復(fù)旦大學(xué)謝啟鴻老師高等代數(shù)在線習(xí)題課思考題分析與解 ep.47

2022-02-04 19:05 作者:CharlesMa0606 0人讀過 | 我要投稿

本文內(nèi)容主要有關(guān)于矩陣的Kroncker積，在高代白皮書上對應(yīng)第2.2.11節(jié)和第6.2.4節(jié)

題目來自于復(fù)旦大學(xué)謝啟鴻教授在本站高等代數(shù)習(xí)題課的課后思考題，本文僅供學(xué)習(xí)交流

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本人解題水平有限，可能會有錯誤，懇請斧正！

祝大家新年快樂！

練習(xí)題1? 設(shè)A,B為矩陣(階數(shù)可不同)，則 $A%5Cotimes%20B$ 是行滿秩陣(列滿秩陣)的充要條件是A,B均為行滿秩陣(列滿秩陣).

證明? 設(shè)A,B分別為 $m%5Ctimes%20n$ 階、 $k%5Ctimes%20l$ 階矩陣，再考慮A,B的相抵標(biāo)準(zhǔn)型，存在非異陣 $P_1%2CQ_1%2CP_2%2CQ_2%2Cs.t.P_1AQ_1%3D%5Cleft(%5Cbegin%7Bmatrix%7DI_r%26O%5C%5CO%26O%5C%5C%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright)%2CP_2BQ_2%3D%5Cleft(%5Cbegin%7Bmatrix%7DI_s%26O%5C%5CO%26O%5C%5C%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright)$ ，并且

$r%5Cleft(A%5Cotimes%20B%5Cright)%3Dr%5Cleft(%5Cleft(P_1%5Cotimes%20P_2%5Cright)%5Cleft(A%5Cotimes%20B%5Cright)%5Cleft(Q_1%5Cotimes%20Q_2%5Cright)%5Cright)%3Dr%5Cleft(%5Cleft(P_1AQ_1%5Cright)%5Cotimes%5Cleft(P_2BQ_2%5Cright)%5Cright)%3Drs$

注意到 $r%5Cle%20m%2Cs%5Cle%20k$ ，從而 $rs%5Cle%20mk$ ，但 $A%5Cotimes%20B$ 是行滿秩陣當(dāng)且僅當(dāng) $rs%3Dmk$ ，從而當(dāng)且僅當(dāng)A,B均為行滿秩陣.列滿秩的情況完全一致.

練習(xí)題2? 設(shè)A為數(shù)域F上的m階矩陣，B為數(shù)域F上的n階矩陣，V是F上 $m%5Ctimes%20n$ 矩陣全體構(gòu)成的線性空間，V上的線性變換 $%5Cvarphi$ 定義為： $%5Cvarphi%5Cleft(X%5Cright)%3DAXB$ .設(shè)A的特征值為 $%5Clambda_i%5Cleft(i%3D1%2C%5Ccdots%2Cm%5Cright)$ ，矩陣B的特征值為 $%5Cmu_j%5Cleft(j%3D1%2C%5Ccdots%2Cn%5Cright)$ .試求 $Ker%5Cvarphi$ 的維數(shù)和一組基.

證明? 容易驗證線性變換 $%5Cvarphi$ 定義為： $%5Cvarphi%5Cleft(X%5Cright)%3DAXB$ 在全體基礎(chǔ)矩陣 $%5C%7BE_%7B11%7D%2C%5Ccdots%2CE_%7Bmn%7D%5C%7D$ 作為基時的表示矩陣為 $A%5Cotimes%20B%5E%5Cprime$ ，從而易知 $dimKer%5Cvarphi%3Dmn-r%5Cleft(A%5Cright)r%5Cleft(B%5Cright)$ . 考慮A,B的相抵標(biāo)準(zhǔn)型，存在非異陣 $P_1%2CQ_1%2CP_2%2CQ_2%2Cs.t.P_1AQ_1%3D%5Cleft(%5Cbegin%7Bmatrix%7DI_r%26O%5C%5CO%26O%5C%5C%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright)%2CP_2BQ_2%3D%5Cleft(%5Cbegin%7Bmatrix%7DI_s%26O%5C%5CO%26O%5C%5C%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright)$ ，于是

