默認(rèn)讀者已經(jīng)知道群、群直積、群同態(tài)、阿貝爾群、平凡群、環(huán)的定義。

默認(rèn)以下命題已證明（俗稱(chēng)易得）：命題1、推論2、命題3（1）。

• 命題1? 設(shè)為群同態(tài)，則。

• 推論2? 對(duì)任意兩個(gè)群，一定存在群同態(tài),其中。

• 命題3? 對(duì)任意兩個(gè)群、它們的直積構(gòu)成的群，以及任意阿貝爾群，設(shè)群同態(tài)。

  ?? ? ? ? ? ?(1)存在群同態(tài)，其中;

  ? ? ? ? ??? (2)當(dāng)為環(huán)時(shí)，則不可能都是非平凡群。

顯然，若證明命題3（2），再由為環(huán)（有理數(shù)環(huán)）可知，原命題得證。

現(xiàn)證明命題3（2）。

證明：

因為環(huán)，即必定為阿貝爾群，由命題3（1）可知，則有。

設(shè)，則，有：

則它們的乘積：

又因?yàn)槌朔e，即同樣，使得：。

故存在群同態(tài)，等價(jià)于：

若群都是非平凡群，則必然。

不妨設(shè)，則：，

矛盾。

故不可能都是非平凡群。

證畢。

近來(lái)工作之余，也讀了讀Paolo Aluffi的《Algebra:Chapter 0》，標(biāo)題這個(gè)命題即為該書(shū)第2章第3節(jié)的練習(xí)題3.5（Prove that Q is not the direct product of two nontrivial groups.）中要求證明的。命題1、推論2、命題3（1）也原書(shū)中第2章正文中分別有提到的命題或內(nèi)容相對(duì)應(yīng)，即它們都是解題時(shí)可以用到的工具。至于群、群直積、群同態(tài)、阿貝爾群、平凡群、環(huán)的定義，除了環(huán)的定義還沒(méi)有在第2章第3節(jié)還沒(méi)有涉及外，其他都有涉及。

其中：命題1對(duì)應(yīng)原書(shū)第2章第3節(jié)的Proposition 3.2；推論2固然是命題1的推論，同時(shí)也是在原書(shū)自第1章開(kāi)始的范疇論基礎(chǔ)上必然存在的推論；命題3（1）可以認(rèn)為第2章第3節(jié)的練習(xí)題3.3的解答，同時(shí)在原書(shū)第2章第4節(jié)4.4. Homomorphisms of abelian groups中也有證明的記錄，在表述上算是針對(duì)這里這個(gè)命題的特化版，其證明過(guò)程及所使用條件是完全一致的。

最開(kāi)始，我沒(méi)讀懂這個(gè)題目的意思，于是試著找了下相關(guān)背景材料，從而也有意無(wú)意地接觸到網(wǎng)上流傳的幾個(gè)證明。恕我直言，連“劇透”都不算，稍微好一點(diǎn)的算是隔靴搔癢、南轅北轍，差的甚至離題千里、對(duì)題目理解都有問(wèn)題。那些“證明”里面不約而同都存在的各種配湊小技巧，也實(shí)在是有點(diǎn)令人難以恭維。最重要的是，還擅自給題目加上“子群”之類(lèi)的限定，令人哭笑不得。

因此，寫(xiě)這個(gè)證明的初衷，就是想讓大家看到，這個(gè)題目的證明就是這么簡(jiǎn)單。這個(gè)命題證明的關(guān)鍵在于，環(huán)引入的乘法，特別是乘法的分配律，嚴(yán)重扭曲了原來(lái)群同態(tài)的結(jié)構(gòu)。這才是這個(gè)命題證明的核心所在，也是為什么我會(huì)在標(biāo)題說(shuō)這是“代數(shù)形式證明”的原因。

記于2022年10月8日晚

寒露