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Copula可以完全表征多個變量的依賴性。本文的目的是提供一種貝葉斯非參數(shù)方法來估計一個copula，我們通過混合一類參數(shù)copula來做到這一點。特別地，我們表明任何雙變量copula密度可以通過高斯copula密度函數(shù)的無限混合任意精確地近似。該模型可以通過馬爾可夫鏈蒙特卡羅方法估計，并且該模型在模擬和實際數(shù)據(jù)集上進行演示。

關(guān)鍵詞：貝葉斯非參數(shù)估計， Copula ， 高斯Copula ， Gibbs采樣， 切片采樣

1.簡介

最近，Copulas作為一種用于計算多變量數(shù)據(jù)的依賴結(jié)構(gòu)的建模工具而變得流行。

本文的目的是提出一種估計Copula密度函數(shù)的貝葉斯非參數(shù)方法，審查了copula估算器的參數(shù)，半?yún)?shù)和非參數(shù)方法。

重點通常放在從某些參數(shù)族中選擇的copula上。然后通過最大似然估計來執(zhí)行估計; 偽似然估計。用于估計Copula的半?yún)?shù)和參數(shù)方法的比較。 ; 或者通過矩量法或貝葉斯方法，邊際分布和模型選擇：貝葉斯注記。貝葉斯copula選擇。計算統(tǒng)計數(shù)據(jù)分析。然而，在所有方法中，仍然需要檢查依賴結(jié)構(gòu)是否適合于數(shù)據(jù)，即模型充分性。使用非參數(shù)方法獲得更靈活的方法，這些方法試圖避免特定copula族的假設(shè)。

設(shè)（X1，Y1），...，（Xn，Yn）是來自未知分布H的隨機樣本，并且由Fn和Gn表示與F和G樣本相關(guān)的經(jīng)驗分布函數(shù)， 分別。然后Hn（x，y）被認為是經(jīng)驗分布函數(shù)，由下式給出

并讓相應(yīng)的經(jīng)驗邊際分布函數(shù)成為

然后可以獲得經(jīng)驗copula函數(shù)

這是一個基于秩的copula函數(shù)估計。標(biāo)準化等級（F n（X i），G n（Y i））替換不可觀察對（F（X i），G（Y i）），然后形成隨機樣本（U 1，V 1），...... ，（? ?，V ?）從連接函數(shù)?。

還建立了隨機向量iid觀測的經(jīng)驗copula過程的一致性和漸近正態(tài)性。然而，經(jīng)驗copula函數(shù)不是連續(xù)的，并且需要一些平滑技術(shù)來獲得使用內(nèi)核，小波或樣條的實際估計器。

2. Copulas和非參數(shù)模型

3.吉布斯采樣算法

第 1 步：更新w。給定d i，i = 1，...，n的參數(shù)的條件分布w j與 ... 成比例

其中＃{ d 我 = ? }寄存器的數(shù)量d 我，它等于?和＃{ d 我 > ? }寄存器{的數(shù)量d 我 > ? }。

第 2 步：更新z。所述? 我遵循具有支持均勻分布

。

第 3 步：更新d i。d i的值可以位于0和N i之間，其從z i的值導(dǎo)出。我們的密度與d i成正比

第 4 步：更新 ρ。參數(shù)ρ的充分條件分布?給出如下：

其中π（ρ ?）為ρ先驗分布?，我們假定它在與支撐的均勻分布（-1,1）。詳細的抽樣程序

將在稍后討論。一旦我們可以從中采樣

，鏈條完成。

能夠從中采樣

，我們介紹切片采樣的想法。將u =Φ（x）和v =Φ（y）代入等式（5），我們可以得到（X，Y），c的依賴結(jié)構(gòu)，其中，Copula密度為

-1 <ρ<1。

然后，完全可能性可以表示為

讓

和

，ρ的后驗分布，給定先前的π（ρ），與之成正比

我們以這樣的方式引入兩個潛在變量λ和η，即后驗分布可以表示為

很容易看出整合了潛在變量λ和η，我們將得到ρ的后驗分布?，F(xiàn)在我們可以使用Gibbs采樣器。我們通過模擬ρ~U（-1,1）開始初始化。然后我們使用以下步驟進行更新：

和

在下一節(jié)中，我們在一些模擬和真實數(shù)據(jù)集上運行此代碼。

4.數(shù)值結(jié)果

為了檢驗所提出的模型的數(shù)值性能，我們首先提出兩個模擬數(shù)據(jù)示例。第一個例子有兩組，它們是由具有強正相關(guān)性的高斯copula生成的，第二個例子來自學(xué)生t copula。

