有意思的概率與統(tǒng)計(jì)（三）

2023-07-22 16:36 作者:不能吃的大魚 0人讀過 | 我要投稿

感覺上，概統(tǒng)的一篇專欄內(nèi)容好像差不多是微分方程的幾倍哦……

怪事。

明明到現(xiàn)在為止還只是剛開始，為什么要寫的東西這么多??！

算了，繼續(xù)吧。

希望大家看得開心~

Chapter? One? 隨機(jī)事件與概率

1.3? 概率的性質(zhì)

我們?cè)谏弦黄獙诶镆呀?jīng)了解過了概率的公理化定義。知曉了定義之后，我們就有必要依據(jù)定義來對(duì)概率的性質(zhì)進(jìn)行研究。當(dāng)了解了概率的一些基本性質(zhì)之后，我們就能夠?qū)芏嗲蠼飧怕实膯栴}有好的解決辦法。

在公理化定義當(dāng)中，有明確指出：

$P(%5CvarOmega)%3D1$

這樣，我們就會(huì)想到，是不是會(huì)有：

$P(%5Cvarnothing)%3D0$

由于：

$%5CvarOmega%3D%5CvarOmega%20%5Ccup%20%5Cvarnothing%5Ccup%5Cvarnothing%5Ccup%20%5Ccdots$

并且空集所代表的事件和任何事件都互不相容。因此，由可列可加性公理，我們就能得到：

$P(%5CvarOmega)%3DP(%5CvarOmega%20%5Ccup%20%5Cvarnothing%5Ccup%5Cvarnothing%5Ccup%20%5Ccdots)%3DP(%5CvarOmega)%2BP(%5Cvarnothing)%2BP(%5Cvarnothing)%2B%5Ccdots$

于是得到：

$P(%5Cvarnothing)%2BP(%5Cvarnothing)%2B%5Ccdots%3D0$

于是就有：

$P(%5Cvarnothing)%3D0$

顯然，我們的想法是正確的。

利用這一結(jié)論，我們很容易就證明：

有限可加性： $P%5Cbigg(%5Cbigcup_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7D%20A_i%5Cbigg)%3D%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5En%20P(A_i)$

（各事件之間互不相容；證明只需要在可列可加性當(dāng)中，令后無窮多個(gè)事件為不可能事件即可。）

若令其中n=2， $A_1%5Ccup%20A_2%3D%5CvarOmega$ ，則不難得到：

$P(A_2)%3D1-P(A_1)$

此時(shí)，兩個(gè)事件互為對(duì)立事件。因此，我們得到：

對(duì)立事件的概率和為1。

有了有限可加性，我們就可以對(duì)有限個(gè)互不相容事件的概率求和，以得到這些事件的并事件的概率。比如說：

$P(A)%3DP(AB%5Ccup%20A%5Coverline%20B)%3DP(AB)%2BP(A%5Coverline%20B)$

（這是專欄（一）里面的思考，不知道小伙伴們證明過沒有~）

這樣，我們就可以將事件A的概率按事件B分割為兩部分。求得這兩部分之后，就相當(dāng)于是求得了事件A的概率。

如果事件B是事件A的子事件，那么就有AB=B，此時(shí)，等式變?yōu)椋?/p>

$P(A)%3DP(AB%5Ccup%20A%5Coverline%20B)%3DP(B)%2BP(A%5Coverline%20B)$

由非負(fù)性公理，我們能夠得到：

P(A)≥P(B)，當(dāng)事件A包含了事件B時(shí)。

這稱之為概率的單調(diào)性。

同時(shí)，我們也得到了一個(gè)概率公式：

$P(A-B)%3DP(A%5Coverline%20B)%3DP(A)-P(B)$

（當(dāng)事件A包含了事件B時(shí)）

可以說，可列可加性給出了一定條件下（事件之間互不相容）的事件之“和”的概率的計(jì)算方式。但是，對(duì)于更一般的事件組，事件之間通常并不互不相容，而是有所交叉。對(duì)于這樣的事件組，并事件的概率又當(dāng)如何求解呢？

