LDPC 軟判決算法之似然比形式 (一)
本系列文章列表：
LDPC 低密度奇偶校驗碼的軟判決譯碼算法淺析(二)--降低運算量
LDPC 低密度奇偶校驗碼的軟判決譯碼算法淺析（三）--算法和代碼
LDPC 軟判決算法之似然比形式 (三) tanh-lambda 規(guī)則
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在前面的文章中，我們推導了 LDPC 軟判決譯碼的迭代算法，這篇文章，我們用對數(shù)比的形式，再推導一下 LDPC 的迭代算法。
（錄制的視頻在：https://www.bilibili.com/video/BV1JV4y1W7Yq/）
本文參考了文獻[1] 的 15.5.6 章節(jié)。
為了判決各個發(fā)送比特，我們可以用后驗概率比值取對數(shù)來評估，即：
如果這個比值大于 0 ， 則把 比特 n 判決為 1，否則判決為 0.
下面我們來推導上面公式的遞推表達式。
我們先對公式(1)中的分子進行推導：
其中用到了：
同理，對公式(1)中的分母部分進行推導：
則公式 (1) 可以 推導為
其中
這一部分是可以根據(jù)信道的特點（例如加性高斯白噪聲信道）以及調(diào)制方式，可以容易計算出來。如果是 BPSK(1-->1, 0-->-1) 調(diào)制，經(jīng)過加性高斯白噪聲信道，則
而第二部分
把校驗方程的約束，考慮進來，對于 的情況，
參與的那些校驗方程要想成立，則每個校驗方程中，除了
這個比特外，其余的比特加起來應該等于 1；同理，對于?
的情況，
參與的那些校驗方程要想成立，則每個校驗方程中，除了?
這個比特外，其余的比特加起來應該等于 0. 為了行文的方便，我們引入一個記號：
那么 ，就可以表示為
參與的那些校驗方程，每個校驗方程里面的其它比特之和為 1，即
； 同理，
，就可以表示為?
參與的那些校驗方程，每個校驗方程里面的其它比特之和為 0，即
，那么：
這里需要做一個假設近似，即 參與的校驗方程，相互之間獨立，即這些校驗方程中，除了有共同的比特
外，其它比特沒有相同的。當然，這個假設在一般情況下都是不成立的，這里假定成立，或者近似成立（只有相同的比特數(shù)不是很多），在這個假設情況下，上面公式右邊的分子和分母部分，又可以拆成多個概率的乘積：
同理，
則公式 (2) 變成：
根據(jù)公式 (1),
可以記為
則把上面的推導的結果，代入公式 (1)，我們可以看到：
這里面的思想，比特 的對數(shù)比
，可以用校驗方程成立的某種比值（在
和
兩個條件下，校驗方程成立的概率的比值）來表示。即，校驗方程成立的概率，可以用來估算比特取值的概率。我們舉個例子來進一步理解上面的結果。
假設 LDPC 用的校驗矩陣如下，本篇文章都是以這個校驗矩陣為例子。
我們譯碼出來的碼字表示成向量形式：
這個譯碼出來的碼字，不是指發(fā)送的正確的碼字，是表示我們待譯碼出來的，例如，我們可能想評估? c1=1 的可能性（概率）。
我們把接收到的數(shù)據(jù)表示為一個向量：
根據(jù)線性分組碼相關的原理，我們知道有如下的校驗方程：
計算后的結果 z ，是一個含有5個元素的向量，記為：
為了易于理解，我們把上面這個矩陣形式的方程，展開成 5 個校驗方程：
咱們考慮正在譯碼? 這個比特，我們需要計算如下這個概率比值的對數(shù)：
根據(jù)公式 (3)：
參與的校驗方程有?
這三個，所以
因為第一個校驗方程的比特有1,2,3,6,7,10，去掉比特 2 后還有 1,3,6,7,10，所以
同理：
從例子中，也可以看出來有用校驗方程成立的概率，來估算待譯碼比特的概率比值的對數(shù)，從而可以用來判決這個待譯碼的比特。
至此，我們第一階段的推導已經(jīng)結束，即用校驗方程的某種概率來估計待譯碼比特的某種概率。
--------------------------------------------? 第二段? --------------------------
我們來看公式 (3) 中右邊求和公式里面的表達式
根據(jù)? 函數(shù)的定義，寫成概率比值的對數(shù)形式：
再把? 的定義代進去：
這是其具體含義。我們直接把?? 的定義代入到?
? 有：
根據(jù) tanh rule 定理（這個在附錄中推導)，這個公式是定理，其中用到的變量，與上面的推導無關，其中 是 取值 0/1 的二值隨機變量：
把這個定理應用到公式 (4)
我們?yōu)榱藚^(qū)分，引入一個新的符號，對上面公式右邊，用一個新的符號來表示：
這個 ，可以理解為第 m 個校驗方程成立的某種度量，是用 cn=1 和 cn=0 兩種情況下的校驗方程成立的概率做比較來實現(xiàn)的一種度量，總之，這是衡量校驗方程成立的一個量。而這個量中，即公式(5) 中的
，又是 比特 j 的一種概率度量。在具體算法實現(xiàn)時，令其等于?
。
則公式 (3) 變成：
公式 (6) 和公式 (5) 一起構成了一種循環(huán)迭代。
------------------------------ 至此完成了一輪計算。我們繼續(xù)舉個例子來說明：
假如正在譯碼 c2 這個比特，即? n=2，c2 參與的校驗方程有 z1,z4,z5? 這三個，我們考慮來計算第四個校驗方程成立的度量，即 m=4，計算 .
第四個校驗方程，參與的比特有2，4，5，6，8，10 這六個比特。則公式 (5) 就是：
為了計算出來上個公式，我們需要知道 :
在第一輪時，直接用各自的自然比來計算：
這樣就可以計算出來 :
用類似的方法，可以把所有的 都計算出來。
?參與的校驗方程有?
? 這三個，則：
同理，可以計算出所有的 .? 做一次判決。
---------------------例子結束
這個時候，把? 都做一次判決，如果滿足檢驗結果正確，則結束。否則，我們有理由用新估計出來的??
來進一步強化對校驗方程成立的度量的準確性，則?
? 這個需要被更新。
在這個更新中，因為上一輪的? 的計算中，是包含了第 m 個校驗方程的度量的信息的，所以，為了更新第 m 個校驗方程的信息，則需要把 上一輪的
減掉 上一輪的
，則這個更新公式為：
代入公式(5) 有：
------------我們繼續(xù)用例子來說明一下
接著前面的例子，我們現(xiàn)在已經(jīng)有了新的? ，這是新的對比特取值的一種概率度量，現(xiàn)在用這個度量去更新對校驗方程成立與否的度量。例如我們要更新這個：
需要注意的是，因為? 中都用了 第四個校驗方程的信息，我們現(xiàn)在的目的又為了計算第四個校驗方程的度量信息，因此避免這種自循環(huán)的問題，需要從中都拿掉
的影響。
即在以上公式中依次分別拿掉：， 然后，再送到?
? 的計算公式中
------------例子結束
整體示意流程圖如下：
[1]? Error Correction Coding--Mathematical Methods and Algorithms , Todd K. Moon, Wiley, 2005 ，主要參考第 15.5 章節(jié)。
