今天我們來看看在初等量子力學(xué)與高等量子力學(xué)中的薛定諤方程

它是將物質(zhì)波的概念和波動方程相結(jié)合建立的二階偏微分方程，可描述微觀粒子的運動，每個微觀系統(tǒng)都有一個相應(yīng)的薛定諤方程式，通過解方程可得到波函數(shù)的具體形式以及對應(yīng)的能量，從而了解微觀系統(tǒng)的性質(zhì)。薛定諤方程表明量子力學(xué)中，粒子以概率的方式出現(xiàn)，具有不確定性，宏觀尺度下失效可忽略不計。

這是某百科上給出的定義，有數(shù)學(xué)本質(zhì)，也有物理內(nèi)涵。

所以先讓我們來看一下薛定諤方程吧：

這是一般情況下含時的薛定諤方程，是表示求二階偏導(dǎo)數(shù)，V是勢能函數(shù)，是波函數(shù)。

那么波函數(shù)在干什么？給出定義：

波函數(shù)是量子力學(xué)中描寫微觀系統(tǒng)狀態(tài)的函數(shù)

即量子力學(xué)第一基本假設(shè)：“對于一個微觀體系，他的任何一個狀態(tài)都可以用一個坐標(biāo)和時間的連續(xù)、單值、平方可積的函數(shù)Ψ來描述。Ψ是體系的狀態(tài)函數(shù)，它是所有粒子的坐標(biāo)函數(shù)，也是時間函數(shù)?！倍淠Ｆ椒??具有很重要的意義，在統(tǒng)計學(xué)上它表示粒子在空間某一點的概率；在物理上有意義的波函數(shù)需要滿足? 全空間內(nèi)所有粒子出現(xiàn)的概率和一定為1，不為其他值，這是很好理解的。此外還可以從數(shù)學(xué)上收斂級數(shù)來分析其性質(zhì)——連續(xù)的函數(shù)在每個空間微元之和就是定積分，積分值為1，是收斂的；而離散的函數(shù)（數(shù)列）在每個點的值之和就是級數(shù)的和。因此不難理解為什么波函數(shù)在無窮遠(yuǎn)處的值是收斂且為0的，這一點在某些題目中是很有用的隱藏條件。

而一束粒子，類似電動力學(xué)中的電流，都是滿足概率守恒的：

波函數(shù)的那些事，我們會在以后討論，目前應(yīng)該把主要目光集中在薛定諤方程上。

薛定諤方程可以通過如下操作得出：

對于初等量子力學(xué)，我們并不需要在含時問題上糾結(jié)太多，因為我們面對的都是定態(tài)問題；定態(tài)問題用最樸素的語言描述就是“演化過程與時間無關(guān)，題目中可以不考慮時間的影響”。所以我們不妨認(rèn)為?你可以argue說這是極為特殊的情形，這不假，但是僅在“量子算學(xué)”的大環(huán)境下完全成立（即默認(rèn)“量子算學(xué)”里面波函數(shù)都是可以做分離變量處理的）

我們將這樣的波函數(shù)代入上式并進(jìn)行化簡（左邊對時間求偏導(dǎo)，右邊的偏導(dǎo)數(shù)則是對r求導(dǎo)）

可以得到兩個方程（為了方便進(jìn)行，我們令其等于E）

?① ? ? ? ? ? ? ??? ②

①式表明時間函數(shù)可以通過積分得到，形式為??③

②式進(jìn)行移項后就可以得到在量子算學(xué)中最常出現(xiàn)的定態(tài)薛定諤方程，可以解

形式為? ④

對于量子算學(xué)，掌握這些常見的定態(tài)薛定諤方程題型是很有必要的，現(xiàn)總結(jié)如下：

（給出關(guān)于波函數(shù)形式取法的技巧）

Ⅰ 一維無限深方勢阱（One-dimensional infinitely deep square potential well）

也就是把④式的V=0然后再計算，常用技巧是取

然后利用波函數(shù)在x=0和x=a處為0的邊界條件確定k的值（sinka=0）

Ⅱ?一維無限勢（One-dimensional?infinite potential）

經(jīng)常出現(xiàn)的是δ函數(shù)勢，看似不友好的外表本質(zhì)也很簡單：

你可以不科學(xué)地認(rèn)為這個勢函數(shù)是偶函數(shù)，只是因為它畫的對稱；而事實證明如果給出奇函數(shù)的解那一定是不存在的，因為這個形式下取得的波函數(shù)解是形如的，而這樣的函數(shù)在x=0處一定不為0。所以這時候波函數(shù)解的形式為定義?不過你可以不記這個公式而現(xiàn)場手算（笑）

Ⅲ 一維有限勢（One-dimensional finite potential）

這里一般是計算量最為恐怖的勢磊貫穿題目，我也懶得死記硬背公式，一般都是現(xiàn)場推導(dǎo)這個四元一次方程組（如果有這種題目）希望大家都能手算幾十遍，做到過程爛熟于心吧~給個曾謹(jǐn)言量子力學(xué)第四版的例題：

所以一維問題最考驗物理人的計算能力（笑）

然后是有限勢阱問題，這個則需要利用到高中解隱零點的套路，也不難。

照理說，下面的步驟就是利用波函數(shù)以及波函數(shù)一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)性確定k的值，但是如何來定函數(shù)的形式呢？為此我們需要引入一個新的概念，也可以作為后面的解題技巧

宇稱

我并不打算細(xì)講什么是宇稱，我只是想說這是曾謹(jǐn)言量子力學(xué)書上的一個知識點，用已知的語言總結(jié)起來就是“勢場的奇偶性與波函數(shù)的奇偶性相同”。所以下面的推導(dǎo)就好懂多了：

?超越方程，萬能的、最為直觀的解法就是畫圖

Ⅳ? 一維諧振子問題（One-dimensional harmonic oscillator）

堪稱是初學(xué)者殺手，與前幾個常數(shù)勢的類型大不一樣，同時引進(jìn)了新的數(shù)學(xué)知識，記憶和推導(dǎo)難度都是直線上升。這里不建議看Griffith的《量子力學(xué)概論》，因為格里菲斯會優(yōu)先用算符理論推導(dǎo)，而不是常規(guī)的解方程。

將曾謹(jǐn)言量子力學(xué)的過程粘過來~

這種方程的基本解法是：先利用邊界條件進(jìn)行試探，試探解重新代入原方程然后重新求解（類似于分離變量法解微分方程）厄米多項式顯然是關(guān)鍵，可以自行查閱《數(shù)學(xué)物理方法》。

無量綱化的參數(shù)引入也是很有必要的，使得方程變得清晰、簡潔。

當(dāng)然你可以直接記結(jié)論

狄拉克在后面運用漂亮的算子代數(shù)讓形式變得簡潔，不過算符理論是soon后才會講解的。

你也會在諧振子的題型中看到這種奇奇怪怪的方程：

但是我們的諧振子勢能函數(shù)卻是?這是不是做不出來呢？

這時候需要利用一個萬能的線性變換：

你可以自行驗證變換后的與變換前的關(guān)系，一般是相等的。

這些是初等量子力學(xué)（量子算學(xué)）中一維問題的匯總，在這里薛定諤方程已經(jīng)被我們用的滾瓜爛熟。后面會繼續(xù)講高維形式下的薛定諤方程（量子算學(xué)中的氫原子問題）高等量子力學(xué)的高視角還未到來，但是我相信諸位和我一樣再期待著它。這篇文章且當(dāng)是題型總結(jié)的復(fù)習(xí)與熱身。