【閱前提示】本篇出自『數理化自學叢書6677版』，此版叢書是“數理化自學叢書編委會”于1963-1966年陸續(xù)出版，并于1977年正式再版的基礎自學教材，本系列叢書共包含17本，層次大致相當于如今的初高中水平，其最大特點就是可用于“自學”。當然由于本書是大半個世紀前的教材，很多概念已經與如今迥異，因此不建議零基礎學生直接拿來自學。不過這套叢書卻很適合像我這樣已接受過基礎教育但卻很不扎實的學酥重新自修以查漏補缺。另外，黑字是教材原文，彩字是我寫的注解。

【山話嵓語】『數理化自學叢書』其實還有新版，即80年代的改開版，改開版內容較新而且還又增添了25本大學基礎自學內容，直接搞出了一套從初中到大學的一條龍數理化自學教材大系列。不過我依然選擇6677版，首先是因為6677版保留了很多古早知識，讓我終于搞明白了和老工程師交流時遇到的奇特專業(yè)術語和計算模式的來由。另外就是6677版的版權風險極小，即使出版社再版也只會再版80年代改開版。我認為6677版不失為一套不錯的自學教材，不該被埋沒在故紙堆中，是故才打算利用業(yè)余時間，將『數理化自學叢書6677版』上傳成文字版。

第九章物體的平衡

【山話||? 本篇專欄中的力單位達因等于10??牛頓；而老教材中的重量單位公斤，如今是用力單位牛頓表示】??

§9-1物體在共點力作用下的平衡條件

【01】一個物體可以同時受到幾個外力的作用。如果這些外力能使物體獲得加速度，就叫做不平衡的外力；如果不能使物體獲得加速度，就叫做平衡的外力。在平衡外力作用下的物體，稱為處于平衡狀態(tài)。

【02】處于平衡狀態(tài)的物體保持原有的運動狀態(tài)不變，如果它原來是靜止的，就繼續(xù)靜止下去，如果它原來是運動的，就作勻速直線運動或勻速轉動。在實際生活中，我們經常遇到的處于平衡狀態(tài)的物體大多是靜止的。因此，在本章的討論中，我們總以靜止的物體作為研究的對象。但是，所得到的一切結論，對于作勻速直線運動和作勻速轉動的物體同樣適用。

【03】在日常生活中，隨時隨地都要用到有關物體平衡的知識。例如，使用梯子進行空中作業(yè)，就必需掌握有關物體平衡的知識，才能保證安全。如果梯子放得太陡了一些，當人在梯子上進行工作時，就有翻倒的危險（指梯子向外翻）；如果梯子放得太平了一些，當人沿梯子向上爬時，就有滑倒的危險（指梯腳向外滑)。究竟梯子應有多大的傾斜角度才能保證安全呢？那就需要根據具體情況，應用有關物體平衡的知識來進行分析，此外，建筑一所大樓、建造一座橋梁、安裝一部機器、拉一盞電燈、插一根竹竿曬衣服，都要應用有關物體平衡的知識來進行分析，才能知其所以然。

【山語||? 短短一段話，竟令我有醍醐灌頂之感。我學工程力學第一篇靜力學時，經常有解梯子受力的題，但我竟然一直不知道這個題的意義，只是為了解題而解題……】

【04】當一個物體同時受到幾個外力的作用時，如果這些外力的作用線，或它們的延長線交于一點，如圖9·1所示，我們就稱這些力為共點力。

【05】牛頓第二運動定律已經指出，當物體同時受到幾個外力的作用時，如果外力的合力不等于零，它總要獲得加速度，也就是說它不可能處于平衡狀態(tài)。反之，如果物體在幾個外力的作用下處于平衡狀態(tài)（即沒有加速度），那么這些外力的合力就必須為零。所以我們說：

