本文講解基于因子圖的置信傳播算法，來做 MIMO detection, 即根據(jù)接收到的數(shù)據(jù)，假定信道系數(shù)矩陣已知的前提下，來估計發(fā)送的數(shù)據(jù)。這個文章需要的背景知識很少，只需要基本的概率知識以及高斯分布就可以了。

（錄制的視頻：https://www.bilibili.com/video/BV1214y1h7v7/）

系統(tǒng)圖如下：

則：

?

信道系數(shù)矩陣 H 已知，且已經(jīng)接收到了數(shù)據(jù)，那么如果我們要估算發(fā)送方的數(shù)據(jù)，當然最優(yōu)的做法，是求解下面的概率：

其中 x 和 y 都是列向量，分別包含 Nt?和 Nr?個元素。 Nt?和 Nr?分別表示發(fā)送天線數(shù)和接收天線數(shù).

在所有 x 的可能取值中，找上面公式 (1) 的概率的最大值。

但是，這種最大化后驗概率的方法，計算量隨著發(fā)送天線數(shù)的增加而急劇增大，因此，我們可以退而求其次，我們不要求全局最優(yōu)，我們把 Nt 個發(fā)送數(shù)據(jù)分別處理，對于 ，我們計算如下的概率：

如果大于 0.5，則認為 ，否則，認為 .

我們把公式 (2) 用條件概率公式做一下推導，目的是推導出 用“收到 y”? 概率 來表示這個 ?的概率。

其中，因為 ?與信道 H 是相互獨立的，因此 ，可以認為是常數(shù)。

其中 p(y|H)?用全概率公式展開為

因為 ?與信道 H 是相互獨立的，所以，上式繼續(xù)推導為：

在假定? ，即符號是等概率取值的，則公式 (3) 可以整理為：

至此，我們做一個不太準確的假設，即假設 ?在 已知 H 和 ?的條件下，相互獨立。但是，在實際上，這里肯定不是相互獨立的，因為每個接收天線都能接收到所有發(fā)射天線來的信號，那么這些接收到的數(shù)據(jù)肯定都包括相互重疊的信息，即來自同一個發(fā)射天線的信息。所以，下面的公式，只能是約等于：

代入公式 (4) 有：

令：

那么：

代入公式 (5) 有：

至此，我們已經(jīng)用 ?的概率，表示出來了 ?的概率，即用接收方的概率信息，來估計發(fā)送方發(fā)送的是什么數(shù)據(jù)的概率。

接下來，我們需要更新了的對發(fā)送方的估計，來進一步提高對 ?的概率的估計，即提高 ?的準確度。看公式 (6) 中的 ，我們把 的公式寫出來：

這里，我們把來自不是 ?的發(fā)送信號，都視作干擾，這個干擾以及加性高斯白噪聲項一起，構成了一個符合復高斯分布的隨機變量 ：

符合如下的復高斯分布：

那么根據(jù)公式 (9) 和上面的假設，則? ?是符合 ?的復高斯分布。

那么：

類似的：

代入公式 (6) 有：

其中：

同理：

代入公式 (10) 有：

現(xiàn)在，我們來推導公式 (11) 中用到的兩個參數(shù) ?和? ?:

其中

則：

另外，方差的部分：

其中：

則：

最終，公式 (11) 變?yōu)椋?/p>

至此，我們已經(jīng)有一個迭代的過程了：

1）用 ?的概率信息 ?來估算每個發(fā)送方數(shù)據(jù)的概率信息?

2） 根據(jù)發(fā)送方概率信息 ，可以計算出相關的均值和方差 ?和 , 進而可以又來估計 ?的概率。

因為我們這中間有一些假設導致的一種近似，所以，我們需要對上面兩個步驟做多次迭代，才能收斂到一個穩(wěn)定值。因為是迭代，所以，在后面的迭代過程中，公式(7) 中，計算左邊的值時，需要把我們用來估計的 對應的概率踢出去，下面的公式中 ?表示要估計的 y 向量中元素的下標（而不是 i ）, 公式 (7) 變?yōu)椋?/p>

則公式(12) 和公式 (13) 一起，構成這個算法的迭代過程。

至此，我們引入因子圖來表示這種迭代關系以及迭代過程中傳遞的概率信息（稱之為消息）。