本文討論Bernoulli percolation研究的toolbox里邊的三種技術(shù)，分別為

• Increasing coupling

• FKG不等式

• BK不等式

Increasing Coupling

耦合技術(shù)是測度論里邊經(jīng)常用的一個技術(shù)。我們接下來會用它證明\theta(p)的遞增性。我們會發(fā)現(xiàn)這個技術(shù)出乎意料地好用。

所謂的耦合，就是把兩個隨機變量（或者概率測度）X,Y耦合構(gòu)建出一個大的概率測度(X,Y)，其邊緣分布仍然和原來相同，但是當然聯(lián)合分布不是唯一的，我們希望讓這個聯(lián)合分布滿足一些特別的性質(zhì)，之后就可以榨出結(jié)論來。

首先，percolation作為一個特殊的概率模型，當然有一些特殊的結(jié)構(gòu)。我們不能完全把它當成最一般的概率空間來研究。那么這個特殊的結(jié)構(gòu)就是“單調(diào)性”，具體來說是「隨連通性」的單調(diào)性。

根據(jù)一個構(gòu)型比另一個構(gòu)型更加連通（凡事后者open的邊，前者都open；后者closed的邊，前者可能變成open）這個關(guān)系，可以在所有構(gòu)型上定義出一個偏序（記為<）。隨著這個“連通性”，就有一些“單調(diào)性”。一個構(gòu)型的函數(shù)，如果隨著構(gòu)型變得連通而變大，則稱為遞增函數(shù)。一個事件，如果隨著構(gòu)型變得連通而變得傾向于成立（即，對于一個構(gòu)型成立，則對于更連通的構(gòu)型也成立），則稱為遞增事件。

遞增事件是percolation研究中最重要的一類特殊事件。它包括以下這些重要的事件：

• x和y連通；

• 0所在的cluster無窮大；

• 一個子圖里的open edge數(shù)目超過k；

• ...

好了，我們現(xiàn)在有了percolation的特殊結(jié)構(gòu)（單調(diào)性），我們就嘗試從中榨出一般的概率空間所不具有的特殊性質(zhì)。

前面說了，我們想證明\theta(p)的單調(diào)性，也就是說想要比較p<p'這兩個參數(shù)的區(qū)別。既然說了耦合技術(shù)，那我們就試試把P_p和P_p'這兩個概率測度耦合在一起唄。把耦合起來的大概率測度叫做??。怎么構(gòu)造這個??呢？有一個很簡單的方法：

在Z^d的每條邊上賦予獨立的Unif(0,1)，然后生成兩張圖：

1. omega_p，小于p的賦予open，大于p的賦予closed；

2. omega_p'，小于p'的賦予open，大于p'的賦予closed；

于是有(omega_p,omega_p')的聯(lián)合測度。這個聯(lián)合分布的邊緣分布顯然就是P_p與P_p'，而聯(lián)合分布滿足每個omega_p'都比omega_p連通（有一個特殊的聯(lián)合分布）。

接下來，對于一個遞增事件A，我們發(fā)現(xiàn)

這樣遞增性就證完了?。ㄒ驗?所在cluster無窮大是遞增事件）

這個結(jié)論其實更廣泛：所有遞增事件，參數(shù)p越大，發(fā)生概率越大。理所應(yīng)當。

話說同樣的技術(shù)可以用來證明以前概率論期末考試的壓軸題：n*n格點上的Bernoulli滲流，證明上邊與下邊能夠相連的概率f(p)隨p單調(diào)遞增。證明方法是完全一樣的，上邊與下邊能夠相連這個事件也是increasing的，做一個完全一樣的耦合就可以了。當時我還打算寫出這個概率的表達式來證明遞增性，這樣會非常復(fù)雜。而用耦合技術(shù)則可以極其簡短地給出證明，甚至簡單到讓人覺得還沒開始就結(jié)束了。