對于這些示例中的每一個，我們使用Matlab 生成（U，V）數(shù)據(jù)集，此處考慮的樣本大小為n= 500。將從Gibbs采樣器輸出（U '，V '）獲得的預(yù)測數(shù)據(jù)與生成的數(shù)據(jù)進行比較。這是基于Gibbs采樣器的4000次迭代，并且使用最后的500對，然后使用前3500次迭代的老化時段。通過經(jīng)典核方法和直方圖獲得數(shù)據(jù)和預(yù)測樣本的雙變量copula密度函數(shù)估計。

第一個模擬數(shù)據(jù)模型具有極強的正相關(guān)性。選擇等式（4）中的高斯copula ，其相關(guān)系數(shù)為ρ= 0.99。圖1中提供了該組數(shù)據(jù)的四個圖形表示。在頂行中，面板（a）和（b）分別顯示基于散射和基于內(nèi)核的copula密度圖的生成數(shù)據(jù)（U，V）。預(yù)測樣品的那些顯示在圖（c）和（d）中。

圖1.高斯copula，ρ= 0.99，樣本大小n = 500。圖（a）：數(shù)據(jù)的散點圖; 圖（b）：基于內(nèi)核的copula數(shù)據(jù)密度; 圖（c），（d）和（e）：分別為預(yù)測樣品的散射，基于核的copula密度和直方圖; 圖（f）：k的直方圖，混合高斯copula密度中的組數(shù)。

在這個無限模型中，一個重要的總結(jié)是群體或混合物的數(shù)量。我們關(guān)注有限數(shù)量的變量來采樣具有正確平穩(wěn)分布的有效馬爾可夫鏈。每個迭代中的簇數(shù)

k在面板（f）中示出。k的平均值為1，這意味著copula密度被認為是一個高斯copula密度。該方法表明，如預(yù)期的那樣，估計這種類型的copula是非常簡單的。

第二個模擬數(shù)據(jù)模型是學(xué)生t copula。圖2的面板（a）中的散點圖顯示了從該copula生成的數(shù)據(jù)。選擇相關(guān)系數(shù)ρ= -0.5，自由度為ν= 1; 具有低自由度的學(xué)生t copula產(chǎn)生更大的上下尾部依賴性（見圖2）。預(yù)測樣品列于圖（c）和（d）中?？梢钥闯?，預(yù)測估計值對真實的copula密度進行了顯著的近似。簇（k）的數(shù)量如圖（e）所示。

圖2.學(xué)生t copula密度，ρ= -0.5，自由度ν= 1，數(shù)字n = 500。圖（a）：數(shù)據(jù)的散點圖; 圖（b）：數(shù)據(jù)的直方圖; 圖（c）和（d）：分別為預(yù)測樣本的散點圖和直方圖; 圖（e）：k的直方圖，混合高斯copula密度中的組數(shù)。

最后一個例子使用了一個真實的數(shù)據(jù)集;

使用MPLE-TV方法分析的類似數(shù)據(jù)。這里478名受試者提供收縮壓（SBP）和舒張壓（DBP）血壓（mmHg）的測量值。我們通過無限混合模型關(guān)注copula估計。在模擬中，讓X為SBP和Y.是DBP，所以邊緣F（x）和G（y）是未知的。然后我們按照Genest等人的說法。

并考慮觀察

這里它表明兩種反應(yīng)之間存在正相關(guān)關(guān)系，但不是非常強烈。

圖3.面板（a）：log（SBP）和log（DBP）的散點圖; 圖（b）：（log（SBP））/ n和（log（DBP））/ n的等級圖。

此處使用的蒙特卡羅樣本大小為10,000，初始9000用作老化期（參見圖4）。圖（c） - （e）中預(yù)測樣本的圖廣泛地表征了真實數(shù)據(jù)的依賴結(jié)構(gòu)。它們使用高斯混合結(jié)構(gòu)在真實數(shù)據(jù)和我們的預(yù)測樣本之間顯示出強烈的一致性。

圖4. SBP和DBP的依賴結(jié)構(gòu)，以及由經(jīng)驗分布函數(shù)轉(zhuǎn)換的468對數(shù)據(jù)。圖（a）和（b）：分別為數(shù)據(jù)的散射和基于核的copula密度圖; 圖（c） - （e）：分別為預(yù)測樣本的散射，基于核的copula密度和直方圖; 圖（f）：k的直方圖，混合高斯copula密度中的組數(shù)。

在每個迭代中無限模型中的混合物數(shù)量k在面板（f）中示出。k的平均值為7.7，這意味著copula密度大致被認為是八個高斯copula密度的混合。這種形狀的copula與任何已知的家族模型如Gumbel copula都不相似。