大家好，我是Carl

本篇通過一道面試題，一個(gè)面試場景，來好好分析一下如何求遞歸算法的時(shí)間復(fù)雜度。

相信很多同學(xué)對遞歸算法的時(shí)間復(fù)雜度都很模糊，那么這篇Carl來給大家通透的講一講。

同一道題目，同樣使用遞歸算法，有的同學(xué)會(huì)寫出了O(n)的代碼，有的同學(xué)就寫出了O(logn)的代碼。

這是為什么呢？

如果對遞歸的時(shí)間復(fù)雜度理解的不夠深入的話，就會(huì)這樣！

那么我通過一道簡單的面試題，模擬面試的場景，來帶大家逐步分析遞歸算法的時(shí)間復(fù)雜度，最后找出最優(yōu)解，來看看同樣是遞歸，怎么就寫成了O(n)的代碼。

面試題：求x的n次方

想一下這么簡單的一道題目，代碼應(yīng)該如何寫呢。最直觀的方式應(yīng)該就是，一個(gè)for循環(huán)求出結(jié)果，代碼如下：

int?function1(int?x,?int?n)?{
????int?result?=?1;??//?注意?任何數(shù)的0次方等于1
????for?(int?i?=?0;?i?<?n;?i++)?{
????????result?=?result?*?x;
????}
????return?result;
}


時(shí)間復(fù)雜度為O(n)，此時(shí)面試官會(huì)說，有沒有效率更好的算法呢。

如果此時(shí)沒有思路，不要說：我不會(huì)，我不知道了等等。

可以和面試官探討一下，詢問：“可不可以給點(diǎn)提示”。面試官提示：“考慮一下遞歸算法”。

那么就可以寫出了如下這樣的一個(gè)遞歸的算法，使用遞歸解決了這個(gè)問題。

int?function2(int?x,?int?n)?{
????if?(n?==?0)?{
????????return?1;?//?return?1?同樣是因?yàn)?次方是等于1的
????}
????return?function2(x,?n?-?1)?*?x;
}


面試官問：“那么這個(gè)代碼的時(shí)間復(fù)雜度是多少？”。

一些同學(xué)可能一看到遞歸就想到了O(logn)，其實(shí)并不是這樣，遞歸算法的時(shí)間復(fù)雜度本質(zhì)上是要看:?遞歸的次數(shù) * 每次遞歸中的操作次數(shù)。

那再來看代碼，這里遞歸了幾次呢？

每次n-1，遞歸了n次時(shí)間復(fù)雜度是O(n)，每次進(jìn)行了一個(gè)乘法操作，乘法操作的時(shí)間復(fù)雜度一個(gè)常數(shù)項(xiàng)O(1)，所以這份代碼的時(shí)間復(fù)雜度是 n * 1 = O(n)。

這個(gè)時(shí)間復(fù)雜度就沒有達(dá)到面試官的預(yù)期。于是又寫出了如下的遞歸算法的代碼：

int?function3(int?x,?int?n)?{
????if?(n?==?0)?{
????????return?1;
????}
????if?(n?%?2?==?1)?{
????????return?function3(x,?n?/?2)?*?function3(x,?n?/?2)*x;
????}
????return?function3(x,?n?/?2)?*?function3(x,?n?/?2);
}



面試官看到后微微一笑，問：“這份代碼的時(shí)間復(fù)雜度又是多少呢？” 此刻有些同學(xué)可能要陷入了沉思了。

我們來分析一下，首先看遞歸了多少次呢，可以把遞歸抽象出一顆滿二叉樹。剛剛同學(xué)寫的這個(gè)算法，可以用一顆滿二叉樹來表示（為了方便表示，選擇n為偶數(shù)16），如圖：

當(dāng)前這顆二叉樹就是求x的n次方，n為16的情況，n為16的時(shí)候，進(jìn)行了多少次乘法運(yùn)算呢？

這棵樹上每一個(gè)節(jié)點(diǎn)就代表著一次遞歸并進(jìn)行了一次相乘操作，所以進(jìn)行了多少次遞歸的話，就是看這棵樹上有多少個(gè)節(jié)點(diǎn)。

