【閱前提示】本篇出自『數(shù)理化自學叢書6677版』，此版叢書是“數(shù)理化自學叢書編委會”于1963-1966年陸續(xù)出版，并于1977年正式再版的基礎自學教材，本系列叢書共包含17本，層次大致相當于如今的初高中水平，其最大特點就是可用于“自學”。當然由于本書是大半個世紀前的教材，很多概念已經與如今迥異，因此不建議零基礎學生直接拿來自學。不過這套叢書卻很適合像我這樣已接受過基礎教育但卻很不扎實的學酥重新自修以查漏補缺。另外，黑字是教材原文，彩字是我寫的注解。

【山話嵓語】我在原有“自學叢書”系列17冊的基礎上又添加了1冊八五人教中學甲種本《微積分初步》，原因有二：一則，我是雙魚座，有一定程度的偶雙癥，但“自學叢書”系列中代數(shù)4冊、幾何5冊實在令我刺撓，因此就需要加入一本代數(shù)，使兩邊能夠對偶平衡；二則，我認為《微積分初步》這本書對“準大學生”很重要，以我的慘痛教訓為例，大一高數(shù)第一堂課，我是直接蒙圈，學了個寂寞。另外大學物理的前置條件是必須有基礎微積分知識，因此我所讀院校的大學物理課是推遲開課；而比較生猛的大學則是直接開課，然后在緒論課中猛灌基礎高數(shù)（例如田光善舒幼生老師的力學課）。我選擇在“自學叢書”17本的基礎上添加這本《微積分初步》，就是希望小伙伴升大學前可以看看，不至于像我當年那樣被高數(shù)打了個措手不及。?

第一章有理數(shù)

§1-8有理數(shù)的加法

【01】在算術里我們學過整數(shù)、分數(shù)和小數(shù)的加法、減法、乘法和除法。應用這四種運算，可以解決許多實際問題。現(xiàn)在我們已經學習了有理數(shù)，要應用它來解決更多的實際問題，就需要學會怎樣進行有理數(shù)的運算。

【02】這一節(jié)里，我們先來研究有理數(shù)的加法讓我們來看下面的一些問題。

1、符號相同的兩個有理數(shù)相加

【03】問題1.在一條東西方向的公路上，一個人從甲地出發(fā)先向東走 4 公里，以后又向東走 3 公里結果這個人離開甲地幾公里？它的位置在甲地的哪一邊？

【解】我們可以從下面的圖上直接看出，這個人現(xiàn)在在甲地東邊7公里。

????????從算術里我們已經知道，這個問題可以用加法來算。但是為了在算式里能夠把方向也表示出來，我們取向東的方向作為正方向，那末只要把向東 4 公里記做＋4 公里，向東 3 公里記做＋3 公里，東邊 7 公里記做＋7 公里，這個題目的解答就可以列成算式：(＋4)＋(＋3)＝＋7。答：在甲地東邊7公里，

【04】問題2.如果在上題中，這個人先向西走 4 公里，再向西走 3 公里，結果這個人離開甲地幾公里？在甲地的哪一邊？

【解】從下圖可以看到，他現(xiàn)在在甲地西邊?7?公里。

????????我們仍舊把向東的方向作為正方向，那末向西 4 公里記做－4 公里，向西 3 公里記做－3 公里，西邊 7 公里記做－7 公里。因為這個題目的性質和問題1是相同的（只是走的方向不同），仍舊應該用加法來算。這樣就要把這個人走了兩次以后離開原地的公里數(shù)和方向用(－4)＋(－3) 來表示，并且得到算式 (－4)＋(－3)＝－7? 。答：在甲地西邊 7 公里。

【05】從上面的兩個問題的解答中，我們看到：兩個正數(shù)相加，它們的和還是一個正數(shù)，和的絕對值就是這兩個加數(shù)的絕對值的和兩個負數(shù)相加，它們的和仍舊是個負數(shù)，和的絕對值是兩個加數(shù)的絕對值的和。

