本文首發(fā)于2022秋招期間，至今已有近半年的時(shí)間?，F(xiàn)在回看發(fā)現(xiàn)當(dāng)初更新的既不全面也不夠有針對(duì)性，近期將會(huì)多更一些內(nèi)容。

總目錄指路

這里把自己遇到的【數(shù)值策劃】相關(guān)筆試題進(jìn)行總結(jié)和歸納。

題目答案都是網(wǎng)絡(luò)搜集或本人做的，如有錯(cuò)誤，歡迎指出！

長(zhǎng)期更新直至擺爛，目前包含的題目類(lèi)別有：裝備強(qiáng)化、模擬對(duì)戰(zhàn)、抽卡、各種拋的概率、簡(jiǎn)單數(shù)學(xué)邏輯題、行測(cè)中的數(shù)學(xué)題、數(shù)學(xué)難題（涵蓋博弈論、數(shù)列等問(wèn)題）。

目前的更新計(jì)劃：

1. 補(bǔ)充一些有關(guān)裝備強(qiáng)化的具體數(shù)值設(shè)計(jì)方法

2. 補(bǔ)充幾道有代表性的邏輯題

裝備強(qiáng)化問(wèn)題

1. 強(qiáng)化一件橙色稀有裝備,該裝備初始等級(jí)為0級(jí),每強(qiáng)化成功一次+1等級(jí),失敗一次-1等級(jí)(最低為0等級(jí)),+1+2等級(jí)強(qiáng)化概率為100%,+3為70%，+4為65%，+5為50%;計(jì)算強(qiáng)化到+5等級(jí)需要的強(qiáng)化次數(shù)期望

【來(lái)源】https://www.nowcoder.com/questionTerminal/ac6db13ea71742a7a297891f71080054

【解答】

【說(shuō)明】強(qiáng)烈推薦大家用這種解法。注意，一般情況下回退等級(jí)都是1，也就是失敗了降1級(jí)。原因也很簡(jiǎn)單：游戲都是這么做的，如果失敗掉2級(jí)玩家要?dú)⑷说?！此外，公式中?strong>“總期望”其實(shí)指的是表格中的“強(qiáng)化成功的次數(shù)期望”。

9.21 更正

馬爾科夫鏈不適用于部分裝備強(qiáng)化問(wèn)題，因?yàn)檠b備強(qiáng)化是狀態(tài)之間的循環(huán)，馬爾科夫鏈可能不收斂。因此有限次數(shù)能用馬爾科夫，無(wú)限次數(shù)多半不能。具體什么題目能什么不能，后面再補(bǔ)一下。感謝評(píng)論區(qū)老鐵的提醒！原來(lái)寫(xiě)的是在胡說(shuō)了QAQ

模擬對(duì)戰(zhàn)問(wèn)題

1.?有三個(gè)角色ABC，每個(gè)角色有攻防血三種屬性，利用減法公式計(jì)算傷害(傷害=攻擊-防御)。給定其中若干角色的參數(shù)，設(shè)計(jì)剩余的參數(shù)，使得三者構(gòu)成循環(huán)克制關(guān)系。

【來(lái)源】某公司

【解答】

戰(zhàn)斗中，角色1克制角色2就是角色1后于角色2死亡，

即?h1 / (atk2-def1) > hp2 / (atk1-def2)(記為生存時(shí)間不等式)

最終解三個(gè)不等式即可。

【說(shuō)明】

減法公式中的“戰(zhàn)斗力”一般不存在傳遞關(guān)系，即A克制B，B克制C，不能保證A克制C，原因是：生存時(shí)間不等式無(wú)法變形成為一邊只含有自己參數(shù)的形式，但乘法公式可以。這么說(shuō)很抽象，請(qǐng)見(jiàn)下一題。

2. 乘法公式好在何處？

【來(lái)源】題目整合

【解答】

（每個(gè)人都會(huì)有自己的理解，也可以結(jié)合游戲進(jìn)行分析。這里只說(shuō)最突出的、普適的優(yōu)點(diǎn)）

乘法公式，即：傷害 = 攻擊*（1-免傷率），免傷率 = 防御 / (防御+常數(shù)C)

（1）乘法公式下，不會(huì)出現(xiàn)減法公式中不破防的情況，即傷害不會(huì)為0

（2）乘法公式邊際遞減效應(yīng)明顯，收益隨防御力增加而減少（邊際遞減可以簡(jiǎn)單理解為導(dǎo)函數(shù)是減函數(shù)，即二階導(dǎo)數(shù)<0，也即函數(shù)為凹函數(shù)），鼓勵(lì)玩家適度追求防裝

