有的來自學(xué)術(shù)界同行或朋友們撰寫的文章初稿。

1. The total methods of accomplishing the task is這里主語methods是復(fù)數(shù)，而謂語is卻是單數(shù)，并且total 與methods搭配不當。改為The total number of the methods of accomplishing the task is。

2. The product of consecutive m positive integers is divisible by m!. 這里雖然沒有語法問題，但將表示數(shù)量的字母m寫在形容詞consecutive的后面是不規(guī)范的，所以改為The product of m consecutive integers is divisible by m!.

3. For each positive integer k, clearly know that there are (n-k)3sequences containing exactly k zeros. 這句的毛病是缺乏主語。與漢語可以省去主語不同，英語的主語一般不能少，除非是祈使句。所以該句改為For each positive integer k, we clearly know that there are (n-k)3sequences containing exactly k zeros.

4. n boys and n girls sit in a circle, so that no two boys are next to each other, so do the girls. 首先句子以數(shù)目字母n開始，其次兩個so既重復(fù)又意思不一樣，最后少了一個and。改寫為Suppose n boys and n girls sit in a circle such that no two boys are next to each other and so do the girls.

5. For any subset A of X that has odd elements這里作者的意思是A的元素個數(shù)是個奇數(shù)，但表達不好。改為For any subset A of X that has an odd number of elements。

6. Summing over i = 0, 1, …, n, there are n3selections. 這里Summing的主語應(yīng)該是人，所以改成Summing over i = 0, 1, …, n, we see that there are n3selections.

7. Combining the results of the above two kinds of counting, the identity is proved. 現(xiàn)在分詞Combing的主語是人，所以后面的被動語態(tài)應(yīng)為主動語態(tài)。改為Combining the results of the above two kinds of counting, we have proved the identity.

8. If a > 0, suppose b > a2, then (a, b) is a solution. 在“if … then”帶有條件狀語的句型中再插入“suppose”子句，反而使整個句子復(fù)雜化了?？梢愿臑镮f a > 0 and b > a2, then (a, b) is a solution. 也可以寫成Let a > 0. Suppose b > a2. Then (a, b) is a solution. 或Let a > 0 and b > a2. Then (a, b) is a solution.

9. Let k = r – x, it can be seen that k satisfies (1). 這里祈使句后面的逗號應(yīng)為句號，而且可以少寫幾個詞。改為簡潔的Let k = r – x. Then k satisfies (1).

10. For another two solutions, see Example 3. 單詞another后面只能是單數(shù)名詞，單詞other 后面單數(shù)復(fù)數(shù)都可以用，如the other person或other people。改為For other two solutions, see Example 3.

11. There exist x, x’ in X, x > x’. 數(shù)學(xué)表達式之間最好有英文單詞將它們隔開。改為There exist x and x’ in X with x > x’. 或There exist x and x’ in X such that x > x’.

12. There is a recurrence relation of the first order linear nonhomogeneous with constant coefficients. 這里nonhomogeneous是形容詞，應(yīng)該放在名詞詞組recurrence relation之前，所以改成There is a first order linear nonhomogeneous recurrence relation with constant coefficients.

13. Let g(n, k) denote the number of k ordered subsets satisfying the empty intersection property of the n-element set S. 在本句里，這些k 個subsets是集合S的子集，所以要將第二個of及后面的部分移到satisfying前面，這樣方便讀者理解。修改為Let g(n, k) denote the number of k ordered subsets of the n-element set S satisfying the empty intersection property.

14. We construct an n-digit number such that all of the digits 1, 2 and 3 in the n-digit number appear at least once. 在一個句子中，謂語應(yīng)該盡量靠近主語，所以appear最好放到狀語in the n-digit number 前面。可以改成 We construct an n-digit number such that all of the digits 1, 2 and 3 appear at least once in the n-digit number. 如果避免重復(fù)寫n-digit number，可用代詞it代替第二個n-digit number而不必后移，所以本句也可以寫成We construct an n-digit number such that all of the digits 1, 2 and 3 in it appear at least once.

15. Let S be a finite set, |S| = n, and k be a positive integer. 這里兩個逗號使得閱讀起來不太流暢，僅用一個介詞with就可以去掉它們。改為Let S be a finite set with |S| = n and k be a positive integer.

16. If |x – y| = d holds, then we say x, y have property P. 句子中的等號可以構(gòu)成條件從句中主語|x – y|的謂語，所以去掉作為主語|x – y| = d的謂語holds后，從句更簡潔。此外x和y之間的逗號可以用and代替。正式寫作中，賓語從句前要加上that?？筛臑镮f |x – y| = d, then we say that x and y have property P.

17. Directly using the formula in Theorem 1, note c is nonzero, so the inequality is true. 這里現(xiàn)在分詞結(jié)構(gòu)和祈使句合用而沒用連詞，不合語法規(guī)則。改為Directly using the formula in Theorem 1 and noting that c is nonzero, we see that the inequality is true. 或Directly use the formula in Theorem 1 and note that c is nonzero. So the inequality is true.