$%5Cleft(P_1%5Cotimes%20P_2%5E%5Cprime%5Cright)%5Cleft(A%5Cotimes%20B%5Cright)%5Cleft(Q_1%5Cotimes%20Q_2%5E%5Cprime%5Cright)%3D%5Cleft(P_1AQ_1%5Cright)%5Cotimes%5Cleft(P_2BQ_2%5Cright)%3Ddiag%5C%7B%5Cleft(%5Cbegin%7Bmatrix%7DI_s%26O%5C%5CO%26O%5C%5C%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright)%2C%5Cleft(%5Cbegin%7Bmatrix%7DI_s%26O%5C%5CO%26O%5C%5C%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright)%2C%5Ccdots%2C%5Cleft(%5Cbegin%7Bmatrix%7DI_s%26O%5C%5CO%26O%5C%5C%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright)%5C%7D$

利用解方程組的標(biāo)準(zhǔn)型即可得到基礎(chǔ)解系，從而構(gòu)成Ker\varphi的一組基.

練習(xí)題3(17級高代I期末考試第六大題)? 設(shè)A為數(shù)域F上的m階矩陣，B為數(shù)域F上的n階矩陣，V是F上 $m%5Ctimes%20n$ 矩陣全體構(gòu)成的線性空間，V上的線性變換 $%5Cvarphi$ 定義為： $%5Cvarphi%5Cleft(X%5Cright)%3DAXB$ .設(shè)A的特征值為 $%5Clambda_i%5Cleft(i%3D1%2C%5Ccdots%2Cm%5Cright)$ ，矩陣B的特征值為 $%5Cmu_j%5Cleft(j%3D1%2C%5Ccdots%2Cn%5Cright)$ .求證： $%5Cvarphi$ 是冪零線性變換當(dāng)且僅當(dāng)A,B中至少有一個是冪零陣.

證明? 注意到 $%5Cvarphi$ 是冪零線性變換當(dāng)且僅當(dāng) $%5Cvarphi$ 的全體特征值為O，從而當(dāng)且僅當(dāng) $%5Clambda_i%5Cmu_j%3D0$ 恒成立，而這當(dāng)且僅當(dāng) $%5Clambda_i$ 全為0或者 $%5Cmu_j$ 全為零，這當(dāng)且僅當(dāng)A是冪零陣或者B是冪零陣，因此 $%5Cvarphi$ 是冪零線性變換當(dāng)且僅當(dāng)A,B中至少有一個是冪零陣.

練習(xí)題4? 設(shè)A為數(shù)域F上的m階矩陣，B為數(shù)域F上的n階矩陣，V是F上 $m%5Ctimes%20n$ 矩陣全體構(gòu)成的線性空間，V上的線性變換 $%5Cvarphi$ 定義為： $%5Cvarphi%5Cleft(X%5Cright)%3DAX-XB$ .設(shè)A的特征值為 $%5Clambda_i%5Cleft(i%3D1%2C%5Ccdots%2Cm%5Cright)$ ，矩陣B的特征值為 $%5Cmu_j%5Cleft(j%3D1%2C%5Ccdots%2Cn%5Cright)$ .證明：若A,B都是冪零陣，則 $%5Cvarphi$ 是冪零線性變換.

