預備知識：

1. 公式：（axb）^2+（ab）^2=a^2b^2；

2. 雙重向量積：給定空間三向量，先作其中兩個向量的向量積，再作所得向量與第三個向量的向量積，那么最后的結果仍然是一向量，叫做所給三向量的雙重向量積。例如（axb）xc就是三向量a，b，c的一個雙重向量積；

3. 性質：（axb）xc是和a，b共面且垂直于c的向量；

4. （axb）xc=（ac）b-（bc）a；

5. 拉格朗日恒等式：（axb）（a'xb'）=（aa'）（bb'）-（ab'）（ba'）；

6. （axb）x（a'xb'）=（a，b，b'）a'-（a，b，a'）b'=（a，a'，b'）b-（b，a'，b'）a；

7. （axb，cxd，exf）=（a，b，d）（c，e，f）-（a，b，c）（d，e，f）.
   

8. 矩陣乘法運算律——
   

   a.結合律：（AB）C=A（BC）

   b.左分配律：A（B+C）=AB+AC

   c.右分配律：（B+C）D=BD+CD

   d.若A是n級矩陣，單位矩陣為E，則有：AE=EA=A

   e.矩陣乘法與數量乘法滿足：k（AB）=（kA）B=A（kB）

   f.可逆方陣：設A為n階方陣，若存在n階方陣B，使AB=BA=E，則稱B為A的逆方陣，而稱A為可逆方陣。

9. 矩陣A可逆的充要條件：|A|不為0——|A|為矩陣A對應的行列式。

10. 矩陣對應行列式滿足：|AB|=|A||B|；

11. 設A與B都是數域K上的n級矩陣，如果AB=E，那么A與B都是可逆矩陣，并且A^（-1）=B，B^（-1）=A。

12. A的伴隨矩陣A*滿足：A*=|A|A^（-1）

13. E（i，j）為單位矩陣i，j行對調——
    

    方陣A可逆，A對調i，j行成B矩陣：B=E（i，j）A

    方陣A可逆，A對調i，j列成B矩陣：B=AE（i，j）

14. 矩陣的轉置：把n級矩陣A的行與列互換得到的矩陣稱為A的轉置，記作A'，|A'|=|A|。

15. 定義：設A為方陣，若A'=A，則稱A為對稱矩陣，若A'=-A，則稱A為反/斜對稱矩陣。

16. 定義：如果AB=BA，則稱A與B可交換。

17. 矩陣轉置運算律——

    （A+B）'=A'+B'

    （kA）'=kA'

    （AB）'=B'A'

18. 定理：如果A可逆，那么A'也可逆，并且（A'）^（-1）=（A^（-1））'。

參考資料：

1. 《數學分析》（華東師范大學數學系?編）

2. 《空間解析幾何》（高紅鑄?王敬蹇 傅若男 編著）

3. 《高等代數題解精粹》（錢吉林?編著）

數學分析——

例題（來自《數學分析（華東師范大學數學系?編）》）——

求下述極限：lim（1/2+1/2^2+……+1/2^n）/（1/3+1/3^2+……+1/3^n）.

解：

1. （1/2+1/2^2+……+1/2^n）/（1/3+1/3^2+……+1/3^n）

   =[（1-1/2^n）/2（1-1/2）]/[（1-1/3^n）/3（1-1/3）]

   =2（1-1/2^n）/（1-1/3^n）；

2. lim（1/2+1/2^2+……+1/2^n）/（1/3+1/3^2+……+1/3^n）

   =lim[2（1-1/2^n）/（1-1/3^n）]=2.

解析幾何——

例題（來自《空間解析幾何（高紅鑄 王敬蹇 傅若男 編著）》）——

若e1，e2，e3是兩兩垂直的組成右手系的單位向量，試證（e1，e2，e3）=1.

證：

1. （e1，e2，e3）

   =（e1xe2）e3

   =e3e3

   =1.

高等代數——

例題（來自《高等代數題解精粹（錢吉林?編著）》）——

設A為n階非零矩陣，E為n階單位矩陣.若A^3=0，求證：E-A可逆，E+A可逆。

證：

1. （E-A）（E+A+A^2）=E-A^3=E，E-A可逆，（E-A）^（-1）=（E+A+A^2）；

2. （E+A）（E-A+A^2）=E+A^3=E，E+A可逆，（E+A）^（-1）=（E-A+A^2）.

到這里！