18. Let k be a positive integer, k < n. 逗號不能用于祈使句，除非后面跟著多于一個的并列句子。改為Let k be a positive integer and k < n. 或 Let k be a positive integer such that k < n.

19. Easily know that the sum in the above equals 10. 這是正確的中文對應(yīng)表達“易知上述和等于10”錯誤影響英文表達的結(jié)果。記住，除了祈使句，英文句子必須有主語。改成Easily we know that the sum in the above equals 10. 或We easily know that the sum in the above equals 10.

20. There are at least αm 1 in each of the first r columns. 這里數(shù)字1是計數(shù)的對象，所以數(shù)量αm后面要跟numbers of. 改寫為There are at least αm numbers of 1 in each of the first r columns.

21. It can be seen that this number is ≤ 6. 除非在完整的不等式中，這里的不等式符號≤最好改成英文詞組。重寫為It can be seen that this number is less than or equal to 6.

22. From the known conditions, we can see that such numbers contain 11. 三個詞的we can see不如兩個詞的we see簡潔，而且意思基本不變。修改成From the known conditions, we see that such numbers contain 11.

23. n lines are placed in the plane, where there are no two lines are parallel. 句子應(yīng)以單詞開頭，第一次提到平面時應(yīng)用不定冠詞，從句中出現(xiàn)了兩個謂語。改正后的句子是There are n lines that are placed in a plane, where no two lines are parallel.

24. Then t obviously exactly divides the left side of (2). 兩個副詞擠在一起，僅僅第二個修飾動詞divides，可以把第一個動詞移到t之前。改寫成Then obviously t exactly divides the left side of (2).

25. Then any common divisor of a and b is the divisor of their greatest common divisor. 因為一個整數(shù)的因子不一定是唯一的，所以不應(yīng)該用定冠詞，而應(yīng)該用不定冠詞。改為Then any common divisor of a and b is a divisor of their greatest common divisor.

26. If both sides of (3) are integrated over the interval, obtain the desired equality, which is the direct deduction of (2). 條件句一般具有固定格式“if…, then…”，謂語前要有主語，deduction用在這里意思不吻合，改為 可數(shù)名詞consequence。句子改為If both sides of (3) are integrated over the interval, then we obtain the desired equality, which is a direct consequence of (2).

27. From (a, b) = 1, we can know that there exist integers m and n such that am + bn = 1. 不用多余的詞是寫作的一個基本原則。這里we can know可以刪去。改為From (a, b) = 1, there exist integers m and n such that am + bn = 1.

28. Let (a1, …, an) be (finite) nonzero integers. 這n個整數(shù)不必用括號括起，并且單詞finite多余，因為已知給出的是有限個數(shù)。改為Let a1, …, anbe nonzero integers.

29. In addition, if take a = 5, then there is b = 25. 條件從句無主語，另外there is多余。改成In addition, if we take a = 5, then b = 25. 其他正確的寫法包括In addition, taking a = 5, we obtain b = 25.及In addition, if taking a = 5, then b = 25.

30. Note that 0 < k < n, n|k-1(n-1)! is not always true. 這里兩個數(shù)學(xué)表達式緊緊相連不太好看，可以這樣分開：Note that n|k-1(n-1)! is not always true for 0 < k < n. 或者用英文將表達式隔開，寫成Note that 0 < k < n, and so n|k-1(n-1)! is not always true.

31. Therefore, when m > n, f(m) < f(n). 與上同理，改成Therefore, ?f(m) < f(n) when m > n. 或?qū)懗蒚herefore, if m > n, then f(m) < f(n).

32. Let Fk= 2k+ 1, k > 0. For m > n, (Fm, Fn) = 1. 同理改為Let Fk= 2k+ 1 with k > 0. For m > n, we have (Fm, Fn) = 1. 或Let Fk、= 2k + 1 for k > 0. If m > n, then (Fm, Fn) = 1. 或Let Fk= 2k+ 1 with k > 0. We see that (Fm, Fn) = 1for m > n.

33. Then from the above equation, we get d|n. 可以去掉無特別意思的we get。改為Then d|n from the above equation.

34. Prime number is the most component subset of natural number set. 這里第一次提到素數(shù)，根據(jù)上下文，應(yīng)用復(fù)數(shù)。詞組most component意思不清，可以刪去。此外所有自然數(shù)的集合是一個確定的對象，應(yīng)用定冠詞。改為Prime numbers constitute a subset of the natural number set.

35. There are only a limited number of nonzero terms in the sum. 這里指的是有限個非零數(shù)，應(yīng)用finite 或finitely many。改為There is only a finite number of nonzero terms in the sum. 或There are only finitely many nonzero terms in the sum.