證明? 容易驗證線性變換 $%5Cvarphi%5Cleft(X%5Cright)%3DAXB$ 在全體基礎(chǔ)矩陣 $%5C%7BE_%7B11%7D%2C%5Ccdots%2CE_%7Bmn%7D%5C%7D$ 作為基時的表示矩陣為 $A%5Cotimes%20I_n-I_m%5Cotimes%20B%5E%5Cprime$ ,并且特征值為 $%5Clambda_i-%5Cmu_j$ ，若A,B都是冪零陣，則 $%5Cvarphi$ 的特征值全為0，從而 $%5Cvarphi$ 是冪零線性變換.

練習(xí)題5? 設(shè)V為n階復(fù)方陣全體構(gòu)成的線性空間，V上的線性變換 $%5Cvarphi$ 定義為 $%5Cvarphi%5Cleft(X%5Cright)%3DAX-XA$ ，其中 $A%5Cin%20V$ .證明： $%5Cvarphi$ 是冪零線性變換的充要條件是存在 $%5Clambda_0%5Cin%20C$ ,使得 $A-%5Clambda_0I_n$ 是冪零陣.

證明? 容易驗證線性變換 $%5Cvarphi%5Cleft(X%5Cright)%3DAX-XA$ 在全體基礎(chǔ)矩陣 $%5C%7BE_%7B11%7D%2C%5Ccdots%2CE_%7Bnn%7D%5C%7D$ 作為基時的表示矩陣為 $A%5Cotimes%20I_n-I_n%5Cotimes%20A%5E%5Cprime$ ,并且特征值為 $%5Clambda_i-%5Clambda_j$ ，若 $%5Cvarphi$ 是冪零線性變換，則 $%5Clambda_i%3D%5Clambda_j%2C%5Cforall1%5Cle%20i%2Cj%5Cle%20n$ ，即A的全部特征值相同，從而存在 $%5Clambda_0%5Cin%20C$ ,使得 $A-%5Clambda_0I_n$ 是冪零陣.反過來，若存在 $%5Clambda_0%5Cin%20C$ ,使得 $A-%5Clambda_0I_n$ 是冪零陣，則說明 $A-%5Clambda_0I_n$ 的特征值全為0，從而A的特征值全為 $%5Clambda_0$ ，于是線性變換 $%5Cvarphi%5Cleft(X%5Cright)%3DAX-XA$ 的全體特征值為0，這說明線性變換 $%5Cvarphi%5Cleft(X%5Cright)%3DAX-XA$ 是冪零線性變換.

練習(xí)題6(19級高代II每周一題)? 設(shè)V為n階復(fù)方陣全體構(gòu)成的線性空間，V上的線性變換 $%5Cvarphi$ 定義為 $%5Cvarphi%5Cleft(X%5Cright)%3DAX-XA%5E%5Cprime$ ，其中 $A%5Cin%20V$ .證明： $%5Cvarphi$ 可對角化的充要條件是A可對角化.

證明? 容易驗證線性變換 $%5Cvarphi%5Cleft(X%5Cright)%3DAX-XA%5E%5Cprime$ 在全體基礎(chǔ)矩陣 $%5C%7BE_%7B11%7D%2C%5Ccdots%2CE_%7Bnn%7D%5C%7D$ 作為基時的表示矩陣為 $A%5Cotimes%20I_n-I_n%5Cotimes%20A$ .

先證充分性.設(shè)A可對角化，即存在非異陣P，使得 $P%5E%7B-1%7DAP%3D%5CLambda$ 為對角陣，則容易驗證

$%5Cleft(P%5Cotimes%20P%5Cright)%5E%7B-1%7D%5Cleft(A%5Cotimes%20I_n-I_n%5Cotimes%20A%5Cright)%5Cleft(P%5Cotimes%20P%5Cright)%3D%5CLambda%5Cotimes%20I_n-I_n%5Cotimes%5CLambda%3DO$

從而 $A%5Cotimes%20I_n-I_n%5Cotimes%20A$ 相似于對角陣，從而 $%5Cvarphi$ 可對角化.

