還是這道題:
B在以A為圓心，1為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，C在直線l上運(yùn)動(dòng)，且圓心A到直線l的距離為2，求BC的最小值？

前兩篇專欄采用控制變量法求取最小值。其中控制變量的過(guò)程中我們采用的是逐步調(diào)整的方法。比如先固定B，移動(dòng)C是BC取得最小值。那么對(duì)于每一個(gè)特定的B，最小值都是對(duì)應(yīng)的垂線段長(zhǎng)，再求垂線段長(zhǎng)的最小值即可。

而這里提供另一種控制變量的思路，就是每個(gè)變量輪流控制。

1、先控制B不變，移動(dòng)C，則當(dāng)BC垂直于直線l時(shí)取最小值

說(shuō)明BC垂直于直線l是BC取得最小值的必要條件

(因?yàn)楣潭˙點(diǎn)的情況下，其余的點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的BC長(zhǎng)度一定比垂線段長(zhǎng)，肯定不是最小值。相當(dāng)于排除掉了大部分不滿足的情況)

2、再控制C不變，移動(dòng)B，則當(dāng)A,B,C三點(diǎn)共線且B位于AC之間時(shí)BC取得最小值(最小值為AC-r)

說(shuō)明A,B,C三點(diǎn)共線且B位于AC之間時(shí)BC是BC取得最小值的必要條件

由此我們得出BC取最小值的必要條件：

1、BC垂直于直線l

2、A,B,C三點(diǎn)共線且B位于AC之間時(shí)BC

僅當(dāng)B,C在如下圖的位置時(shí)同時(shí)滿足以上的必要條件

此時(shí)BC=1

又由于題目讓我們求最小值，說(shuō)明最小值存在(充分性)。那只能是如上的這種情況了。

∴

我們?cè)儆?strong>輪流控制的方法解決下面一道題：

求半徑為r的圓的內(nèi)接三角形面積的最大值？

1、控制BC不動(dòng)，當(dāng)A位于優(yōu)弧BC的中點(diǎn)時(shí)到BC邊的距離最大，則面積最大

作BC邊的中垂線與圓相交，取距離BC較遠(yuǎn)的那個(gè)交點(diǎn)就是取最大值時(shí)對(duì)應(yīng)的A點(diǎn)

因此A位于BC中垂線上是取最大值的必要條件

同理

2、控制AB不動(dòng)，可得：

C位于AB中垂線上是取最大值的必要條件

3、控制AC不動(dòng)，可得：

B位于AC中垂線上是取最大值的必要條件

而中垂線上的點(diǎn)到兩端點(diǎn)的距離相等，因此，結(jié)合上述3個(gè)必要條件可得：

△ABC是等邊三角形

邊長(zhǎng)

面積

由于題目問(wèn)最大值，說(shuō)明最大值存在可求(充分性)，那只能是如上的這種情況了。

∴

明白了上述的輪流控制的思路，；理解偏導(dǎo)數(shù)就容易很多了。

首先有必要溫故一下導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)最值的方法。

求函數(shù)的最小值

定義域：R

求導(dǎo)，

令f'(x)=0，得x=0;

令f'(x)>0，得x>0，則f(x)在(0,+∞)單調(diào)遞增;

令f'(x)<0，得x<0，則f(x)在(-∞,0)單調(diào)遞減;

則當(dāng)x=0時(shí)f(x)取最小值f(0)=1

這是高中時(shí)學(xué)的完整的嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖龇?，需判斷單調(diào)性，再根據(jù)單調(diào)性得出最值。

下面的這個(gè)方法則可省去判斷單調(diào)性的步驟，不過(guò)有如下注意事項(xiàng)。

依據(jù)：(1)若函數(shù)在一個(gè)開(kāi)區(qū)間內(nèi)連續(xù)可導(dǎo)，且在該區(qū)間內(nèi)存在最值，那么最值在該區(qū)間的極值點(diǎn)處取得。

需要注意的是，如果是閉區(qū)間，那么最值可能在邊界處取得，因此需要強(qiáng)調(diào)是開(kāi)區(qū)間。

（2）對(duì)于的點(diǎn)(即函數(shù)的駐點(diǎn)),

若,則為極小值點(diǎn);

若,則為極大值點(diǎn);

若,則無(wú)法判斷是否為極值點(diǎn)，需進(jìn)一步判斷

我們?cè)儆蒙鲜龇椒ㄇ?img type="latex" class="latex" src="http://api.bilibili.com/x/web-frontend/mathjax/tex?formula=f(x)%3De%5Ex-x" alt="f(x)%3De%5Ex-x"/>的最小值

令，解得：x=0

，則x=0為函數(shù)的極小值點(diǎn)

