在開始這節(jié)之前，我們首先要認(rèn)識到這樣一個事實。自然數(shù)是人們認(rèn)識到的第一個數(shù)學(xué)對象，它是數(shù)學(xué)的兩大起源之一（另一個是土地測量學(xué)），它們分別對應(yīng)著數(shù)學(xué)的兩大開端：代數(shù)和幾何。土地測量學(xué)實際上誕生于古埃及，主要是因為尼羅河每年都會泛濫，將每家每戶的土地淹沒一次，使得每家人每年都要重新劃分土地。這使得測量土地成為一個必要的工作。

與土地測量學(xué)不同，自然數(shù)可以說是每一個文明都會認(rèn)識的事務(wù)。只要一個文明想要發(fā)展，他們就不得不去描述一類事物的多少。這里有一匹馬，兩座山，很難想象沒有這些描述，如何才能誕生一個文明。我們甚至可以認(rèn)為，自然數(shù)是語言系統(tǒng)的一個系統(tǒng)。根據(jù)統(tǒng)計，目前世界存在的五千多種語言之中，幾乎所有語言都有著自然數(shù)的表述。

在巴西的亞馬遜有一種土著語言沒有自然數(shù)。他們的語言只有類似于“1，2，3，4”和“很多”的表述。也就是說，你只能對他們說我今天吃了一個、兩個、三個、四個或者很多個饅頭。至于很多個是多少？不知道。在他們看來五個和兩百個也許是一樣的。

為什么會有這種語言呢？個人認(rèn)為，這是因為這種語言（或者說文明）尚未進(jìn)化為一個成熟的現(xiàn)代文明的標(biāo)志。畢竟人們不可能去描述不存在的東西。他們應(yīng)該沒有詞匯去描述汽車、飛機(jī)或者是馬這樣的東西，也因此沒有詞匯去描述大于等于四的數(shù)，因為他們沒有什么東西是必須用大于四的詞匯去精確描述的。摘了五個蘋果還是八個差別并不大，反正差不多都能在兩天吃完。

順便一提，這種現(xiàn)象在某些古語言里面是有所體現(xiàn)的。我們讀中文古詩詞經(jīng)?？吹健叭敝柑摂?shù)，不是指真的只有三個。這也從側(cè)面映證了上述現(xiàn)象。當(dāng)然我們不是在研究語言學(xué)。我們下面回到數(shù)學(xué)。

如果我們承認(rèn)上述假設(shè)，那么我們就會承認(rèn)這樣一個觀點：任何一個進(jìn)化完全的語言都會有一個自然數(shù)系統(tǒng)（我們再次提醒，土地測量學(xué)是有著很特殊的背景的，并不是每一個文明都會需要這個東西）。這也不難理解為什么自然數(shù)會成為世界數(shù)學(xué)的開端，幾乎每個文明都在不約而同地研究它。同時，也請記住這個觀點，我們會在后面再次回到這里。

自然數(shù)系統(tǒng)是如何在語言系統(tǒng)中發(fā)揮作用的呢？實際上它體現(xiàn)的是語言的某種簡化思想。我們在談?wù)撟匀粩?shù)時，只會概括一類事物的數(shù)量特征。例如兩只兔子，我們忽略了兔子的性別、毛發(fā)顏色或者什么其它特征，這只是一種抽象的表示。

其實自然數(shù)并沒有什么值得研究的地方。值得研究的是自然數(shù)在上面配屬了一個運算：加法。我們現(xiàn)在當(dāng)然對加法習(xí)以為常，但是在文明的早期，我認(rèn)為回答5+8等于多少可能還是有一些難度的。當(dāng)然為了解決某種意義上的多重加法，又引入了乘法。對自然數(shù)的研究轉(zhuǎn)為對算學(xué)的研究。

但是上面的研究本質(zhì)上都只是自然數(shù)系統(tǒng)的自娛自樂，你隨手寫下的一些算式可能并沒有什么意義。真正讓自然數(shù)大放異彩的是幾何的研究。因為自然數(shù)系統(tǒng)是自然嵌進(jìn)語言系統(tǒng)的，每一個熟練掌握某一種語言的人對自然數(shù)都不會有什么感到困難的地方。321+123可能確實有一些難算，但是只要我有耐心掰著手指一個一個數(shù)，總是可以數(shù)出來的。這并沒有什么困難的地方。但是幾何就不同了。幾何學(xué)并不是自然嵌進(jìn)語言系統(tǒng)的，一個熟練掌握語言的人并不一定會勾股定理。

繼古埃及的測地學(xué)之后，古希臘的數(shù)學(xué)得到了充分的發(fā)展。人們對于面積的測量、線段長度有了一個定量的描述。它對幾何學(xué)的促進(jìn)我們暫且不談，它對代數(shù)學(xué)有著極大的促進(jìn)，一方面它促使有理數(shù)的出現(xiàn)，人們意識到兩個數(shù)的比是有意義的；另一方面它加大了人們對自然數(shù)的崇拜。人們意識到自然數(shù)是重要的，甚至提出了萬物皆數(shù)這樣的觀點。