熟悉二叉樹話應(yīng)該知道如何求滿二叉樹節(jié)點(diǎn)數(shù)量，這顆滿二叉樹的節(jié)點(diǎn)數(shù)量就是2^3 + 2^2 + 2^1 + 2^0 = 15，可以發(fā)現(xiàn)：這其實(shí)是等比數(shù)列的求和公式，這個(gè)結(jié)論在二叉樹相關(guān)的面試題里也經(jīng)常出現(xiàn)。

這么如果是求x的n次方，這個(gè)遞歸樹有多少個(gè)節(jié)點(diǎn)呢，如下圖所示：(m為深度，從0開始)

時(shí)間復(fù)雜度忽略掉常數(shù)項(xiàng)-1之后，這個(gè)遞歸算法的時(shí)間復(fù)雜度依然是O(n)。對，你沒看錯(cuò)，依然是O(n)的時(shí)間復(fù)雜度！

此時(shí)面試官就會(huì)說：“這個(gè)遞歸的算法依然還是O(n)啊”， 很明顯沒有達(dá)到面試官的預(yù)期。

那么O(logn)的遞歸算法應(yīng)該怎么寫呢？

想一想剛剛給出的那份遞歸算法的代碼，是不是有哪里比較冗余呢，其實(shí)有重復(fù)計(jì)算的部分。

于是又寫出如下遞歸算法的代碼：

int?function4(int?x,?int?n)?{
????if?(n?==?0)?{
????????return?1;
????}
????int?t?=?function4(x,?n?/?2);//?這里相對于function3，是把這個(gè)遞歸操作抽取出來
????if?(n?%?2?==?1)?{
????????return?t?*?t?*?x;
????}
????return?t?*?t;
}


再來看一下現(xiàn)在這份代碼時(shí)間復(fù)雜度是多少呢？

依然還是看他遞歸了多少次，可以看到這里僅僅有一個(gè)遞歸調(diào)用，且每次都是n/2 ，所以這里我們一共調(diào)用了log以2為底n的對數(shù)次。

每次遞歸了做都是一次乘法操作，這也是一個(gè)常數(shù)項(xiàng)的操作，那么這個(gè)遞歸算法的時(shí)間復(fù)雜度才是真正的O(logn)。

此時(shí)大家最后寫出了這樣的代碼并且將時(shí)間復(fù)雜度分析的非常清晰，相信面試官是比較滿意的。

總結(jié)

對于遞歸的時(shí)間復(fù)雜度，畢竟初學(xué)者有時(shí)候會(huì)迷糊，刷過很多題的老手依然迷糊。

本篇我用一道非常簡單的面試題目：求x的n次方，來逐步分析遞歸算法的時(shí)間復(fù)雜度，注意不要一看到遞歸就想到了O(logn)！

同樣使用遞歸，有的同學(xué)可以寫出O(logn)的代碼，有的同學(xué)還可以寫出O(n)的代碼。

對于function3 這樣的遞歸實(shí)現(xiàn)，很容易讓人感覺這是O(logn)的時(shí)間復(fù)雜度，其實(shí)這是O(n)的算法！

int?function3(int?x,?int?n)?{
????if?(n?==?0)?{
????????return?1;
????}
????if?(n?%?2?==?1)?{
????????return?function3(x,?n?/?2)?*?function3(x,?n?/?2)*x;
????}
????return?function3(x,?n?/?2)?*?function3(x,?n?/?2);
}


可以看出這道題目非常簡單，但是又很考究算法的功底，特別是對遞歸的理解，這也是我面試別人的時(shí)候用過的一道題，所以整個(gè)情景我才寫的如此逼真，哈哈。

大廠面試的時(shí)候最喜歡用“簡單題”來考察候選人的算法功底，注意這里的“簡單題”可并不一定真的簡單哦！

如果認(rèn)真讀完本篇，相信大家對遞歸算法的有一個(gè)新的認(rèn)識的，同一道題目，同樣是遞歸，效率可是不一樣的！

Hello，我是Carl，哈工大師兄，獲得過ACM亞洲區(qū)獎(jiǎng)牌，先后在BAT中的兩家采坑，一位文舞雙全的程序員。

我的刷題攻略開源在Github上：https://github.com/youngyangyang04/leetcode-master，循序漸進(jìn)的刷題循序，詳細(xì)的題目講解，支持C++，Java，Python，Go，JS等多門語言版本，相信你會(huì)發(fā)現(xiàn)詳見恨晚！

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