【06】物體在共點力作用下的平衡條件是合力等于零。

【07】合力等于零是共點力平衡的唯一條件，也就是說：只要合力等于零，共點力就一定平衡；如果合力不等于零，共點力就一定不平衡。反過來說：如果物體在共點力的作用下處于平衡狀態(tài)，合力就一定等于零；如果物體在共點力的作用下處于不平衡狀態(tài)，合力就一定不等于零。

【08】合力等于零是共點力平衡的一般原則性的條件，至于如何具體應用這一原則解決實際問題，還要看具體情況來決定?，F在我們只討論以下的兩種特殊情況：

1、兩力平衡

【09】兩力平衡的事例很多。例如：電線吊著的電燈、衣鉤上掛著的衣服、用一只腳立在地面上的人等等，都是兩力平衡的實例。從圖9·2中可以看出，電燈同時受到重力 P 和電線拉力 T 的作用，衣服同時受到重力 P 和衣鉤托力 F 的作用，立著的人同時受到重力 P 和地面托力 N 的作用。

【10】事實證明，在平衡狀態(tài)下，作用在這些物體上的兩個力，不但必須交于一點，而且還必須位于方向相反、大小相等的同一直線上。

【11】圖上所表示的各個物體的位置叫做平衡位置。如果把電燈從它的平衡位置撥動一下，T 和 P 雖然還交于一點，可是不再位于同一直線上，因此就不再處于平衡狀態(tài)。如果把衣服從它的平衡位置撥動一下，F 和?P 就不再位于同一直線上，因此衣服就要轉動。同樣，如果立著的人把身體向左或向右傾斜一下，N 和 P 也就不再位于同一直線上，因此人要跌倒，作用在一個物體上的兩個外力雖然位于同一直線上，如果它們的方向不相反、大小不相等，那么它們的合力就不可能等于零，也就不可能滿足共點力平衡的條件，所以我們說：

【12】兩力平衡的條件是力的大小相等、方向相反并且位于同一直線上。

2、三個共點力平衡

【13】圖9·3表示三個共點力平衡的實際事例。左面一個圖表示用細繩懸掛一只皮球，它同時受到重力 P、繩子的拉力 T 和墻的推力 N 的作用，它們相交于O點。中間一個圖表示用細繩拉電燈，它同時受到重力 P、電線的拉力 T? 和繩子的拉力 T??的作用，它們相交于A點。右面一個圖表示倚在墻上的梯子，它同時受到重力 P、墻的推力 N 和地面的力 F 的作用，它們相交于A點。

【14】為了滿足共點力平衡條件合力等于零，三個力中任何兩個力的合力（參見§6-4力的合成）必須與第三個力平衡。也就是說，三個力中任何兩個力的合力必須與第三個力的大小相等、方向相反并且位于同一直線上，如圖9·4所示。

【15】由于兩個共點力的作用線決定一個平面（兩根相交的直線決定一個平面），并且它們的合力也在這個平面上（平行四邊形的對角線和兩邊同在一個平面上），又由于這個合力與第三個力位于同一直線上，所以這三個共點力必須在同一平面上。所以我們說：

【16】三個共點力平衡的條件是三個力必須在同一平面上，其中任何兩個力的合力與第三個力的大小相等、方向相反并且位于同一直線上。

【17】必須指出：合力等于零已經是共點力平衡的唯一條件，上面所講的一些具體條件，并不是附加出來的額外條件，而是在滿足合力等于零時必然存在的一些現象。這就是說：在兩個力的合力等于零時，它們就必然是大小相等、方向相反并且位于同一直線上，否則它們的合力就決不等于零；在三個共點力的合力等于零時，它們必然是在同一平面上，其中任何兩個力的合力與第三個力大小相等、方向相反并且位于同一直線上，否則它們的合力就決不等于零。

例1.在繞過兩個滑輪的繩子的兩端懸掛兩個物體，一個是15公斤，一個是20公斤，現在要在兩滑輪之間的繩子上懸掛一個物體，而使所有的物體處于平衡狀態(tài)和角α等于90°，如圖9·5所示。試求物體的重量應該是多少？