由于定義域R為開(kāi)區(qū)間，故最小值在該極小值處取得

∴最小值為f(0)=1

下面我們?cè)儆?strong>輪流控制的思路再做上一篇專欄提到的這一題：

求二元函數(shù)的最小值？

1、控制x不變，則

這是以y為自變量的二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)取最小值

因此，是函數(shù)取最小值的必要條件

2、控制y不變，則

這是以x為自變量的二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)取最小值

因此，是函數(shù)取最小值的必要條件

聯(lián)立上述兩必要條件，

解得：

由于題目讓我們求最小值，說(shuō)明最小值存在可求(充分性)。那么只能是上述情況了。

故最小值為7

其中，控制x不變，就把y當(dāng)成自變量研究z-y函數(shù)的關(guān)系式；

控制y不變，就把x當(dāng)成自變量研究z-x函數(shù)的關(guān)系式。

倘若z-y函數(shù)或z-x函數(shù)比較復(fù)雜，那么也需要借助導(dǎo)數(shù)這一工具了

參照上述過(guò)程，有：

1、控制x不變，對(duì)y求偏導(dǎo)(就是當(dāng)y為自變量，其余的為常量求導(dǎo)，實(shí)質(zhì)還是控制變量)得：

令，求得的就是z-y函數(shù)的極值點(diǎn)

(上述為二次函數(shù)，所以跟上文的求對(duì)稱軸求出的結(jié)果是一樣的)

由于y∈R，所以z-y函數(shù)取極值是z-y函數(shù)取最值的必要條件

ps:必要條件的由來(lái)可參考注意事項(xiàng)中的依據(jù)(1)

2、控制y不變，對(duì)x求偏導(dǎo)(就是當(dāng)x為自變量，其余的為常量求導(dǎo)，實(shí)質(zhì)還是控制變量)得：

令，求得的就是z-x函數(shù)的極值點(diǎn)

(上述為二次函數(shù)，所以跟上文的求對(duì)稱軸求出的結(jié)果是一樣的)

由于x∈R，所以z-x函數(shù)取極值是z-x函數(shù)取最值的必要條件

將兩必要條件聯(lián)立得：

解得：

由于題目讓我們求最小值，說(shuō)明最小值存在可求(充分性)。那么只能是上述情況了。

故最小值為7

下面作出二元函數(shù)的曲面圖來(lái)展示上述過(guò)程背后的幾何意義

控制x，就是用平行于z-O-y平面的平面去截這個(gè)曲面，截得的曲線解析式為z-y函數(shù)

對(duì)變量y求偏導(dǎo)就相當(dāng)于對(duì)這個(gè)z-y函數(shù)的自變量y求導(dǎo)，那么其幾何意義就是這條所截得的曲線的切線斜率

如下圖所示，對(duì)于此題，當(dāng)切線斜率為0時(shí)取得取得這條曲線的極值

(ps:由于此題z-y函數(shù)為二次函數(shù)，因此極值點(diǎn)對(duì)應(yīng)于這條曲線的對(duì)稱軸)

控制y不變也是同理，就是用平行于z-O-x平面的平面去截這個(gè)曲面，截得的曲線解析式為z-x函數(shù)

對(duì)變量x求偏導(dǎo)就相當(dāng)于對(duì)這個(gè)z-x函數(shù)的自變量x求導(dǎo)，那么其幾何意義就是這條所截得的曲線的切線斜率

如下圖所示，對(duì)于此題，當(dāng)切線斜率為0時(shí)取得取得這條曲線的極值

(ps:由于此題z-x函數(shù)為二次函數(shù)，因此極值點(diǎn)對(duì)應(yīng)于這條曲線的對(duì)稱軸)

再看看整體的曲線圖

容易得到，這個(gè)極值點(diǎn)處不論用平行于z-O-y的平面去截，還是用z-O-x的平面去截，所截得的曲線在這一點(diǎn)的切線都是水平的

因此，連續(xù)可導(dǎo)的多元函數(shù)在一點(diǎn)處取得極值的必要條件為其各個(gè)變量在此點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)均為0

∴對(duì)于上題，解方程組,可得到此必要條件

當(dāng)然了，這里還有一點(diǎn)沒(méi)說(shuō)清楚的。如果要嚴(yán)謹(jǐn)?shù)刈C明充分性(證明這個(gè)駐點(diǎn)是極值點(diǎn))，那就得用海森矩陣了，這里就不展開(kāi)論述了。不過(guò)題目讓求最值就暗示最值可求，也默認(rèn)充分性了。所以當(dāng)我們“排除”掉大部分不滿足必要性的情況后，只剩下一種情況時(shí)，這種情況即為所求。

此篇專欄主要介紹了控制變量的另一種方法：輪流控制。這個(gè)方法在求多元函數(shù)極值的偏導(dǎo)法中有所體現(xiàn)，對(duì)變量求偏導(dǎo)的實(shí)質(zhì)是控制變量(將其他變量視為常量，也就是在控制這些變量)。

在專欄后半部分，則主要是結(jié)合圖像直觀地講解偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及解釋了“為什么要求偏導(dǎo)”(答：實(shí)質(zhì)是控制變量)，帶讀者們初步認(rèn)識(shí)偏導(dǎo)數(shù)。

另外，對(duì)于偏導(dǎo)數(shù)還有很多的知識(shí)沒(méi)有提及，說(shuō)實(shí)話大部分也還是在個(gè)人的知識(shí)盲區(qū)內(nèi)，為了不對(duì)讀者造成誤導(dǎo)我只能講掌握較全面的一些知識(shí)分享出來(lái)了。望以后系統(tǒng)地學(xué)習(xí)了這個(gè)體系的知識(shí)后再與讀者們分享。

結(jié)合前面2篇專欄提及的逐步調(diào)整(控制變量思路之一)和奇妙的比喻，望能給讀者帶來(lái)對(duì)于控制變量法進(jìn)一步的理解。