最近，電視劇《隱秘的角落》熱播，劇中的天才殺人犯、數(shù)學(xué)老師張東升給學(xué)生們講了一個(gè)心形曲線的故事。

你聽說過這個(gè)故事嗎？它是真是假？心形曲線到底是怎么畫出來(lái)的？今天我們就來(lái)給大家介紹一下。

1? 美麗的愛情故事

在十七世紀(jì)中葉，法國(guó)正在流行黑死病，50多歲的著名數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、哲學(xué)家笛卡爾逃離了法國(guó)，流落到瑞典街頭要飯。有一天，他邂逅了上街游玩的年輕的瑞典公主克里斯蒂娜。經(jīng)過交談，克里斯蒂娜對(duì)才華橫溢的笛卡爾仰慕萬(wàn)分，就把他回皇宮，當(dāng)自己的數(shù)學(xué)老師。在日復(fù)一日的討論中，公主對(duì)笛卡爾的感情從仰慕變成了愛慕。

很快，他們之間的感情被國(guó)王發(fā)現(xiàn)了，國(guó)王非常憤怒，下令要處死笛卡爾，在公主的苦苦哀求下，笛卡爾才逃過了死刑，被驅(qū)逐出瑞典，回到了法國(guó)。

笛卡爾回到法國(guó)后，日夜思念公主，他把自己的思念寫在一封封信上寄給了公主，可是公主從來(lái)沒有回信，因?yàn)榈芽査械男哦急粐?guó)王攔截了。相思之苦讓笛卡爾身染重病，在彌留之際他給公主寫了最后一封信，這封信里只有一行字：

r=a(1-sinθ)

這封信也到了瑞典國(guó)王手里，但是國(guó)王看不懂這封信的意思，找手下的大臣，也沒有一個(gè)人看得懂。國(guó)王覺得這可能只是一個(gè)數(shù)學(xué)問題，于是就沒有阻攔它，把它交到了公主手里。公主拿到信之后非常開心，因?yàn)檫@正是笛卡爾教給她的解析幾何！原來(lái)，這是一個(gè)幾何圖形的代數(shù)表達(dá)式，畫出來(lái)的樣子是這樣的。

等她的父親去世，公主成為了女王，她立刻來(lái)到法國(guó)尋找笛卡爾。只可惜，那個(gè)時(shí)候笛卡爾已經(jīng)去世了。這個(gè)故事還被某礦泉水拍成了非常唯美的廣告，相信大家都一定看過。

2? 故事是真是假？

據(jù)考證，上面那個(gè)凄美的故事，并不是真的。

克里斯蒂娜女王生于1626年，在6歲的時(shí)候就已經(jīng)繼承了王位，到18歲就開始了實(shí)際的統(tǒng)治。她被認(rèn)為是那個(gè)年代最博聞廣識(shí)的女性，在她喜愛書籍、繪畫、和雕塑，對(duì)宗教、哲學(xué)、數(shù)學(xué)、和煉金術(shù)也有濃厚的興趣。她吸引了一大批科學(xué)家，想要讓斯德哥爾摩成為“北方雅典”。

在她年輕的時(shí)候，經(jīng)常與法國(guó)駐瑞典大使討論哲學(xué)，而笛卡爾是當(dāng)時(shí)法國(guó)最有名的哲學(xué)家。出于對(duì)對(duì)笛卡爾的崇拜，克里斯蒂娜邀請(qǐng)笛卡爾來(lái)瑞典。在1649年10月，笛卡爾應(yīng)邀來(lái)到了瑞典，此時(shí)笛卡爾53歲，女王23歲，女王的父親早已經(jīng)去世了，如果他們真的戀愛了，沒有人能夠阻止他們。

由于女王每天早上5點(diǎn)就起床了，笛卡爾也按照女王的時(shí)間，在早上5點(diǎn)到王宮的圖書館同女王討論哲學(xué)。瑞典處于北歐，冬天異常寒冷。幾個(gè)月后，笛卡爾患上了肺炎，1650年2月，笛卡爾因肺炎在瑞典去世。對(duì)他的去世，克里斯蒂娜女王表示非常內(nèi)疚。

也許，后人之所以演繹出這個(gè)故事，是因?yàn)?strong>偉大的哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家笛卡爾終生未婚，聰明高貴的克里斯蒂娜女王也終生未婚，最后，笛卡爾還因女王的邀請(qǐng)而去世，這多多少少會(huì)讓人浮想聯(lián)翩吧。

3? 笛卡兒是個(gè)什么樣的人

笛卡爾是著名的數(shù)學(xué)家，他對(duì)數(shù)學(xué)最重要的貢獻(xiàn)就是發(fā)明了解析幾何——一種可以把代數(shù)和幾何緊密聯(lián)系在一起的數(shù)學(xué)分支。我們通常把直角坐標(biāo)系叫做笛卡爾坐標(biāo)系，它可以用一組坐標(biāo)來(lái)表示一個(gè)點(diǎn)的位置。

以二維笛卡爾坐標(biāo)系為例：它由x軸和y軸組成，每一個(gè)點(diǎn)都可以用一對(duì)坐標(biāo)(x,y)來(lái)表示，對(duì)應(yīng)了這個(gè)點(diǎn)在x軸和y軸上的投影。一個(gè)解析表達(dá)式描述了x和y之間的一個(gè)關(guān)系（代數(shù)），滿足這個(gè)關(guān)系的點(diǎn)又可以在坐標(biāo)平面上畫出（幾何），這樣就實(shí)現(xiàn)了代數(shù)和幾何的聯(lián)系。