我們先來看兩個(gè)事件的情形。考慮到如下的事件間的運(yùn)算結(jié)果：

$A%5Ccup%20B%3DA%5Ccup%20%5Coverline%20AB$

（這也是專欄（一）中的思考，不知道小伙伴們……額，算了）

于是，由可列可加性，我們得到：

$P(A%5Ccup%20B)%3DP(A%5Ccup%20%5Coverline%20A%20B)%3DP(A)%2BP(%5Coverline%20A%20B)%3DP(A)%2BP(B)-P(AB)$

（這里利用了上一段已經(jīng)提到過的概率公式~）

當(dāng)事件數(shù)目增加到3件時(shí)，結(jié)論又當(dāng)如何呢？

直接計(jì)算，不難得到：

$%5Cbegin%20%7Bequation%7D%0A%5Cbegin%20%7Baligned%7D%0AP(A%5Ccup%20B%5Ccup%20C)%26%3DP%5B(A%5Ccup%20B)%5Ccup%20C%5D%5C%5C%0A%26%3DP(A%5Ccup%20B)%2BP(C)-P%5B(A%5Ccup%20B)C%5D%5C%5C%0A%26%3DP(A)%2BP(B)-P(AB)%2BP(C)-P%5B(AC)%5Ccup(BC)%5D%5C%5C%0A%26%3DP(A)%2BP(B)%2BP(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)%2BP(ABC)%0A%5Cend%20%7Baligned%7D%0A%5Cend%20%7Bequation%7D$

（這里利用了事件運(yùn)算的分配律。）

這樣，我們就很容易歸納出結(jié)論：

對(duì)任意n個(gè)事件 $A_1%2CA_2%2C%5Ccdots%20A_n$ ，有：

$P%5Cbigg(%5Cbigcup_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7D%20A_i%5Cbigg)%3D%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5En%20P(A_i)-%5Csum_%7B1%5Cle%20i%EF%BC%9Cj%5Cle%20n%7D%20P(A_iA_j)%2B%5Csum_%7B1%5Cle%20i%EF%BC%9Cj%EF%BC%9Ck%5Cle%20n%7D%20P(A_iA_jA_k)-%5Ccdots%20%2B(-1)%5E%7Bn-1%7DP(A_1A_2%5Ccdots%20A_n)$

（總結(jié)下來就一句話：奇加偶減。）

同時(shí)，我們也能夠很快地想到一個(gè)合適的證明思路——數(shù)學(xué)歸納法。畢竟，在事件數(shù)為3時(shí)的結(jié)論，我們已經(jīng)用了遞推的方式來推導(dǎo)了，而這正是多數(shù)情況下使用數(shù)學(xué)歸納法證明的關(guān)鍵所在。（證明留給大家當(dāng)作思考~）

如果我們按照公式中的順序，依次將各求和項(xiàng)記為 $S_m$ 。（其中，m是相交的事件數(shù)。）那么我們就可以將公式寫作：

$P%5Cbigg(%5Cbigcup_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7D%20A_i%5Cbigg)%3D%5Csum_%7Bm%3D1%7D%5En%20(-1)%5E%7Bm-1%7DS_m$

其中，每個(gè) $S_m$ 中所含有的概率項(xiàng)數(shù)目為 $%5Ctbinom%7Bn%7D%7Bm%7D$ 。

比如說：

$S_2%3D%5Csum_%7B1%5Cle%20i%EF%BC%9Cj%5Cle%20n%7D%20P(A_iA_j)$ ，其中不同的 $P(A_iA_j)$ 共有 $%5Ctbinom%7Bn%7D%7B2%7D$ 個(gè)。（相當(dāng)于是在n個(gè)事件中選擇兩個(gè)。）

