三角形

圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。

也可將圖對(duì)折看，對(duì)稱以后關(guān)系現(xiàn)。

角平分線平行線，等腰三角形來(lái)添。

角平分線加垂線，三線合一試試看。

線段垂直平分線，常向兩端把線連。

線段和差及倍半，延長(zhǎng)縮短可試驗(yàn)。

線段和差不等式，移到同一三角去。

三角形中兩中點(diǎn)，連接則成中位線。

三角形中有中線，倍長(zhǎng)中線得全等。

四邊形

平行四邊形出現(xiàn)，對(duì)稱中心等分點(diǎn)。

梯形問(wèn)題巧轉(zhuǎn)換，變?yōu)槿腔蚱剿摹?/p>

平移腰，移對(duì)角，兩腰延長(zhǎng)作出高。

如果出現(xiàn)腰中點(diǎn)，細(xì)心連上中位線。

上述方法不奏效，過(guò)腰中點(diǎn)全等造。

證相似，比線段，添線平行成習(xí)慣。

等積式子比例換，尋找線段很關(guān)鍵。

直接證明有困難，等量代換少麻煩。

斜邊上面作高線，比例中項(xiàng)一大片。

圓

半徑與弦長(zhǎng)計(jì)算，弦心距來(lái)中間站。

圓上若有一切線，切點(diǎn)圓心半徑聯(lián)。

切線長(zhǎng)度的計(jì)算，勾股定理最方便。

要想證明是切線，半徑垂線仔細(xì)辨。

是直徑，成半圓，想成直角徑連弦。

弧有中點(diǎn)圓心連，垂徑定理要記全。

圓周角邊兩條弦，直徑和弦端點(diǎn)連。

弦切角邊切線弦，同弧對(duì)角等找完。

要想作個(gè)外接圓，各邊作出中垂線。

還要作個(gè)內(nèi)接圓，內(nèi)角平分線夢(mèng)圓。

如果遇到相交圓，不要忘作公共弦。

內(nèi)外相切的兩圓，經(jīng)過(guò)切點(diǎn)公切線。

若是添上連心線，切點(diǎn)肯定在上面。

要作等角添個(gè)圓，證明題目少困難。

一、截取構(gòu)全等

如圖，AB//CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，點(diǎn)E在AD上，求證：BC=AB+CD。

分析：在此題中可在長(zhǎng)線段BC上截取BF=AB，再證明CF=CD，從而達(dá)到證明的目的。這里面用到了角平分線來(lái)構(gòu)造全等三角形。另外一個(gè)全等自已證明。此題的證明也可以延長(zhǎng)BE與CD的延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)來(lái)證明。自已試一試。

二、角分線上點(diǎn)向兩邊作垂線構(gòu)全等

如圖，已知AB>AD, ∠BAC=∠FAC,CD=BC。求證：∠ADC+∠B=180

分析：可由C向∠BAD的兩邊作垂線。近而證∠ADC與∠B之和為平角。

三、三線合一構(gòu)造等腰三角形

如圖，AB=AC，∠BAC=90 ，AD為∠ABC的平分線，CE⊥BE.求證：BD=2CE。

分析：延長(zhǎng)此垂線與另外一邊相交，得到等腰三角形，隨后全等。

四、角平分線+平行線

如圖，AB>AC, ∠1=∠2，求證：AB－AC>BD－CD。

分析：AB上取E使AC=AE，通過(guò)全等和組成三角形邊邊邊的關(guān)系可證。

截長(zhǎng)補(bǔ)短法

AC平分∠BAD，CE⊥AB，且∠B+∠D=180°，求證：AE=AD+BE。

分析：過(guò)C點(diǎn)作AD垂線，得到全等即可。

一、中線把三角形面積等分

如圖，ΔABC中，AD是中線，延長(zhǎng)AD到E，使DE=AD，DF是ΔDCE的中線。已知ΔABC的面積為2，求：ΔCDF的面積。

分析：利用中線分等底和同高得面積關(guān)系。

二、中點(diǎn)聯(lián)中點(diǎn)得中位線

如圖，在四邊形ABCD中，AB=CD，E、F分別是BC、AD的中點(diǎn)，BA、CD的延長(zhǎng)線分別交EF的延長(zhǎng)線G、H。求證：∠BGE=∠CHE。

分析：聯(lián)BD取中點(diǎn)聯(lián)接聯(lián)接，通過(guò)中位線得平行傳遞角度。

三、倍長(zhǎng)中線

如圖，已知ΔABC中，AB=5，AC=3，連BC上的中線AD=2，求BC的長(zhǎng)。

分析：倍長(zhǎng)中線得到全等易得。

四、RtΔ斜邊中線

如圖，已知梯形ABCD中，AB//DC，AC⊥BC，AD⊥BD，求證：AC=BD。

分析：取AB中點(diǎn)得RTΔ斜邊中線得到等量關(guān)系。

由全等三角形想到的輔助線

一、倍長(zhǎng)過(guò)中點(diǎn)得線段

已知，如圖△ABC中，AB=5，AC=3，則中線AD的取值范圍是。

分析：利用倍長(zhǎng)中線做。

二、截長(zhǎng)補(bǔ)短

如圖，在四邊形ABCD中，BC＞BA,AD＝CD，BD平分 ，求證：∠A+∠C=180

分析：在角上截取相同的線段得到全等。

三、平移變換

如圖，在△ABC的邊上取兩點(diǎn)D、E，且BD=CE，求證：AB+AC>AD+AE

分析：將△ACE平移使EC與BD重合。

四、旋轉(zhuǎn)

正方形ABCD中，E為BC上的一點(diǎn)，F(xiàn)為CD上的一點(diǎn)，BE+DF=EF，求∠EAF的度數(shù)

分析：將△ADF旋轉(zhuǎn)使AD與AB重合。全等得證。

一、平移一腰

所示，在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，AB∥DC，AD＝15，AB＝16，BC＝17. 求CD的長(zhǎng)。

分析：利用平移一腰把梯形分割成三角形和平行四邊形。

二、平移兩腰

如圖，在梯形ABCD中，AD//BC，∠B＋∠C=90°，AD=1，BC=3，E、F分別是AD、BC的中點(diǎn)，連接EF，求EF的長(zhǎng)。

分析：利用平移兩腰把梯形底角放在一個(gè)三角形內(nèi)。

三、平移對(duì)角線

已知：梯形ABCD中，AD//BC，AD=1，BC=4，BD=3，AC=4，求梯形ABCD的面積。

分析：通過(guò)平移梯形一對(duì)角線構(gòu)造直角三角形求解。

四、作雙高

在梯形ABCD中，AD為上底，AB>CD，求證：BD>AC。

分析：作梯形雙高利用勾股定理和三角形邊邊邊的關(guān)系可得。

五、作中位線

（1）如圖，在梯形ABCD中，AD//BC，E、F分別是BD、AC的中點(diǎn)，求證：EF//AD

分析：聯(lián)DF并延長(zhǎng)，利用全等即得中位線。

（2）在梯形ABCD中，AD∥BC， ∠BAD=90°，E是DC上的中點(diǎn)，連接AE和BE，求∠AEB=2∠CBE。

分析：在梯形中出現(xiàn)一腰上的中點(diǎn)時(shí)，過(guò)這點(diǎn)構(gòu)造出兩個(gè)全等的三角形達(dá)到解題的目的。