一、總體感受

對于day13的學(xué)習(xí)而言，感覺其中綜合運用了各種微分方面的定理（如Cauchy中值定理、Lagrange中值定理等）以及Cauchy準(zhǔn)則、Lipschitz條件、三角形不等式的使用等內(nèi)容又一次整體性的復(fù)習(xí)，收獲還是不小的。

1、Cauchy中值定理

2、Lagrange中值定理

3、Cauchy準(zhǔn)則

4、Lipschitz條件

5、三角形不等式

二、做題的整體思路

還是先放縮，再補充語言

二、具體題目

（一）華東理工、西南大學(xué)、北郵

本題是課本例題，很基礎(chǔ)同時很經(jīng)典

思路：1、利用極限存在，由局部有界性得到一個界

2、觀察這個極限，發(fā)現(xiàn)兩個函數(shù)根號x與f(x)在[0,δ']上可導(dǎo)，因此可以利用Cauchy中值定理。注意對x是否=y做出討論

3、利用根號x的一致連續(xù)，且2中得到的不等式，分兩段討論。利用一元函數(shù)可導(dǎo)必連續(xù)，以及閉區(qū)間上的連續(xù)和一致連續(xù)性質(zhì)做出來。

（二）大連理工

觀察到導(dǎo)數(shù)有界，知道本題很可能利用Lagrange中值定理，其次本題也是對三角形不等式的運用的復(fù)習(xí)。嚴(yán)格按照定義證明即可。

思路：1、要證一致連續(xù)，使用定義，先不取δ，最后要啥再取δ，使數(shù)據(jù)完美。

2、根據(jù)缺的，利用其他條件（如導(dǎo)數(shù)有界、三角形不等式），得出一致連續(xù)的定義。

注意：寫的時候就是先放縮，再補充語言。

（三）太原理工

把（1）做出后，（2）再去構(gòu)造一下即可，是之前的課本題，關(guān)鍵在（1），利用Lagrange中值定理以及Cauchy準(zhǔn)則，從極限入手做。

（1）問思路：

1、利用極限存在，由局部有界性，得到|f'(x)|<|A|+1.

2、利用Lagrange中值定理，結(jié)合1中導(dǎo)數(shù)界限，確定δ的范圍。

3、利用Cauchy準(zhǔn)則，知道函數(shù)在端點a處極限存在。b處同理。

（2）問思路：構(gòu)造F（x）,利用連續(xù)的相關(guān)性質(zhì)作出，很簡單。

（四）吉林大學(xué)

整體比之前更難，2種證法，這里只展示證法2，證法1見專欄“對Lipschitz條件的進(jìn)一步理解”。證法2相對更好理解。

思路：同上，先放縮，再補充語言。

1、先寫出一致連續(xù)的定義，放縮，找到需要的函數(shù)的界限，這里需要的是x/f(x)和f(x）的界限。放縮過程中涉及三角形不等式以及充分利用題干條件，多寫幾次，感悟放縮套路。

2、去賦值，取x2=x>1,x1=1，利用題干條件，使用2次保號性得到x/f(x)和f(x）的界限，最終確定δ取什么，最終得到一致連續(xù)的定義。

補充說一句：證法1是把要證的兩個式子拆開，分別證明一致連續(xù)。