（3）乘法公式下，戰(zhàn)斗力仍然取決于自身屬性。請(qǐng)見(jiàn)下圖

????有人問(wèn)：在數(shù)值公式中，戰(zhàn)斗力的含義是什么呢？最典型的戰(zhàn)斗力的定義滿(mǎn)足兩個(gè)特征

????① 戰(zhàn)斗力高的，能打贏（活得更久）

????② 戰(zhàn)斗前后，戰(zhàn)斗力的差不變。比如打之前前我戰(zhàn)斗力比你高1w，打完了你死了，我就還 ????剩1w的戰(zhàn)斗力。

????仿照之前寫(xiě)的生存時(shí)間不等式，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)：如果A能打贏B，即

不難發(fā)現(xiàn)所謂的生存時(shí)間的比較，其實(shí)就是戰(zhàn)斗力的比較。

（4）乘法公式下，每一點(diǎn)防御力的收益恒定。這點(diǎn)很隱蔽，也有點(diǎn)違背感性認(rèn)識(shí)。但是我們拿戰(zhàn)斗力的公式來(lái)看，不難發(fā)現(xiàn)：在atk,hp不變的情況下，戰(zhàn)斗力和def其實(shí)是成正比的（也就是一個(gè)線(xiàn)性函數(shù)）

抽卡問(wèn)題

1. 優(yōu)惠券收集問(wèn)題（Coupon Collector's Problem）

有M種卡牌，每次從中抽一張，有放回，問(wèn)抽N次能集齊一套的概率？

【來(lái)源】經(jīng)典理論，大量公司基于此題進(jìn)行變化

【解答】

此題其實(shí)是有難度的，網(wǎng)上錯(cuò)解相當(dāng)多，比如直接算無(wú)窮級(jí)數(shù)收斂的。我這里先貼兩個(gè)比較靠譜的參考答案，待徹底搞懂后，拿具體題目來(lái)分享解法。推薦先看第一個(gè)鏈接。

https://www.zhihu.com/question/20426032/answer/1591037133

https://zhuanlan.zhihu.com/p/150899532

各種拋的概率

1. 拋一枚硬幣，假定它正面朝上的概率為p，若連續(xù)k次正面向上即停止，求平均拋擲的次數(shù)？

【來(lái)源】真題一般化

【解答】

先給出結(jié)論

比如說(shuō)，題目給出p=1/2,要求連續(xù)3次正面，那么代入得平均次數(shù)=6

詳細(xì)的證明見(jiàn)如下鏈接。和馬爾科夫一樣，數(shù)學(xué)期望問(wèn)題多到足以單獨(dú)開(kāi)一篇講解。

https://zhuanlan.zhihu.com/p/68358814

2.?不停地拋一枚質(zhì)地均勻的骰子，它的六個(gè)面分別寫(xiě)有0-5，當(dāng)累計(jì)的數(shù)字和大于12時(shí)即停止，問(wèn)最可能出現(xiàn)的數(shù)字和是多少？

3.?A和B各有2個(gè)骰子。A是老賴(lài)，他有一個(gè)骰子6個(gè)面全是6，其余三個(gè)骰子是正常的（6個(gè)面分別寫(xiě)有1-6）。他們每次拋?zhàn)约旱膬蓚€(gè)骰子，點(diǎn)數(shù)和大的贏，一樣算平局。問(wèn)若B輸一次要支付A m 元，那么A輸一次應(yīng)該支付B多少元，才能讓這個(gè)游戲公平？

【來(lái)源】真題

【解答】

（筆試時(shí)看到題目笑出聲來(lái)... ...）

因?yàn)锳是個(gè)老賴(lài)，所以他的點(diǎn)數(shù)和的情況很好算，只能是 7-12 ，而且是等概率的

B的點(diǎn)數(shù)和是經(jīng)典的六面骰點(diǎn)數(shù)和，列個(gè)表出來(lái)如下所示

古典概型，一共只有 6*36=216種情況，可以分類(lèi)枚舉（注意對(duì)角線(xiàn)是分界線(xiàn)），如下

平局不用考慮，160/35=32/7，那么A輸一次應(yīng)該支付32/7 * m 元

數(shù)學(xué)邏輯題

最常見(jiàn)的就是各種推理：誰(shuí)說(shuō)謊了、誰(shuí)是什么職業(yè)... ... 一般都用假設(shè)法解決。就是先把確定的條件羅列完，剩余的不確定的情況，先假設(shè)后驗(yàn)證，有矛盾則不成立。討巧的是，一般這列題目是唯一解，所以如果發(fā)現(xiàn)一個(gè)合理的情況，也不用考慮其他情況了。

行測(cè)中的數(shù)學(xué)題

行測(cè)有很多數(shù)學(xué)題其實(shí)就像腦筋急轉(zhuǎn)彎，私以為很無(wú)聊... ...但是人家既然考，咱也不得不準(zhǔn)備。

