預(yù)備知識(shí)：

1. 公式：（axb）^2+（ab）^2=a^2b^2；

2. 雙重向量積：給定空間三向量，先作其中兩個(gè)向量的向量積，再作所得向量與第三個(gè)向量的向量積，那么最后的結(jié)果仍然是一向量，叫做所給三向量的雙重向量積。例如（axb）xc就是三向量a，b，c的一個(gè)雙重向量積；

3. 性質(zhì)：（axb）xc是和a，b共面且垂直于c的向量。
   

4. 矩陣乘法運(yùn)算律——
   

   a.結(jié)合律：（AB）C=A（BC）

   b.左分配律：A（B+C）=AB+AC

   c.右分配律：（B+C）D=BD+CD

   d.若A是n級(jí)矩陣，單位矩陣為E，則有：AE=EA=A

   e.矩陣乘法與數(shù)量乘法滿足：k（AB）=（kA）B=A（kB）

   f.可逆方陣：設(shè)A為n階方陣，若存在n階方陣B，使AB=BA=E，則稱B為A的逆方陣，而稱A為可逆方陣。

5. 矩陣A可逆的充要條件：|A|不為0——|A|為矩陣A對(duì)應(yīng)的行列式。

6. 矩陣對(duì)應(yīng)行列式滿足：|AB|=|A||B|；

7. 設(shè)A與B都是數(shù)域K上的n級(jí)矩陣，如果AB=E，那么A與B都是可逆矩陣，并且A^（-1）=B，B^（-1）=A。

8. A的伴隨矩陣A*滿足：A*=|A|A^（-1）

9. E（i，j）為單位矩陣i，j行對(duì)調(diào)——
   

   方陣A可逆，A對(duì)調(diào)i，j行成B矩陣：B=E（i，j）A

   方陣A可逆，A對(duì)調(diào)i，j列成B矩陣：B=AE（i，j）

10. 矩陣的轉(zhuǎn)置：把n級(jí)矩陣A的行與列互換得到的矩陣稱為A的轉(zhuǎn)置，記作A'，|A'|=|A|。

11. 定義：設(shè)A為方陣，若A'=A，則稱A為對(duì)稱矩陣，若A'=-A，則稱A為反對(duì)稱矩陣。

12. 定義：如果AB=BA，則稱A與B可交換。

13. 矩陣轉(zhuǎn)置運(yùn)算律——

    （A+B）'=A'+B'

    （kA）'=kA'

    （AB）'=B'A'

參考資料：

1. 《數(shù)學(xué)分析習(xí)題演練》（周民強(qiáng)?編著）

2. 《解析幾何》（呂林根 許子道?編）

3. 《高等代數(shù)——大學(xué)高等代數(shù)課程創(chuàng)新教材》（丘維聲 著）

數(shù)學(xué)分析——

例題（來(lái)自《數(shù)學(xué)分析習(xí)題演練（周民強(qiáng)?編著）》）——

試證下述命題：an=1/n-2/n+3/n+……+（-1）^（n-1）n/n，n=1，2，……不是收斂列。

證：

1. a2n

   =（1/2n-2/2n）+（3/2n-4/2n）+……+[（2n-1）/2n-2n/2n]

   =-n/2n；

2. a2n+1

   =1/（2n+1）+[-2/（2n+1）+3/（2n+1）]+……+[-2n/（2n+1）+（2n+1）/（2n+1）]

   =（n+1）/（2n+1）

3. 子列{a2n}與{a2n+1}極限不相等，故而數(shù)列發(fā)散。

解析幾何——

例題（來(lái)自《解析幾何（呂林根 許子道?編）》）——

證明拉格朗日恒等式：（axb）（a'xb'）=（aa'）（bb'）-（ab'）（ba'）

證：

1. （axb）（a'xb'）

   =（a，b，（a'xb'））

   =（（a'xb'），a，b）

   =[（a'xb'）xa]b

   =[（aa'）b'-（ab'）a']b

   =（aa'）（bb'）-（ab'）（ba'），證畢。

高等代數(shù)——

例題（來(lái)自《高等代數(shù)——大學(xué)高等代數(shù)課程創(chuàng)新教材（丘維聲 著）》）——

證明：設(shè)A與B都是數(shù)域K上的n級(jí)矩陣，如果AB=E，那么A與B都是可逆矩陣，并且A^（-1）=B，B^（-1）=A.

證：

1. 因?yàn)锳B=E，|AB|=|I|。從而|A||B|=1。因此|A|不為0，|B|不為0。于是A，B都可逆。

2. A=AE=A（BB^（-1））=（AB）B^（-1）=EB^（-1）=B^（-1），

   A^（-1）=（B^（-1））^（-1）=B，證畢。

到這里！