導(dǎo)函數(shù)、導(dǎo)數(shù)和原函數(shù)的一些記錄

函數(shù)是兩個數(shù)集間的映射關(guān)系：

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上圖的f就是映射關(guān)系，或者稱之為函數(shù)關(guān)系式。

現(xiàn)在將數(shù)集A用自變量x表示：

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這時，集合A是實數(shù)R組成的數(shù)集，用{x∈R}表示，在數(shù)集A中的任意的一個x數(shù)值，經(jīng)過f(x)表達式的運算后，都能和數(shù)集B中的某一個y值進行一一對應(yīng)。

比如，當(dāng)函數(shù)表達式f(x)=x+1時：

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這就是函數(shù)關(guān)系，f(x)在本文中稱之為原函數(shù)。

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函數(shù)如果用一個模板表示，就是這樣：

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( ?定義域， 值域， 函數(shù)表達式f ??)

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在這里f(x)就是：

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( 數(shù)集A ， 數(shù)集B， 函數(shù)表達式f(x) ?)

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導(dǎo)函數(shù)也是函數(shù)，它是對原函數(shù)f(x)進行求導(dǎo)之后得出的，用f’(x)表示。

(對函數(shù)f(x)如何求導(dǎo)不在本文之列)

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當(dāng)加入了導(dǎo)函數(shù)后，如圖所示：

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用數(shù)集C表示的導(dǎo)函數(shù)的值，即對數(shù)集A里的其中某一個值，經(jīng)過導(dǎo)函數(shù)f’表達式運算后，都能和數(shù)集C中的某一個數(shù)值進行一一對應(yīng)。

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數(shù)集C中存放是導(dǎo)數(shù)，導(dǎo)數(shù)也是數(shù)值，導(dǎo)數(shù)是由導(dǎo)函數(shù)計算得出。

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導(dǎo)數(shù)的含義就是切線斜率，變化率大，導(dǎo)數(shù)的絕對值就大，變化率小，導(dǎo)數(shù)的絕對值就小。

?常數(shù)不變化，所以導(dǎo)數(shù)是0。

現(xiàn)在將數(shù)集A用自變量x表示：

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數(shù)集A為什么用x∈{函數(shù)定義域}表示呢？因為不同的函數(shù)定義域是不同的，比如反比例函數(shù)的定義域不能等于0，定義域可以理解為坐標(biāo)軸中x點的坐標(biāo)值

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而數(shù)集B，即原函數(shù)f(x)的值，是值域，值域可以理解為坐標(biāo)軸中y點的坐標(biāo)值。

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即集合A和集合B之間的關(guān)系，可以理解為：x坐標(biāo)值經(jīng)過不同的f(x)函數(shù)表達式運算后，得到的y坐標(biāo)值，由于集合A中x坐標(biāo)值有很多，所以也得到了很多的y坐標(biāo)值，然后經(jīng)過很多(x,y)這種點坐標(biāo)表達，連接這些點，就變成了線，從而變成了函數(shù)的圖象。

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簡單的說，是x坐標(biāo)和y坐標(biāo)之間的關(guān)系。

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或者說，原函數(shù)f(x)可以用這樣的組合表達：

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( 點的x坐標(biāo)值 ---> ?函數(shù)表達式f ???---> ??點的y坐標(biāo)值 )

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數(shù)集C和集合A的關(guān)系，是導(dǎo)函數(shù)的關(guān)系，

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集合A中還是x點坐標(biāo)值，經(jīng)過f’(x)函數(shù)表達式運算后，得出不同數(shù)值，這些數(shù)值不再是y坐標(biāo)值

但是因為導(dǎo)數(shù)也是數(shù)，所以數(shù)集C也是數(shù)集。不同的導(dǎo)函數(shù)f’(x)將得出不同的數(shù)值。

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所以，如果知道了一些函數(shù)參數(shù)，求其他參數(shù)，就可以在理論上就有了思路：

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例一：比如，已知x的坐標(biāo)值為x0，求經(jīng)過x0的斜率是多少（即導(dǎo)數(shù)多少）

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第1步：經(jīng)過f(x)表達式運算后，可以得出y坐標(biāo)值

第2步：由原函數(shù)f(x)求導(dǎo)可以得出導(dǎo)函數(shù)f’(x)

第3步：將x=x0帶入f’(x)中， 即f’(x0)，即可求出導(dǎo)數(shù)，導(dǎo)數(shù)就是斜率。

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求出這些之后，又可以可出x=x0處的切線方程：

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圖中藍色①②③，已知x、y和k后，就可以得出y-y0 = k(x-x0)切線方程。

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例二：又比如，知道了原函數(shù)和切線方程，讓求切點。

這時候切線方程里面x坐標(biāo)值并不在原函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)：

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首先函數(shù)三要素是：( ?定義域， 值域， 函數(shù)表達式f ??)

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這里的切點，就是包含在原函數(shù)的定義域和值域中。

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圖中第1步：知道切線方程，就可以知道斜率k了，比如y=2x+1，斜率是2。斜率是導(dǎo)函數(shù)的值域。

圖中第2步：由原函數(shù)f(x)的函數(shù)表達式，就可以知道導(dǎo)函數(shù)f’(x)的函數(shù)表達式，這樣導(dǎo)函數(shù)的函數(shù)表達式f’?就知道了。

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那么剩下的定義域，就可以根據(jù)f’(x) = k，這一個方程就可以解出切點的x坐標(biāo)值。

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切點的y坐標(biāo)值，又可根據(jù)原函數(shù)f(x) = y求出，繼而就可以知道切點坐標(biāo)了。

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在這里的思路，是獲取函數(shù)的三要素之中的兩個，從而求出另外一個：

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這里通過已知導(dǎo)函數(shù)的值域 和 函數(shù)表達式，從而求出定義域，

定義域又是和原函數(shù)相同的，再通過原函數(shù)的表達式，求出值域。

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例三：比如，知道了原函數(shù)和切線方程，但切線方程的斜率k不知道，比如y=kx+1，讓求切點。

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這里的切點同樣是包含在原函數(shù)的定義域和值域中，比如設(shè)為(x0,y0)，這是兩個未知量，再加上切線方程的k，共三個未知量，所以需要三個方程：

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從上到下分別是原函數(shù)、導(dǎo)函數(shù)、切線方程，由于切點都在這三個方程中，所以通過解這個方程組，即可求出切點。

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思路如圖：

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