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原文出處：拓端數(shù)據(jù)部落公眾號

至少有兩種非平穩(wěn)時間序列：具有趨勢的時間序列和具有單位根的時間序列（稱為單整時間序列）。單位根檢驗不能用來評估時間序列是否平穩(wěn)。它們只能檢測單整時間序列。季節(jié)性單位根也是如此。

這里考慮月平均溫度數(shù)據(jù)。

1. > mon=read.table("temp.txt")

2. 


3. > plot(mon)

現(xiàn)在，我們可以計算所有年份的三個不同平穩(wěn)性檢驗的p值

1. for(y in 1955:2013){

2. Temp[which(Year==y)]

3. as.numeric(pp.test(Zc)$p.value)

4. as.numeric(kpss.test(Zc)$p.value)

5. as.numeric(adf.test(Zc)$p.value)

從圖像上看，如果紅色表示非平穩(wěn)，藍色表示平穩(wěn)，我們得到

polygon(y,col=CL[1+(D[y-1954,i]==1)*5],border=NA)}}

可以看到大部分序列在5%顯著性水平下無法拒絕原檢驗說明序列非平穩(wěn)。

冬天和夏天的溫度是完全不同的。我們可以來可視化：

1. 


2. > plot(month,(tsm))

3. > lines(1:12,apply(M,2,mean

或者

? plot(tsm)

> 3D(tsm)

看起來我們的時間序列是周期性的，因為每年都是季節(jié)性的。自相關(guān)函數(shù)：

現(xiàn)在的問題是有季節(jié)性單位根嗎?這說明我們的模型應(yīng)該是

如果我們忘記了自回歸和移動平均分量，我們可以估計

如果有季節(jié)性單位根，那么應(yīng)該接近1。

1. 


2. arima(x = tsm, order = c(0, 0, 0), seasonal = list(order = c(1, 0, 0), period = 12))

3. 


4. Coefficients:

5. sar1 ?intercept

6. 0.9702 ? ? 6.4566

7. s.e. ?0.0071 ? ? 2.1515

和1差不多。實際上，它不能太接近1。如果是的話，我們會收到一條錯誤信息…
為了說明模型，讓我們考慮季度溫度，

sp(1:4,N,theta=-50,col="yellow",shade=TRUE,

VAR季度溫度模型

VAR模型描述在同一樣本期間內(nèi)的n個變量（內(nèi)生變量）可以作為它們過去值的線性函數(shù)。

一個VAR(p)模型可以寫成為：

其中：c是n?×?1常數(shù)向量，Ai是n?×?n矩陣。et是n?×?1誤差向量，滿足：

1. ?—誤差項的均值為0

1. ?—誤差項的協(xié)方差矩陣為Ω（一個n?× 'n正定矩陣）

1. ?（對于所有不為0的k都滿足）—誤差項不存在自相關(guān)

其中A是4X4矩陣。這個模型很容易估計

model=VAR(df)

矩陣A在這里

1. > A=rbind(

2. + coefficients(varresult$y1)[1:4],

3. + coefficients(varresult$y2)[1:4],

4. + coefficients(varresult$y3)[1:4],

5. + coefficients(varresult$y4)[1:4])

6. 


由于這個多時間序列的平穩(wěn)性與這個矩陣的特征值密切相關(guān)，我們來看一下，

1. > eigen(A)

2. [1] ?0.35834830 -0.32824657 -0.14042175 ?0.09105836

3. > Mod(eigen(A)

4. [1] 0.35834830 0.32824657 0.14042175 0.09105836

周期自回歸(PAR)模型

看起來這里不存在平穩(wěn)性問題。有限制的模型稱為周期自回歸模型，被稱為?

?模型

其中

并且

這是一個VAR(1)?模型，因此

可以來估計這個模型

1. par(wts=tsq, ?type="PAR", p=1)

2. > PAR(model)

特征方程為

所以有一個(季節(jié)性的)單位根，如果

但在這里顯然不是這樣?？梢赃M行?Canova?Hansen(CH)檢驗。Canova?Hansen(CH)檢驗主要用于檢驗季節(jié)差異并驗證零假設(shè),即季節(jié)性模式在采樣期內(nèi)是穩(wěn)定的或隨時間而變化。?

檢驗的輸出在這里

> CH.test(tsm)

看起來我們拒絕了季節(jié)性單位根的假設(shè)。我提到以下檢驗程序

1. > nsdiffs(tsm, test="ch")

2. [1] 0

其中輸出:“1”表示有一個季節(jié)單位根，“0”表示沒有季節(jié)單位根。讀起來很簡單，不是嗎?如果我們考慮每月數(shù)據(jù)的周期自回歸模型，輸出是

> model

所以，不管是什么檢驗，我們總是拒絕有季節(jié)性單位根的假設(shè)。這并不意味著我們的序列不能是周期性的！實際上，這個序列幾乎是周期性的。但是沒有單位根！所以所有這些都是有意義的。

為了確保我們得到的是正確的，考慮兩個時間序列。第一個是周期序列(有非常小的噪聲)，第二個是單整序列。

1. > p1=Xp2=as.numeric(t(M))

2. > for(t in 13:length(M)){

3. 


4. + p2[t]=Xp2[t-12]+rnorm(1,0,2)

5. 


查看

1. 3D(tsp1)

2. 3D(tsp2)

如果我們快速地看一下這些序列，我會說第一個沒有單位根-即使它不是平穩(wěn)的，但這是因為這個序列是周期性的-而第二個有單位根。如果我們看一下?Canova?Hansen(CH)檢驗，我們會得到

> CH.test(tsp1)

考慮一下

1. > nsdiffs(tsp1, 12,test="ch")

2. [1] 0

3. > nsdiffs(tsp2, 12,test="ch")

4. [1] 1

這里我們有相同的結(jié)論。第一個沒有單位根，但是第二個有單位根。用Osborn-Chui-Smith-Birchenhall檢驗

1. > nsdiffs(tsp1, 12,test="ocsb")

2. [1] 1

3. > nsdiffs(tsp2, 12,test="ocsb")

4. [1] 1

在我們的周期序列中也有一個單位根。

所以在這里，在低頻上，我們拒絕在我們的溫度序列中有單位根的假設(shè)，甚至是季節(jié)性的單位根。

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