比如，我在圖中畫出了三個(gè)解析式的圖像，它分別對(duì)應(yīng)了兩條曲線和一個(gè)圓。

在幾何圖形上，我們可以看出：藍(lán)色的直線和紅色的直線相交，交點(diǎn)是A點(diǎn)，它的坐標(biāo)是A（5，5），這就代表了下面的方程組的解：

我們同樣會(huì)發(fā)現(xiàn)，圓形和紅色直線不相交，這代表下屬方程組無(wú)解：

笛卡爾不光是一個(gè)數(shù)學(xué)家，也是一個(gè)物理學(xué)家和哲學(xué)家。他第一個(gè)提出：如果物體不受到任何外力的作用，它將會(huì)保持勻速直線運(yùn)動(dòng)，這幾乎已經(jīng)準(zhǔn)確的表述了牛頓第一定律。在他之前的科學(xué)巨匠伽利略的觀點(diǎn)是：物體的慣性運(yùn)動(dòng)是勻速圓周運(yùn)動(dòng)，因?yàn)樵跊]有發(fā)現(xiàn)萬(wàn)有引力的情況下，很容易把天體圍繞太陽(yáng)的運(yùn)動(dòng)看作是一種慣性運(yùn)動(dòng)。顯然，伽利略的說法并不準(zhǔn)確。

笛卡爾認(rèn)為：理性的思考比感覺更可靠。比如，我們?nèi)绾文軈^(qū)分聽到、看到了真實(shí)的東西，還是我們?cè)趬?mèng)中產(chǎn)生了這種感覺呢？人無(wú)法完全區(qū)分睡夢(mèng)的經(jīng)驗(yàn)與清醒的經(jīng)驗(yàn)。所以，感覺是可以被懷疑的，我們唯一不能懷疑的是我們正在懷疑這件事。由此，他得出了名言：我思故我在。

他還在著作中提出了四條思考的規(guī)則：

• 凡是我沒有明確地認(rèn)識(shí)到的東西，我絕不把它當(dāng)成真的接受。

• 把我所審查的每一個(gè)難題按照可能和必要的程度分成若干部分，以便一一妥為解決。

• 按次序進(jìn)行我的思考，從最簡(jiǎn)單、最容易認(rèn)識(shí)的對(duì)象開始，一點(diǎn)一點(diǎn)逐步上升，直到認(rèn)識(shí)最復(fù)雜的對(duì)象。

• 在任何情況之下，都要盡量全面地考察，盡量普遍地復(fù)查，做到確信毫無(wú)遺漏。

笛卡爾的思想深刻的影響了歐洲幾代人，他是當(dāng)之無(wú)愧的近代西方哲學(xué)創(chuàng)始人之一。

4? 心形曲線

說了這么多，我們還是來(lái)談?wù)勛畛醯膯栴}吧——心形曲線。盡管笛卡爾非常偉大，但是心形曲線貌似還真不是笛卡爾提出的。因?yàn)閷懗鲂男吻€使用的坐標(biāo)系并非直角坐標(biāo)系，而是極坐標(biāo)系，這個(gè)坐標(biāo)系到了后來(lái)的牛頓時(shí)代才為科學(xué)界熟知。

極坐標(biāo)系的意思是：將平面內(nèi)任何一個(gè)點(diǎn)與原點(diǎn)連線，這個(gè)線段的長(zhǎng)度叫做極徑r；極徑與水平向右的方向還有一個(gè)夾角θ，稱之為極角。只要給定一個(gè)點(diǎn)，我總能找到一個(gè)極徑r和極角θ，反之亦然，所以就可以用(r, θ)來(lái)表示坐標(biāo)平面上的一個(gè)點(diǎn)了。

顯然，這種表示的方法與笛卡爾的直角坐標(biāo)系是不一樣的。極坐標(biāo)方程并不表示某個(gè)點(diǎn)橫縱坐標(biāo)x與y的關(guān)系，而是表示極徑r和極角θ之間的關(guān)系。有些幾何圖形，用極坐標(biāo)系表示起來(lái)非常方便。

比如半徑為1的圓形：r=1

玫瑰線：r=2sin(4θ)?

阿基米德螺旋：r=0.1θ

以及，著名的心形線：r=a(1-sinθ)

我們把心形曲線和劇中情景對(duì)比一下：

你會(huì)發(fā)現(xiàn)幾個(gè)問題：

• 首先，張東升寫出的心形曲線解析式是極坐標(biāo)公式，劇中卻在兩個(gè)坐標(biāo)軸上寫出了x和y，這意思顯然是直角坐標(biāo)而非極坐標(biāo)。

• 其次，這顆心中間凹進(jìn)去的部分應(yīng)該是通過原點(diǎn)的，劇中卻沒有畫出通過原點(diǎn)，也算一個(gè)小bug吧。

這部劇其實(shí)我還沒有看，但是身邊有好多朋友給我推薦了。還有人跟我說：看了這部劇之后恐慌了，難道高智商的人更容易變態(tài)么？下一回我們就來(lái)討論一下這個(gè)話題。

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