【解】如圖9·6所示，我們把O點作為受力點，F?、F? 和F? 分別表示三段繩子作用在O點的拉力。在平衡狀態(tài)下，F?=20公斤，F?=15公斤，F?=物體的重量，并且它們的合力等于零。所以，F? 和 F? 的合力 F 必須與F? 的大小相等、方向相反（按理，圖中OF? 的線段應等于OF）。因此，求出F??與 F??的合力F，就可以知道F?的大小了。

????????現在，F??= 20公斤，F??= 15公斤，α=90° 。由于OF?F是一個直角三角形，所以，

????????即物體的重量F?是25公斤。

例2.一個人體重45公斤，用雙手拉著水平的單杠把自己吊起來（圖9·7）。在圖上的三種情形下，兩臂分別成平行、90°和120° 。求在這三種情況下兩臂所受的力各是多少？兩臂用力是接近時大還是分開時大？什么時候最小？

【解】

(1)兩臂平行時。設每一臂中所用的力為 T，則兩臂所用的力為 2T（豎直向上），和豎直向下的重力45公斤方向相反。人不動時，這兩個力的合力等于零，所以 2T－45 = 0， T = 22.5 公斤。

(2)兩臂成90°角時（圖9·8）。設每一臂所用的力為 T，人不動時，三個力 T、T 和 P 保持平衡，因而 T 和 T 的合力 F 的大小等于 P(45公斤)，方向豎直向上。

????????由于∠TOT=90°，三角形OTF是等腰直角三角形，因而∠FOT=45° 。

????????這樣，根據已學到的三角公式，我們就得到 。

(3)兩臂成120°角時（圖9·9）。設每一臂用力 T 。由于三角形OTF是等邊三角形，所以T=F=P=45公斤。

????????從上面求得的答案中可以看到，兩臂平行時所用的力最小，并且隨著兩臂之間的夾角的增大，兩臂所用的力也隨著而增大。

(4)本題也可以這樣來做：假定兩臂作任意角（圖9·10）。由于兩臂所用的力都是 T ，因此，

????????∠FOT = α/2，OD=1/2OF=1/2P，

????????因為∠ODT為90°，∴△ODT是一直角三角形，這樣，我們就立刻得到：，即，? 。

????????(ⅰ)當 α=0，即兩臂平行時，cosα/2=1，。

????????(ⅱ)當α=90°，，。

????????(ⅲ)當α=120°，，。（按理，圖9·8、9·9、9·10中OP的線段都應等于OF）

習題9-1

1、分析(1)放在粗糙斜面上靜止的物體，(2)在河中用勻速度行駛的帆船，它們的受力情況。

2、電線的上端固定在天花板上，下面吊一盞重0.5公斤的電燈。為了調節(jié)室內的照明，用一條水平的繩子將電線拉到和豎直方向成45°角（見附圖）的地位。問電線和水平繩子的拉力分別等于多少？【約0.71公斤，0.5公斤】

3、小孩用繩子拉一玩具在地板上作勻速運動。繩子與地面之間的夾角是60°，小孩加在繩子上的拉力是100克。求玩具在運動時受到的摩擦力?！?0克】

4、如附圖所示，支架上懸掛一個重60公斤的物體，橫梁AB與斜梁BC之間的夾角是60° 。求AB和BC上所受的力?！炯s34.6公斤拉力，約69.3公斤壓力】【山注||? 此處教材用公斤為力的單位，理解意思就行了，如今是決不允許用公斤作力的單位】

5、如附圖所示，支架上懸掛一個重300公斤的物體，∠ABC=30°。求AB和CB所受的力?！?00公斤拉力，約520公斤壓力】【山注||? 此處教材用公斤為力的單位，理解意思就行了，如今是決不允許用公斤作力的單位】