在自然數(shù)得到飛速發(fā)展的同時，人們再一次對自然數(shù)的觀念進(jìn)行了反思。柏拉圖認(rèn)為世界分為現(xiàn)實世界和理念世界，數(shù)和圖形是永存于理念世界不變的東西。他認(rèn)為必須通過研究數(shù)來認(rèn)識現(xiàn)實世界，他甚至認(rèn)為，認(rèn)識不到數(shù)學(xué)重要性的人“像豬一樣”。

柏拉圖的這種觀點倒是流傳了很久，哪怕是今天，很多小學(xué)或者中學(xué)同學(xué)也會有這種觀點。大家普遍認(rèn)為研究數(shù)學(xué)就是在研究世界。當(dāng)然我們現(xiàn)在知道這不對，但是當(dāng)數(shù)學(xué)家沉迷于自己的思維創(chuàng)造時，就會產(chǎn)生這種感情。當(dāng)發(fā)現(xiàn)某個定理時，數(shù)學(xué)家會認(rèn)為發(fā)現(xiàn)了自然界的一個規(guī)律；在引入一個概念時，數(shù)學(xué)家會認(rèn)為是發(fā)現(xiàn)了一種本就存在于自然界的神秘物質(zhì)。仿佛數(shù)學(xué)家不是在研究某些抽象概念，而是引入了某些客觀真理。

為什么柏拉圖會產(chǎn)生這樣的想法呢？原因可能有兩個。一方面是數(shù)學(xué)家獻(xiàn)身于科學(xué)的熱情。另一方面是數(shù)學(xué)具有高度的客觀性，一個數(shù)學(xué)事實總是一定的。x^2+1=0在實數(shù)域中沒有根，哪怕是拿著槍抵著我，事情也是這樣的。這也就給很多人一種感覺，數(shù)學(xué)是另一種客觀存在。

柏拉圖的觀念影響深遠(yuǎn)，哪怕是現(xiàn)代的很多大數(shù)學(xué)家也是這么認(rèn)為的。康托就認(rèn)為，數(shù)學(xué)概念是獨立于人類思維活動的客觀存在。

中世紀(jì)時，出現(xiàn)了一種唯名論的觀點（用高中政治書的觀點，又可以叫做機(jī)械唯物主義，但是這個名稱本身就有一點歧視的含義，所以我們用比較中立的名稱）。唯名論完全否認(rèn)柏拉圖的觀點。它認(rèn)為只有客觀世界。至于理念世界？沒聽說過。

在這種觀點中，數(shù)只是一個符號，一個名稱，只要你能想到它或者寫出來，它就存在，就是正確的。唯名論最大的優(yōu)勢就是解釋為什么1+1=2。顯而易見，因為大家都這么認(rèn)為，因為一個蘋果加一個蘋果的確就是兩個蘋果，所以1+1=2，沒有什么好證的東西。

唯名論的主要缺點是過度強調(diào)具體?，F(xiàn)代的1，中文的一，大寫的壹，古羅馬的Ⅰ，是不是一個東西呢？按唯名論的觀點來看就不是，因為它們不是一個符號。但是1個蘋果、一個蘋果、壹個蘋果和Ⅰ個蘋果，那又是一個東西了，因為它們的確指的都是放在我桌子上的那個可以吃的玩意兒。

這種奇怪的主張可以造出越來越多地奇怪觀點，所以后來就被逐漸拋棄了。

進(jìn)入近代后，康德對上述主張進(jìn)行了一些改造，提出了新的觀點?？档聫娬{(diào)直覺（當(dāng)然并不是直覺主義，我們后面會看到什么是真正的直覺主義），他認(rèn)為這本就是一種先天直觀，我們能夠?qū)?shù)學(xué)進(jìn)行一種樸素的感覺。1+1=2這種規(guī)律，是人依靠先天的洞察力肯定其正確性的。我們從直觀上肯定了它的正確性，那么它就應(yīng)該是正確的。

我們再舉一個例子。人們對上下有著明顯的感覺，其根本原因是重力恒定指向向下，在成長過程中，人們習(xí)慣了重力指向為下這一觀點，從而形成了這個認(rèn)識。同理，通過面背的區(qū)分人們認(rèn)清了前后，通過慣用手的區(qū)分認(rèn)清了左右（當(dāng)然有的人可能認(rèn)知是反過來的）。那么我們當(dāng)然可以通過一個蘋果加一個蘋果是兩個蘋果認(rèn)清1+1=2。

到這里為止，光靠哲學(xué)的爭論已經(jīng)不足以推動自然數(shù)的哲學(xué)理論了。進(jìn)一步推動數(shù)學(xué)哲學(xué)需要依賴于其它理論的發(fā)展。我們在下一篇文章再來討論。