36. Let a and m be integers greater than 1, am– 1 is prime, then a = 2 and m is prime. 某些東西具有某樣性質(zhì)，此性質(zhì)可用such that開頭，這樣也將1和am– 1自然隔開。另外，祈使句后面的逗號應(yīng)為句號。改成Let a and m be integers greater than 1 such that am– 1 is prime. Then a = 2 and m is prime.

37. Therefore, from inductive hypothesis that f(m, n) is an integer for all n, then derive f(m+1, n) is an integer for all n. 詞組inductive hypothesis是特指的，因此要用定冠詞。本句不僅缺乏主語，而且賓語從句沒有that。修改成Therefore, from the inductive hypothesis that f(m, n) is an integer for all n, we derive that f(m+1, n) is an integer for all n.

38. Hence, a > 8c+1, and multiply by the above expression, we can get (3). 動詞multiply應(yīng)用現(xiàn)在分詞形式。單詞can可以刪去。改為Hence, a > 8c+1, and multiplying by the above expression, we get (3).

39. That is, (6) is now obtained, and thus derive (5). 第二分句缺乏主語，可像第一分句那樣也用被動式，以示一致。第二個逗號也可省去。改為That is, (6) is obtained and (5) is thus derived. 或?qū)懗芍鲃诱Z態(tài)：That is, we obtain (6) and thus derive (5).

40. For example, 0, 1, … m-1 is a complete system modulo m. 這里，被列出的m個整數(shù)作為主語是復(fù)數(shù)，如果用括號括起來，可視為一個整體而作為單數(shù)。因此改為For example, 0, 1, … m-1 form a complete system modulo m. 或For example, {0, 1, … m-1} is a complete system modulo m.

41. Let (a, m) = 1, then aφ(m)≡ 1(mod m). 改為Let (a, m) = 1. Thenaφ(m)≡ 1(mod m). 或If ?(a, m) = 1, thenaφ(m)≡ 1(mod m).

42. When d runs over all positive divisors of m, m/d runs over all positive divisors of m. 改為 When d runs over all positive divisors of m, the quotient m/d runs over all positive divisors of m.

43. We prove that there always exists a < b, then the conclusion is proved. 句子可以縮短，改為We prove that a < b is always true, and then the conclusion is proved.

44. In the elementary mathematics, there are three basic methods to deal indeterminate equation. 去掉定冠詞，動詞deal 加介詞with是固定用法，可數(shù)名詞equation第一次提，要用復(fù)數(shù)或在它的前面加上不定冠詞an。改為In elementary mathematics, there are three basic methods to deal with indeterminate equations. 或In elementary mathematics, there are three basic methods to deal with an indeterminate equation.

45. Then 2a + 2b + 1, -2a + 2b – 1 are all integers. 只有兩個物體時，不用all，而用both。此外兩個數(shù)學(xué)表達式之間用and。改正為Then 2a + 2b + 1 and -2a + 2b – 1 are both integers.

46. If the integers y > x, then y ≥ x + 1. 對于這兩個整數(shù)x和y，給出的是它們之間的大小關(guān)系，而不是它們自己?？梢愿臑镮f integers x和y satisfy y > x, then y ≥ x + 1.

47. Let a, b, c, d are all positive integers, ab = cd. 在祈使句中，只能用動詞的原型。此外不要逗號，用單詞或詞組。改為Let a, b, c, and d be all positive integers such that ab = cd. 或Let a, b, c and d be all positive integers satisfying ab = cd.

48. Thus, in C[x], f(x) is divisible by (x-a)(x-b). 應(yīng)該分開兩個數(shù)學(xué)表達式?？梢詫懗桑篢hus, f(x) is divisible by (x-a)(x-b) in C[x].

49. The polynomials with rational coefficients f(x), g(x) have nonnegative values. 把f(x)和g(x)移到polynomials后面會表達更清楚。The polynomials f(x) and g(x) with rational coefficients have nonnegative values.

50. It follows f(c) > g(c), contradiction. 當用it follows時，后面要加that，另外可數(shù)名詞contradiction前要加a。改為It follows that f(c) > g(c), a contradiction. 也可以寫成It follows that f(c) > g(c), which is a contradiction.

關(guān)于數(shù)學(xué)英文寫作的注意之處，如上我給出了一些具體意見。通過閱讀佳作，動手練習(xí)，寫作能力會不斷提高，交流數(shù)學(xué)、投稿雜志也會感到越來越自信?？傊瑪?shù)學(xué)研究與文章寫作是相輔相成的，它們隨著當事人的努力，攜手共進、相得益彰。

寫于美國哈蒂斯堡居所夏日山莊

本文經(jīng)授權(quán)摘自《數(shù)學(xué)科學(xué)與技術(shù)研究論文寫作：案例與方法》（上海大學(xué)出版社，2022年1月）。