運(yùn)用雙篩法證明：每個大于等于6的偶數(shù)都是2個奇素?cái)?shù)之和

崔坤

中國青島，266200，E-mail:cwkzq@126.com

摘要：根據(jù)古老的埃氏篩法推出雙篩法，對所得真值公式：r2(N)=(N/2)∏mr進(jìn)行下限值估計(jì)，從而證明了r2(N)≧[N/(lnN)^2],即證明了每個大于等于6的偶數(shù)都是2個奇素?cái)?shù)之和

關(guān)鍵詞：埃氏篩法，雙篩法，素?cái)?shù)定理，共軛數(shù)列,真實(shí)剩余比

Cuikun

Qingdao,China,266200, E-mail:cwkzq@126.com

The double screen method is used to prove that:Every even number greater than or equal to 6 is the sum of two odd primes

Abstract: the double sieve method is derived from the ancient Ehrlich sieve method,and the lower limit of the truth formula: r2(N)=(N/2)∏mr is estimated.It is proved that：

r2 (N) ≥ [N/ (lnN) ^ 2],That is, it is proved that every even number greater than or equal to 6 is the sum of two odd primes

Key words: Ehrlich sieve method, double sieve method, prime theorem, conjugate sequence,True residual ratio

證明：

對于共軛互逆數(shù)列A、B:

A:｛1,3,5,7,9,……,（N-1）｝

B:｛（N-1）,……,9,7,5,3,1｝

雙篩法的步驟：

首先給出：偶數(shù)N=2n+4，建立如下互逆數(shù)列：

首項(xiàng)為1，末項(xiàng)為N-1,公差為2的等差數(shù)列A

再給出首項(xiàng)為N-1,末項(xiàng)為1，公差為-2的等差數(shù)列B

顯然N=A+B

根據(jù)埃氏篩法獲得奇素?cái)?shù)集合P：｛1，3，5，…，Pr｝,Pr<N^1/2為了獲得偶數(shù)N的(1+1)表法數(shù)，按照雙篩法進(jìn)行分步操作：

第1步：將互逆數(shù)列用3雙篩后得到真實(shí)剩余比m1

第2步：將余下的互逆數(shù)列用5雙篩后得到真實(shí)剩余比m2

第3步：將余下的互逆數(shù)列用7雙篩后得到真實(shí)剩余比m3

…

依次類推到：

第r步：將余下的互逆數(shù)列用Pr雙篩后得到真實(shí)剩余比mr

這樣就完成了對偶數(shù)N的求雙篩法（1+1）表法數(shù)，

根據(jù)乘法原理有：r2(N)=（N/2）*m1*m2*m3*…*mr

即r2(N)=(N/2)∏mr

例如：[√70]=8，｛Pr｝={1,3,5,7},

3|/70，m1=13/35

5|70, m2=10/13

7|70, m3=10/10

根據(jù)真值公式得：

r2(70)=(70/2)*m1*m2*m3=35*13/35*10/13*10/10=10

r2(70)=10

分析雙篩法的邏輯和r2(N)下限值：

雙篩法本質(zhì)上：

第一步:先對A數(shù)列篩選，根據(jù)素?cái)?shù)定理，A中至少有[N/lnN]個素?cái)?shù)，即此時的共軛互逆數(shù)列AB中至少有[N/lnN]個奇素?cái)?shù)

第二步:再對B數(shù)列進(jìn)行篩選，篩子是相同的1/lnN，

由此推得共軛數(shù)列AB中至少有:r2（N）≥[N/（lnN）^2]個奇素?cái)?shù)。

例如：70

第一步:先對A數(shù)列篩選，A中至少有[N/lnN]=[70/ln70]=16個奇素?cái)?shù),

π(70)=19,即此時的共軛互逆數(shù)列AB中至少有[N/lnN]=[70/ln70]=16個奇素?cái)?shù)。（見下圖）787

第二步:再對B數(shù)列進(jìn)行篩選，篩子是相同的1/ln70,

由此推得共軛數(shù)列AB中至少有:r2（70）≥[70/（ln70）^2]=3個奇素?cái)?shù),

r2(70)=10（見下圖788）

不難看出所給的數(shù)列一共有3個，

第一個是A數(shù)列，其中至少有N/lnN個奇素?cái)?shù)；

第二個是與A共軛的B數(shù)列，其中至少有[N/lnN]個奇素?cái)?shù)；

第三個是AB數(shù)列,其中至少有2[N/lnN]個奇素?cái)?shù)。

結(jié)論:r2（N）≥[N/（lnN）^2]≥1個奇素?cái)?shù)，

即每個大于等于6的偶數(shù)N都是2個奇素?cái)?shù)之和。

參考文獻(xiàn)：

[1]華羅庚，《數(shù)論導(dǎo)引》，科學(xué)出版社，1957-07

[2]王元，《談?wù)勊財(cái)?shù)》，哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，2011-3