這樣我們就將公式表達(dá)成了一個(gè)便于記憶的形式了。

這個(gè)公式，就稱為概率的加法公式。

由這個(gè)結(jié)論，我們可以得到一個(gè)推論：

（半可加性）

對(duì)任意n個(gè)事件 $A_1%2CA_2%2C%5Ccdots%20A_n$ ，有：

$P%5Cbigg(%5Cbigcup_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7D%20A_i%5Cbigg)%5Cle%20%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5En%20P(A_i)$

最后，我們來研究一下，概率的連續(xù)性。

或許大家會(huì)比較好奇，概率如何定義連續(xù)性呢？

我們回憶一下數(shù)學(xué)分析的知識(shí)。所謂連續(xù)性，是與極限過程高度相關(guān)的。一元函數(shù)的連續(xù)性是指，在變量不斷接近定義域內(nèi)某一點(diǎn)時(shí)，函數(shù)值不斷接近函數(shù)在該點(diǎn)的取值。

（這是簡(jiǎn)易的自然語(yǔ)言敘述，只是為了能讓大家理解并回憶起相關(guān)的內(nèi)容，具體的詳細(xì)定義還是需要大家仔細(xì)掌握~）

由于在概率的定義當(dāng)中，我們實(shí)際上明確指出過，概率是關(guān)于事件的函數(shù)。所以，從這一點(diǎn)來看，我們似乎可以接受“概率的連續(xù)性”這一說法，只要我們找好可以用于評(píng)價(jià)所謂連續(xù)性的變量即可。

概率的變量是事件，這是已經(jīng)寫在定義當(dāng)中的內(nèi)容。（可能沒有很明確地直接寫出，但事實(shí)確實(shí)如此。）因此，不難想到，概率的連續(xù)性，對(duì)應(yīng)的應(yīng)該是事件的極限過程。

我們定義：

（1）對(duì) $%5Cmathscr%20F$ 中任一單調(diào)不減的事件序列：

$F_1%5Csubset%20F_2%5Csubset%20%5Ccdots%20%5Csubset%20F_n%5Csubset%20%5Ccdots$

稱可列并 $%5Cbigcup_%7Bn%3D1%7D%5E%7B%E2%88%9E%7D%20F_n$ 為 $%5C%7BF_n%5C%7D$ 的極限事件，記為：

$%5Clim_%7Bn%5Cto%E2%88%9E%7D%20F_n%3D%20%5Cbigcup_%7Bn%3D1%7D%5E%7B%E2%88%9E%7D%20F_n$

（2）對(duì) $%5Cmathscr%20F$ 中任一單調(diào)不增的事件序列：

$E_1%5Csupset%20E_2%5Csupset%20%5Ccdots%20%5Csupset%20E_n%5Csupset%20%5Ccdots$

稱可列交 $%5Cbigcap_%7Bn%3D1%7D%5E%7B%E2%88%9E%7D%20E_n$ 為 $%5C%7BE_n%5C%7D$ 的極限事件，記為：

$%5Clim_%7Bn%5Cto%E2%88%9E%7D%20E_n%3D%20%5Cbigcap_%7Bn%3D1%7D%5E%7B%E2%88%9E%7D%20E_n$

有了對(duì)于事件的極限過程的定義，我們就可以基于這樣的定義，給出概率的連續(xù)性的定義：

對(duì) $%5Cmathscr%20F$ 上的一個(gè)概率P，

（1）若其對(duì) $%5Cmathscr%20F$ 中任一單調(diào)不減的事件序列 $%5C%7BF_n%5C%7D$ 均成立：

$%5Clim_%7Bn%5Cto%E2%88%9E%7D%20P(F_n)%3D%20P%5Cbigg(%5Clim_%7Bn%5Cto%E2%88%9E%7D%20F_n%5Cbigg)$

則稱概率P是下連續(xù)的；

（2）若其對(duì) $%5Cmathscr%20F$ 中任一單調(diào)不增的事件序列 $%5C%7BE_n%5C%7D$ 均成立：

$%5Clim_%7Bn%5Cto%E2%88%9E%7D%20P(E_n)%3D%20P%5Cbigg(%5Clim_%7Bn%5Cto%E2%88%9E%7D%20E_n%5Cbigg)$