1.?有若干根粗細(xì)不均勻的蠟燭，完全燒完一根需要1h，問(wèn)

（1）怎么用這些蠟燭計(jì)時(shí)30min

（2）怎么用這些蠟燭計(jì)時(shí)15min

【來(lái)源】某公司真題

【解答】

（這題還是公務(wù)員考試的名題，沒(méi)想到還拿來(lái)考數(shù)值策劃了...考數(shù)值策劃...）

（1）同時(shí)點(diǎn)燃一根蠟燭的兩端

（2）同時(shí)點(diǎn)燃兩根蠟燭，一根只點(diǎn)燃一端，另一根點(diǎn)燃兩端，那么當(dāng)?shù)诙灎T燒盡的時(shí)候，把第一根蠟燭的另一端也點(diǎn)燃了，它最后燃燒的時(shí)間就是15min。

數(shù)學(xué)難題

這個(gè)板塊是講不完的，只能選一些最典型的講，一般都需要對(duì)特定知識(shí)有了解才會(huì)做。

博弈論相關(guān)

博弈論就夠我單獨(dú)開(kāi)一篇文章了，最?？嫉氖?strong>混合策略納什均衡?？梢院?jiǎn)單理解為：我不會(huì)只用一個(gè)“招法”，我會(huì)換著來(lái)，也就是各種“招法”按一定的概率用。

1.?A和B玩“石頭剪刀布”，為了避免平局的情況，他們約定：如果兩人都出石頭或都出剪刀，則A贏；都出布，則B贏。兩人都足夠聰明，問(wèn)各自的勝率是多少？

【來(lái)源】某公司真題，最早好像是雷火出的

【解答】

容易看出這個(gè)規(guī)則對(duì)于B是不利的，因?yàn)殡p方猜拳共有9種情況，5種A贏4種B贏。假如B有某種策略能讓他獲勝的概率達(dá)到1/2，那么這個(gè)策略對(duì)于B而言就是最優(yōu)的（至少是之一）。

先假定若干參數(shù)，表示玩家雙方出對(duì)應(yīng)拳法的概率。

由于沒(méi)有平局的情況，我們直接算玩家B的勝率

我們驚喜的發(fā)現(xiàn)：當(dāng)q=0,p=1/2時(shí)，不僅B的勝率達(dá)到了1/2，而且此時(shí)無(wú)論A采用什么策略，B的勝率始終都是1/2！

嚴(yán)格意義上說(shuō)，我們還要證明B沒(méi)有更優(yōu)的策略了，但作為一道筆試題，做到這個(gè)地步足矣。

說(shuō)明：這題網(wǎng)上有答案給的是(4/9,5/9)，但我和某位大佬討論一致認(rèn)為應(yīng)該是(1/2,1/2)

高等數(shù)學(xué)相關(guān)

1.?一輛摩托車(chē)攜帶的油量可以走50km，摩托車(chē)之間可以互相加油且無(wú)損耗，問(wèn)至少要幾輛摩托車(chē)，才能走過(guò)100km的路程？

【來(lái)源】某公司真題，非原創(chuàng)

【解答】

說(shuō)兩種方法：

第一種是特殊化解法。

顯然1輛、2輛摩托車(chē)是不夠的。1輛只能走50km，兩輛只能走75km。

如果有3輛摩托車(chē)，我們?nèi)菀紫氲揭环N方法是：各自消耗1/3的油，也就是走了16.7km，然后把其中1輛剩下的油分給另外2輛車(chē)，這樣那2輛車(chē)滿(mǎn)油了。然后可以再走75km，一共走了91.7km。

如果有4輛摩托車(chē)，我們不難想到類(lèi)似的方法：各自消耗1/2的油，也就是走了25km，然后把其中2輛剩下的油分給另外2輛車(chē)，這樣那2輛車(chē)滿(mǎn)油了。然后可以再走75km，一共走了100km，正好夠。

注意，這樣的解法是有風(fēng)險(xiǎn)的：3輛的時(shí)候我們?cè)O(shè)想的方法“差一點(diǎn)”就能走過(guò)100km了，會(huì)不會(huì)有更好的方法呢？我們并不確定，只不過(guò)作為一道題目，我們可以適度地投機(jī)、猜測(cè)。

第二種方法是一般化方法。詳見(jiàn)某乎的鏈接，推導(dǎo)出了一般化的公式

https://zhuanlan.zhihu.com/p/426391878

其結(jié)論為：若有n輛車(chē)，每輛車(chē)油量可行駛M公里，那么總最大里程為

M*(1+1/2+1/3+...+1/n)