[3]李文林，《數(shù)學(xué)瑰寶——?dú)v史文獻(xiàn)精選》，科學(xué)出版社，1998 年，第 368 頁

每個大于等于9的奇數(shù)都是3+兩個奇素?cái)?shù)之和

崔坤

中國青島即墨，266200，E-mail:cwkzq@126.com

摘要: 數(shù)學(xué)家劉建亞在《哥德巴赫猜想與潘承洞》中說：“我們可以把這個問題反過來思考, 已知奇數(shù)N可以表成三個素?cái)?shù)之和， 假如又能證明這三個素?cái)?shù)中有一個非常小，譬如說第一個素?cái)?shù)可以總?cè)?， 那么我們也就證明了偶數(shù)的哥德巴赫猜想?！保?直到2013年才有秘魯數(shù)學(xué)家哈羅德賀歐夫格特徹底證明了三素?cái)?shù)定理。

關(guān)鍵詞:三素?cái)?shù)定理，奇素?cái)?shù)，加法交換律結(jié)合律

中圖分類號：O156 文獻(xiàn)標(biāo)識碼： A

證明：

根據(jù)2013年秘魯數(shù)學(xué)家哈羅德·賀歐夫格特已經(jīng)徹底地證明了的三素?cái)?shù)定理：

每個大于等于9的奇數(shù)都是三個奇素?cái)?shù)之和，每個奇素?cái)?shù)都可以重復(fù)使用。

它用下列公式表示：Q是每個≥9的奇數(shù)，奇素?cái)?shù)：q1≥3，q2≥3，q3≥3，

則Q=q1+q2+q3

根據(jù)加法交換律結(jié)合律，不妨設(shè)：q1≥q2≥q3≥3，

則Q-3=q1+q2+q3-3 顯見：有且僅有q3=3時，Q-3=q1+q2，否則，奇數(shù)9，11，13都是三素?cái)?shù)定理的反例。

即每個大于等于6的偶數(shù)都是兩個奇素?cái)?shù)之和

推論Q=3+q1+q2，即每個大于等于9的奇數(shù)都是3+兩個奇素?cái)?shù)之和。

我們運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法做如下證明：

給出首項(xiàng)為9，公差為2的等差數(shù)列：Qn=7+2n：{9,11,13,15,17,.....}

Q1= 9

Q2= 11

Q3= 13

Q4= 15

.......

Qn=7+2n=3+q1+q2,(其中奇素?cái)?shù)q1≥q2≥3，奇數(shù)Qn≥9，n為正整數(shù)）

數(shù)學(xué)歸納法：

第一步：當(dāng)n=1時 ，Q1=9 時 ，Q1=9=3+q1+q2=3+3+3成立

第二步：假設(shè) ：n=k時，Qk=3+qk1+qk2成立,（奇素?cái)?shù)：qk1≥3，qk2≥3）

第三步：當(dāng)n=k+1時,Q（k+1）=Qk+2=3+qk1+qk2+2,

此時有且僅有2種情況：

A情況:qk1+2不為素?cái)?shù)或者qk2+2不為素?cái)?shù)時，Qk+2=Q（k+1）=5+qk1+qk2

即每個大于等于11的奇數(shù)都是5+兩個奇素?cái)?shù)之和，

這也就同步證明了每個大于等于6的偶數(shù)都是兩個奇素?cái)?shù)之和

即與“每個大于等于9的奇數(shù)都是3+兩個奇素?cái)?shù)之和”是等價的

即Qk+2=3+qk1+qk2+2=5+qk1+qk2=3+qk3+qk4，（奇素?cái)?shù)：qk3≥3，qk4≥3）

B情況:

(1)若qk1+2為qk1的孿生素?cái)?shù)P,

則：Qk+2=3+P+qk2,即每個大于等于11的奇數(shù)都是3+兩個奇素?cái)?shù)之和

(2) 若qk2+2為qk2的孿生素?cái)?shù)P”,

則：Qk+2=3+P”+qk1，即每個大于等于11的奇數(shù)都是3+兩個奇素?cái)?shù)之和

綜上所述，對于任意正整數(shù)n命題均成立，即：每個大于等于9的奇數(shù)都是3+兩個奇素?cái)?shù)之和

結(jié)論：每個大于等于9的奇數(shù)都是3+兩個奇素?cái)?shù)之和，Q=3+q1+q2，

（奇素?cái)?shù)q1≥q2≥3，奇數(shù)Q≥9）

參考文獻(xiàn)：

[1] Major Arcs for Goldbach's Theorem. Arxiv [Reference date 2013-12-18]

[2] Minor arcs for Goldbach's problem．Arxiv [Reference date 2013-12-18]