則稱概率P是上連續(xù)的。

有了這幾個(gè)定義，我們接著就會(huì)想到，到底概率是否是連續(xù)的呢？或者說，是否任意概率P都是連續(xù)的呢？

答案是顯然的，我們以上連續(xù)性為例，下連續(xù)性同理。注意到，單調(diào)不減的事件序列的特點(diǎn)是后一事件一定包含了前一事件，因此，利用前面我們推導(dǎo)出的概率公式，有：

$P(F_%7Bn%2B1%7D)%3DP(F_n)%2BP(F_%7Bn%2B1%7D-F_n)%5CLeftrightarrow%20P(F_%7Bn%2B1%7D-F_n)%3DP(F_%7Bn%2B1%7D)-P(F_n)$

不難證明，事件序列 $%5C%7BF_%7Bn%2B1%7D-F_n%5C%7D$ 中的任意兩個(gè)事件之間都是互不相容的。因此，利用可列可加性，我們得到：

$%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%E2%88%9E%20P(F_%7Bi%2B1%7D-F_i)%3DP%5Cbigg%5B%5Cbigcup_%7Bi%3D1%7D%5E%7B%E2%88%9E%7D%20(F_%7Bi%2B1%7D-F_i)%5Cbigg%5D%3D%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%E2%88%9E%20%5BP(F_%7Bi%2B1%7D)-P(F_i)%5D%3D%5Clim_%7Bn%5Cto%E2%88%9E%7D%20%5B%20P(F_%7Bn%2B1%7D)-P(F_1)%5D$

同時(shí)，我們也能證明，事件 $F_1$ 與事件序列 $%5C%7BF_%7Bn%2B1%7D-F_n%5C%7D$ 中的任意事件之間都是互不相容的。從而我們就能夠得到：

$P%5Cbigg%5B%5Cbigcup_%7Bi%3D1%7D%5E%7B%E2%88%9E%7D%20(F_%7Bi%2B1%7D-F_i)%5Cbigg%5D%2BP(F_1)%3D%5Clim_%7Bn%5Cto%E2%88%9E%7D%20%20P(F_%7Bn%2B1%7D)%3DP%5Cbigg%5B%5Cbigcup_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%E2%88%9E%7D%20(F_%7Bi%2B1%7D-F_i)%5Cbigg%5D%5Cquad(F_0%3D%5Cvarnothing)$

由于：

$%5Cbegin%20%7Bequation%7D%0A%5Cbegin%20%7Baligned%7D%0AF_1%26%3DF_1%5C%5C%0AF_2%26%3D(F_2-F_1)%5Ccup%20F_1%5C%5C%0AF_3%26%3D(F_3-F_2)%5Ccup%20F_2%5C%5C%0A%5Ccdots%5C%5C%0AF_%7Bn%2B1%7D%26%3D(F_%7Bn%2B1%7D-F_n)%5Ccup%20F_n%0A%5Cend%20%7Baligned%7D%0A%5Cend%20%7Bequation%7D$

于是，我們就得到：

$%5Cbigcup_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%E2%88%9E%7D%20F_%7Bi%2B1%7D%3D%5Cbigcup_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%E2%88%9E%7D%20(F_%7Bi%2B1%7D-F_i)$

進(jìn)而得到：

$P%5Cbigg(%5Cbigcup_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%E2%88%9E%7D%20F_%7Bi%2B1%7D%5Cbigg)%3DP%5Cbigg%5B%5Cbigcup_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%E2%88%9E%7D%20(F_%7Bi%2B1%7D-F_i)%5Cbigg%5D%3D%5Clim_%7Bn%5Cto%E2%88%9E%7D%20P(F_%7Bn%2B1%7D)$

這說明，概率一定是下連續(xù)的。對(duì)于上連續(xù)性，只要利用對(duì)立事件的概率性質(zhì)以及De Morgen定理即可完成。

概率一定是下連續(xù)且上連續(xù)的，這稱之為概率的連續(xù)性。

在日后我們所面臨的問題當(dāng)中，涉及到概率的連續(xù)性的情況較少。但是，仔細(xì)研究概率的連續(xù)性卻能夠讓我們進(jìn)一步認(rèn)識(shí)概率這一神奇的數(shù)字，從而深化我們對(duì)問題的的看法和理解。

