一個(gè)無聊的中午，我翻開了《費(fèi)曼手札：不休止的鼓聲》。這本書編錄了理論物理學(xué)家費(fèi)曼的家書信件。費(fèi)曼在寫給他老媽的信中，附了一道有趣的數(shù)學(xué)題，叫他老媽在和老爸嘮嗑的時(shí)候，捎給他做一下。

題目 一個(gè)長(zhǎng)除式子

題目是這樣的

這個(gè)對(duì)齊我真的盡力了…… 或者可以參考一下圖片

其中A都是相同的數(shù)字，·是不同于A的其他數(shù)字，試著還原出這個(gè)長(zhǎng)除式子

解題思路

1. 先標(biāo)個(gè)號(hào)

由于除數(shù)經(jīng)常出現(xiàn)，不妨我們先給除數(shù)每個(gè)點(diǎn)一個(gè)名字： α, Α, β

同樣也給商的每個(gè)點(diǎn)一個(gè)名字：a,?b, A, c。于是這個(gè)式子可以重新寫成

然后……
做不下去了？emmm不妨先從有更多信息的部分下手吧。比如說第3、4、5行，這里有好多A呢……

2. 一個(gè)數(shù)與不同數(shù)字相乘，乘積個(gè)位數(shù)相同

仔細(xì)觀察的話會(huì)發(fā)現(xiàn)，第1次乘積和第2次乘積，末尾都是A。
誒，其實(shí)這是一個(gè)挺好的提示。

首先可以知道 a > b，因?yàn)閍與除數(shù)的積是4位數(shù)，b與除數(shù)的積是3位數(shù)。而 β

?分別與a，b相乘，得到的積個(gè)位數(shù)相同都是A。

那么什么樣的 β 和a，b能夠滿足這樣的性質(zhì)呢？我們不妨來觀察一下九九乘法表：

為了方便，我把它放到一個(gè)表格里去：

觀察某一列，也就是某一個(gè)數(shù)分別與1~9相乘。會(huì)發(fā)現(xiàn)，奇數(shù)列（除了5），乘積的個(gè)位數(shù)每個(gè)都是不同的。而對(duì)于上面那個(gè)式子，5顯然不對(duì)，不然就會(huì)有好多A冒出來了……

而偶數(shù)列，每相隔5，就會(huì)重復(fù)一次。
比如
1?4=4和6*4=24；

2*4=8和7*4=8。

于是觀察九九乘法表得到的小規(guī)律帶來兩個(gè)信息:?

3.枚舉，一個(gè)個(gè)試過去吧

這里好像沒啥技巧了，就一個(gè)個(gè)試過去吧。我的一個(gè)同學(xué)挺倒霉的，總共3*4 = 12種情況，他愣是把全部枚舉完，最后一個(gè)才對(duì)……

當(dāng)你算到7*84=588的時(shí)候，想必會(huì)非常激動(dòng)和興奮！

所以枚舉完后得到?

4. 填補(bǔ)收工

把上面的結(jié)果代進(jìn)來，原來的式子就變成了這個(gè)模樣：

看上去勝利在望了呢

然后用一下剛才沒有用到的第7行信息，也就是?

?就能得到?

?再代回式子里，計(jì)算填補(bǔ)一下，就得到了：

嘖，這個(gè)c好像從剛才到現(xiàn)在都沒什么存在感啊?，F(xiàn)在與勝利一步之遙，就差這個(gè)c了……不會(huì)又要枚舉吧？
又細(xì)心觀察，會(huì)發(fā)現(xiàn) c 與484的乘積是個(gè)四位數(shù)，可以排除1，2；
又又細(xì)心觀察的話，3872的7上面那個(gè)點(diǎn)·肯定是0，可以以此為驗(yàn)證，不用全算出來。所以還是稍微枚舉了一下……如果你運(yùn)氣好，直接從9開始猜，一下就猜中了。

最后把 c=9 代進(jìn)去，整個(gè)式子就被復(fù)原完畢啦啦啦啦~

是不是蠻有成就感的！

小小反思

這個(gè)題目的破題點(diǎn)，就在于那個(gè) β 與a，b相乘，個(gè)位數(shù)相同。

其實(shí)如果再細(xì)品這個(gè)地方，乘積的個(gè)位數(shù)相同……

這就相當(dāng)于二者之差剛好是10的倍數(shù)。而 10 = 2*5
因此 β 含2的因子，a-b =5；

或者是 β 含5的因子，a-b=2。

這似乎可以省下看九九乘法表的時(shí)間呢。

如果是其他進(jìn)制的話，比如八進(jìn)制 8=2*4 ，類似的，就有 β 含2的因子，a-b =4；

或者是 β 含4的因子， a-b=2

這里就有個(gè)比較尷尬的，如果是7進(jìn)制，這是個(gè)質(zhì)數(shù)，那么它單個(gè)數(shù)字再怎么乘，個(gè)位也不會(huì)重復(fù)。

附錄

原文英文：
While you're tittling paf, give him this problem in LONG DIVISION. EACH OF THE DOTS REPRESENTS SOME DIGIT(ANY DIGIT). EACH OF THE A's REPRESENTS THE SAME DIGIT(for example a 3). NONE OF THE DOTS ARE THE SAME AS THE A(is, no dot can be a 3 if A is 3)
個(gè)人翻譯： 當(dāng)你在和老爹嘮嗑的時(shí)候，把這個(gè)長(zhǎng)除法式子給他做做。每個(gè)點(diǎn)·代表些數(shù)（任何數(shù)字），每個(gè)A代表相同的數(shù)字（比如3），點(diǎn)·都是與A不同的數(shù)字（意味著如果A是3，點(diǎn)·就不是3）