2、符號相反的兩個有理數(shù)相加

【06】問題3.在問題1中，如果這個人先向東走 4 公里，后來又向西走 3 公里，那末結果他離開甲地幾公里？在甲地哪一邊？

【解】從下圖中可以看到他應該在甲地東邊1公里。

????????我們仍舊把向東的方向作為正方向，那末向東 4 公里記做＋4 公里，向西 3 公里記做－3 公里，東邊 1 公里記做＋1 公里。

????????因為這個題目的性質還是和問題1相同的（只是兩次走的方向不同），我們仍舊可以用加法來做這樣就要把他最后離開原地的公里數(shù)和方向，用 (＋4)＋(－3) 來表示，并且得到算式 (＋4)＋(－3)＝＋1? 。答：在東邊 1 公里。

【07】問題4.如果這個人先向西走 4 公里，再向東走 8 公里，結果他離開甲地幾公里？在甲地哪一邊？

【解】從下圖可以看到，他在甲地西邊?1?公里。

????????我們仍舊把向東的方向作為正方向，那末向西 4 公里只要記做－4 公里，向東 3 公里只要記做＋3 公里，西邊 1 公里只要記做－1 公里。

????????這個問題的性質還是和問題1相同，所以我們仍舊用加法。把這個人最后離甲地的公里數(shù)和方向用 (－4)＋(＋3) 來表示，并且得到算式 (－4)＋(＋3)＝－1? 。答：在西邊 1 公里。

【08】問題5.如果這個人先向東走 4 公里，再向西走 4 公里，結果他離甲地幾公里？在哪一邊？

【解】很明顯，他仍在原地，就是離開原地 0 公里。

????????象上面的問題3和問題4一樣，我們可以用?(＋4)＋(－4) 來表示他最后離開原地的公里數(shù)和方向，并且得到算式 (＋4)＋(－4)＝0? 。

【09】從上面的三個問題的解答中，可以看到，符號相反的兩個數(shù)相加，它們的和的符號與加數(shù)里絕對值大的這個數(shù)的符號相同，和的絕對值應該等于加數(shù)的絕對值的差；如果這兩個數(shù)是相反的數(shù)，那末和就是 0? 。

3、關于零的加法

【10】在算術里，我們已經知道一個數(shù)和零相加，結果仍舊等于這個數(shù)。例如 3＋0＝3，0＋3＝3，0＋0＝0? 。對于加數(shù)中有負數(shù)的時候，這個性質還是一樣的。例如 (－4)＋0＝－4，0＋(－4)＝－4? 。讀者可以自己用上面的問題來解釋這兩個式子的實際意義。

4、有理數(shù)加法法則

【11】把上面這些情況歸納起來，我們就可以得到有理數(shù)的加法法則：

【12】(ⅰ)正負符號相同的兩個數(shù)的和，它的符號與這兩個數(shù)的符號相同，它的絕對值等于這兩個數(shù)的絕對值的和。

【13】(ⅱ)正負符號相反的兩個數(shù)的和，它的符號與絕對值較大的加數(shù)的符號相同，它的絕對值等于這兩個數(shù)的絕對值的差。（特殊情況：兩個相反的數(shù)的和等于零）

【14】(ⅲ)零同任何一個數(shù)的和，就等于這個數(shù)。（特殊情況：零加零等于零）

例1.計算：

【解】

【說明】這里都是兩個符號相同的數(shù)的加法，只要把它們的絕對值相加，再寫上相同的性質符號就是了。

【注意】正數(shù)的性質符號，可以省略，如 (＋15)＋(＋24)＝＋39，可以寫成 15＋24＝39? 。

例2.計算下列加法：

【解】

【說明】這里都是兩個符號不同的數(shù)的加法，要把它們的絕對值相減，求出絕對值的差，再寫上絕對值較大的那個加數(shù)的符號。

【注意】正數(shù)的性質符號，可以省略。例如 (＋3.5)＋(－7.2) 可以寫成 3.5＋(－7.2)；?可以寫成?，或者寫成?? 。

例3.計算：

【解】

【說明】這里加數(shù)里都有 0，和就等于另一個加數(shù)。

例4.計算：

【解】依從左到右順次計算：

習題1-8

1、回答下列問題：在算術里，兩個數(shù)的和會小于任意一個加數(shù)嗎？在代數(shù)里呢？舉一個例子。

2、做下列加法：

3、計算：

【(1)0，(2)19，(3)0，(4)0】