思考：

證明概率的加法公式；
證明概率的半可加性；
證明：

（1）事件序列 $%5C%7BF_%7Bn%2B1%7D-F_n%5C%7D$ 中的任意兩個(gè)事件之間都是互不相容的；

（2）事件 $F_1$ 與事件序列 $%5C%7BF_%7Bn%2B1%7D-F_n%5C%7D$ 中的任意事件之間都是互不相容的；
試回答下列問題：

（1）由概率的可列可加性可以推得有限可加性，反過來是否可以呢？如果可以，試證明；如果不可以，請(qǐng)舉出一個(gè)反例；

（2）嘗試證明概率的上連續(xù)性；

（3）如果將概率的公理化定義中的可列可加性換成有限可加性，那么是否需要補(bǔ)充其他條件才能原定義等價(jià)？需要補(bǔ)充什么？（提示：補(bǔ)充下連續(xù)性。）
（配對(duì)問題）

元旦時(shí)節(jié)，好朋友們會(huì)互相送賀卡來表示祝福和交流友誼?，F(xiàn)在，一群好朋友（一共n個(gè)人）坐在一起，他們準(zhǔn)備玩一個(gè)游戲。他們每個(gè)人都拿出一張自己寫好的賀卡，并將這些賀卡放到面前的桌子上打亂。然后，每個(gè)人隨機(jī)抽一張賀卡（假如說從外表上看不出賀卡是誰(shuí)寫的），現(xiàn)在問：

（1）n=3時(shí)，每個(gè)人都沒有抽到自己的賀卡的可能情況有幾種；

（2）n=5時(shí)，每個(gè)人都沒有抽到自己的賀卡的可能情況有幾種；

（3）對(duì)于任意的n，每個(gè)人都沒有抽到自己的賀卡的可能情況有幾種；

（4）當(dāng)人數(shù)足夠多時(shí)（n→∞），求事件A=“至少有一個(gè)人抽中自己的賀卡”的概率；
設(shè)事件A和事件B互不相容，求以下事件的概率：

（1）A和B至少有一個(gè)發(fā)生；

（2）A和B都發(fā)生；

（3）A發(fā)生但B不發(fā)生；
求以下事件的概率：

（1）從數(shù)字1到9中可重復(fù)地任取n次，n次所取數(shù)字的乘積能被10整除；

（2）擲2n+1次硬幣，正面數(shù)多于反面數(shù)；

（3）一間宿舍有5位同學(xué)，他們之中至少有2個(gè)人的生日是在同一個(gè)月；
證明：

（1）若P(A)=1，則對(duì)任意事件B，有P(AB)=P(B)；

（2）已知事件A，B滿足：

$P(AB)%3DP(%5Coverline%20A%20%5Ccap%20%5Coverline%20B)$

記P(A)=p，求P(B)；

（3）若P(A)=p，P(B)=1-p，則：

$P(AB)%3DP(%5Coverline%20A%20%5Ccap%20%5Coverline%20B)$ ；

（4）對(duì)任意的事件A，B，C，有：

①P(AB)+P(AC)-P(BC)≤P(A)；

②P(AB)+P(AC)+P(BC)≥P(A)+P(B)+P(C)-1；
設(shè)A，B，C是三個(gè)事件，且P(A)=a，P(B)=2a，P(A)=3a，P(AB)=P(AC)=P(BC)=b。證明：a，b≤1/4；
證明：

（1）P(AB)≥P(A)+P(B)-1；

（2）

$P(A_1A_2%5Ccdots%20A_n)%5Cge%20%5Cbigg(%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5En%20P(A_i)%5Cbigg)-(n-1)$

（3）

$%7CP(AB)-P(A)P(B)%7C%5Cle%20%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D%20$