我們初中就學(xué)過(guò)二次函數(shù)

y=ax2+bx+c(a,b,c∈R,a≠0)

其圖像是一條拋物線

通過(guò)配方或者求導(dǎo)

可以得到二次函數(shù)圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)為

(-b/2a,(4ac-b2)/4a)

那么如果讓某一個(gè)系數(shù)變化 其他系數(shù)固定

圖像也在變化

那頂點(diǎn)劃過(guò)形成的圖形(以下簡(jiǎn)稱軌跡)又是什么呢

但是系數(shù)是變化的 我們?nèi)绾尾拍艿玫杰壽E呢？

不著急 先試試

在GeoGebra中定義函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(紅色)

點(diǎn)A(-b/2a,(4ac-b2)/4a)(藍(lán)色) 設(shè)置顯示軌跡

當(dāng)我們滑動(dòng)a時(shí)

點(diǎn)A的軌跡是一條直線(如圖1)?但不包括(0,c)

當(dāng)我們滑動(dòng)b時(shí)

點(diǎn)A的軌跡是一條拋物線(如圖2)

并且當(dāng)b=0時(shí) 軌跡與函數(shù)圖像關(guān)于直線y=c對(duì)稱

當(dāng)我們滑動(dòng)c時(shí)

點(diǎn)A的軌跡是一條垂直于x軸的直線(如圖3)

顯然它是函數(shù)圖像的對(duì)稱軸x=-b/2a

但有了這些還不夠 除了c變化之外

我們?nèi)绾吻蟪鯽或b變化時(shí)的頂點(diǎn)軌跡呢？

首先 令x?=-b/2a——①,y?=(4ac-b2)/4a——②

當(dāng)a變化時(shí)

我們考慮通過(guò)對(duì)①的變換來(lái)?yè)Q掉a

由①,得:

ax?=-b/2

a=-b/2x?——③

將③代入②,得:

y?=[4c(-b/2x?)-b2]/4(-b/2x?)

=(-2bc/x?-b2)/(-2b/x?)

=(-2bc/x?-b2)·(-x?/2b)

=-2bc/x?·(-x?/2b)-b2·(-x?/2b)

=bx?/2+c

即當(dāng)a變化時(shí)

函數(shù)圖像頂點(diǎn)的軌跡為y=bx/2+c(不包括(0,c))

當(dāng)b變化時(shí)同理

由①,得:

b=-2ax?——④

將④代入②,得:

y?=[4ac-(-2ax?)2]/4a

=(4ac-4a2x?2)/4a

=c-ax?2

=-ax?2+c

即當(dāng)b變化時(shí)

函數(shù)圖像頂點(diǎn)的軌跡為y=-ax2+c

這也能解釋圖2中的現(xiàn)象了

當(dāng)c變化時(shí)

由于只有②有c 無(wú)法代入

所以直接?、僦械膞?=-b/2a

即當(dāng)c變化時(shí)

函數(shù)圖像頂點(diǎn)的軌跡為x=-b/2a(對(duì)稱軸)

經(jīng)過(guò)驗(yàn)證

“所有”頂點(diǎn)都落在求得的軌跡上(如圖4~6)

你以為這就結(jié)束了嗎？

實(shí)際上 當(dāng)b=0時(shí)

a變化時(shí)的頂點(diǎn)并不動(dòng)(如圖7)

始終為(0,c)

通過(guò)頂點(diǎn)坐標(biāo)可以看出

當(dāng)b=0時(shí) x?=-b/2a=0,y?=(4ac-b2)/4a=c

(真的沒(méi)了,別看了)