最后一個Remark。我們現(xiàn)在已經(jīng)對\theta(p)這個“相變函數(shù)”看得越來越清楚了。我們已經(jīng)嚴格證明了它是單調(diào)遞增的，并且先在一段上為0，在某個點之后在上升一直到1。接下來想做的事情就是把這個函數(shù)看得越來越清楚，比如相變點到底是哪個點？那是很久以后的事。

FKG不等式

FKG不等式說的是很直觀的一件事：所有遞增事件都是positively correlated的！

怎么理解呢？假設(shè)A是一個遞增事件，比如說x和y連通。它發(fā)生，至少表明這個configuration的（至少某個部分）的連通性比較好，于是條件在A上，任何一個遞增事件B的概率至少也是不變，如果變了那一定是增大。

數(shù)學(xué)語言來寫就是：

它其實可以推廣到下面的形式：對于兩個有界遞增函數(shù)f，g，

FKG不等式的證明很簡單。首先用數(shù)學(xué)歸納法證明有限圖的不等式，然后用鞅收斂定義推出Z^d的不等式。有限圖的歸納是這樣完成的（我們姑且不去管收斂是怎么一回事）。

1. 如果f和g只依賴于一條邊。那不等式顯然成立。

2. 如果對1,2,...,n-1都成立，對于n只需要做條件概率之后用兩次歸納假設(shè)即可。

最后一提，F(xiàn)KG不等式對decreasing事件也成立，證明是直截了當?shù)摹?/p>

BK不等式

BK不等式相當于FKG不等式的“反向”。但是肯定不能直接反向，不然就變成等號了。所以我們需要縮小事件，不僅是A和B同時發(fā)生，還要求發(fā)生在不同地方。這個事件記為A○B(yǎng)。這樣不等號就反過來了：

但是這個不等式的條件不再需要increasing，不過A和B都必須是定義在有限邊上的事件。

前面有些地方說得挺含糊。下面說清楚點：

• 什么叫“發(fā)生在不同地方”？一個事件A，其中包括一個configuration omega，這個omega中包含一個子部分I叫做witness，如果其它符合這個witness也滿足A事件。這個說法很抽象，舉個例子就知道了：事件A是(0,0)和(0,5)連通，其中一個omega是直接橫著的四條線連起來，那橫著的四條線就是witness，其它omega如果包含了這四條線，則也能保證(0,0)和(0,5)連通。也就是說，witness是“局部地刻畫了一個事件”。

• 如果一個omega，A和B同時發(fā)生，并且有著disjoint的witness，則稱為二者發(fā)生在不同地方，記為A○B(yǎng)。

• BK不等式在ABdisjoint的時候是平凡的（取等），在AB相交的時候才不平凡。

BK不等式還可以寫成這種形式：

它的含義很明顯：如果B發(fā)生了，就占用了一點A發(fā)生的地方，A想要在不同的地方發(fā)生，概率就小了一點。

BK不等式的證明很繁瑣，略去。

BK不等式是一個很強的不等式，有時候顯得過于強以至于很快完成論證。下面是一個例子，在統(tǒng)計力學(xué)中稱為Simon-Lieb不等式。

想法是這樣的。我們考察0與x相連的概率。在0周圍畫一個（有限大的）圈S，把0和x分隔開來。0和x要相連，必然要經(jīng)過?S。我們想要以此整出一個類似全概率公式的東西。

怎么搞呢？0與x相連，則必然存在一條self-avoiding path連接二者，這條路徑第一次經(jīng)過?S的地方叫做y。于是：

{0與x相連} 含于 對y取并集{0與y在S內(nèi)相連，y與x相連，且這兩段不相交} = 對y取并集{0與y在S內(nèi)相連}○{y與x相連}

從而：

P(0與x相連)<=\sum_{y\in ?S}P({0與y在S內(nèi)相連}○{y與x相連})

但是這右邊沒法用BK不等式，因為{y與x相連}這個事件不是限制在有限地域內(nèi)的事件。那么就采用概率論里常用的技巧，把它先限制在[-n,n]^d上面，用BK不等式，再把n趨于無窮大即可。最終的結(jié)論就是這么一個全概率公式形式的東西：