再證必要性，用反證法.設(shè) $%5Cvarphi$ 可對角化但A不可對角化，則A的Jordan標(biāo)準(zhǔn)型至少有一個二階以上的Jordan塊，不妨設(shè)為 $J_r%5Cleft(%5Clambda_0%5Cright)%5Cleft(r%5Cgeq2%5Cright)$ ，其對應(yīng)的基向量為 $%5Calpha_1%2C%5Calpha_2%2C%5Ccdots%2C%5Calpha_r%5Cin%20C%5En$ ，滿足：

$A%5Calpha_1%3D%5Clambda_0%5Calpha_1%2CA%5Calpha_2%3D%5Calpha_1%2B%5Clambda_0%5Calpha_2%2C%5Ccdots%2CA%5Calpha_r%3D%5Calpha_%7Br-1%7D%2B%5Clambda_0%5Calpha_r$

設(shè) $U%3DL%5Cleft(%5Calpha_i%5Ccdot%5Calpha_j%5E%5Cprime%2C1%5Cle%20i%2Cj%5Cle%20r%5Cright)%5Csubseteq%20V$ ，則可證明U是 $%5Cvarphi$ 不變子空間，并且利用每周一題問題[2021A08]的結(jié)論（復(fù)旦大學(xué)謝啟鴻高等代數(shù)每周一題[2021A08]參考解答 - 嗶哩嗶哩 (bilibili.com)）可知 $%5C%7B%5Calpha_i%5Ccdot%5Calpha_j%5E%5Cprime%2C1%5Cle%20i%2Cj%5Cle%20r%5C%7D$ 線性無關(guān)，從而組成U的一組基.因為 $%5Cvarphi$ 可對角化，故 $%5Cleft.%5Cvarphi%5Cright%7C_U$ 也可以對角化，并且經(jīng)計算可知 $%5Cleft.%5Cvarphi%5Cright%7C_U$ 在基 $%5C%7B%5Calpha_i%5Ccdot%5Calpha_j%5E%5Cprime%2C1%5Cle%20i%2Cj%5Cle%20r%5C%7D$ 下的表示矩陣為 $J_r%5Cleft(%5Clambda_0%5Cright)%5Cotimes%20I_n-I_n%5Cotimes%20J_r%5Cleft(%5Clambda_0%5Cright)$ ，這個上三角矩陣的主對角元全為0并且應(yīng)當(dāng)可對角化，但是因為主對角線上方存在非零元素，所以不可對角化，矛盾！

練習(xí)題7? 設(shè)A,B分別為m,n階復(fù)方陣， $C%3DA%5Cotimes%20I_n%2BI_m%5Cotimes%20B%EF%BC%8Cg%5Cleft(%5Clambda%5Cright)%3D%5Cleft%7C%5Clambda%20I_n%2BB%5Cright%7C$ .求證：C是非異陣當(dāng)且僅當(dāng)g(A)是非異陣.

證明? 先證充分性，設(shè)A的全體特征值為 $%5Clambda_1%2C%5Ccdots%2C%5Clambda_m$ ，B的全體特征值為 $%5Cmu_1%2C%5Ccdots%2C%5Cmu_n$ .若g(A)是非異陣，說明 $g%5Cleft(%5Clambda_i%5Cright)%5Cneq0%2C%5Cforall1%5Cle%20i%5Cle%20m$ ，從而A,-B'沒有公共特征值，注意到C的全體特征值為 $%5Clambda_i%2B%5Cmu_j$ ，又A,-B'沒有公共特征值，從而C的特征值全部不為0，于是C是非異陣.

再證必要性，若C是非異陣，則 $%5Clambda_i%2B%5Cmu_j%5Cneq0%2C%5Cforall%20i%2Cj$ ，從而A,-B'沒有公共特征值，從而 $g%5Cleft(%5Clambda_i%5Cright)%5Cneq0%2C%5Cforall1%5Cle%20i%5Cle%20m$ ，從而g(A)是非異陣.