數(shù)千年以來，幾何學的研究者一直認為能用幾何來揭示自然的奧秘。甚至近代物理學的奠基者、偉大的科學家伽利略極其權(quán)威地斷言：數(shù)理科學是大自然的語言。

然而在很長的時間中傳統(tǒng)幾何學所描述的三角形、圓等幾何圖形都只是具有可切性的規(guī)則形體。這類形體在自然界里只占極少數(shù)。

那有沒有可能存在著一種類似于雪花一樣，但卻不規(guī)則的、不光滑的，卻又能在細微之處無限相似的圖形呢？

1883年，康托爾為數(shù)學引入了一個分形：康托爾集，取一條長度為1的直線段，將它三等分，去掉中間一段，留剩下兩段，再將剩下的兩段分別三等分，各去掉中間一段，剩下更短的四段再分別三等分……如此重復(fù)這樣的操作一直繼續(xù)下去，直至無窮。

由于在不斷分割舍棄過程中，所形成的線段數(shù)目越來越多，長度越來越小，在極限的情況下，得到一個離散非空的點集(線段的端點都沒有去掉，其非空性是顯然的)，其lebesgue測度為零(大家可以形象的理解為長度)。這個點集被稱為康托爾點集

1895年，魏爾斯特拉斯提出了第一個分形函數(shù)“魏爾斯特拉斯函數(shù)”

并憑借函數(shù)曲線特點“處處連續(xù)，處處可以無限細分下去，”證明了所謂的“病態(tài)”函數(shù)的存在性。

1906年，科赫在論文《關(guān)于一條連續(xù)而無切線，可由初等幾何構(gòu)作的曲線》中提到了一種像雪花的幾何曲線，它的每條曲線都可以相似的形狀無限大的細分下去，而這個雪花曲線就是特例科赫曲線。

1914年，波蘭數(shù)學家謝爾賓斯基利用等邊三角形，沿三邊中點的連線，將它分成四個小三角形，去掉中間的那一個小三角形。再對其余三個小三角形重復(fù)之前的操作，發(fā)現(xiàn)了可以無限細分下去的謝爾賓斯基三角形。

兩年后，他用類似的方法將正方形進行分形，發(fā)現(xiàn)了正方形的分形——謝爾賓斯基地毯。

1967年，本華·曼德博在美國權(quán)威的《科學》雜志上發(fā)表了題為《英國的海岸線有多長？統(tǒng)計自相似和分數(shù)維度》的著名論文。其中提到海岸線作為曲線，其特征是極不規(guī)則、極不光滑的，呈現(xiàn)極其蜿蜒復(fù)雜的變化。我們不能從形狀和結(jié)構(gòu)上區(qū)分這部分海岸與其他分海岸有什么本質(zhì)的不同。

這種幾乎同樣程度的不規(guī)則性和復(fù)雜性，說明海岸線在形貌上是自相似的，也就是局部形態(tài)在一定程度上與整體形態(tài)的相似。

1975年冬天他將把這些部分與整體以某種方式相似的形體稱為分形，創(chuàng)立了“分形”這個概念。在此基礎(chǔ)上，形成了研究分形性質(zhì)及其應(yīng)用的科學，稱為分形理論，并由此創(chuàng)立了“分形幾何理論”從而把數(shù)學研究擴展到了從前幾何學無法涉足的那些“病態(tài)曲線”和“幾何學怪物”的領(lǐng)域。

“云朵不是球形的，山巒不是錐形的，海岸線不是圓形的，樹皮不是光滑的，閃電也不是一條直線?！狈中螏缀螌W所映射出的自然事物不再是光滑無瑕、平坦規(guī)整的，而是凸凹不平、粗糙叢雜、扭曲斷裂、糾結(jié)環(huán)繞的幾何形體。

但是，分形幾何學卻否定了關(guān)于事物大小和久暫的區(qū)分的絕對標度性，指出對于大自然的某些現(xiàn)象，去尋求特征尺度是毫無意義的。并且還將藝術(shù)和數(shù)學聯(lián)系在了一起，本華·曼德博向世界展示了這些驚人的藝術(shù)創(chuàng)作，之后分形藝術(shù)便一發(fā)不可收拾。

分形藝術(shù)不同于普通的“電腦繪畫”，它主要利用分形幾何學原理，借助計算機強大的運算能力，將數(shù)學公式反復(fù)迭代運算，再結(jié)合創(chuàng)作者的審美及美術(shù)功底，就將創(chuàng)作出一幅幅精美的藝術(shù)畫作。

從此以后，我們看到的數(shù)學不再只有那些枯燥的數(shù)學公式，更有了它美輪美奐的另一面。

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以上內(nèi)容轉(zhuǎn)自：質(zhì)心哥，分形幾何，一種難以置信的數(shù)學之美！

分形（一種幾何形狀，被以越來越小的比例反復(fù)折疊而產(chǎn)生不能被標準幾何所定義的不標準的形狀和表面）是由混沌方程組成，它包含通過放大會變的越來越復(fù)雜的自相似圖案。要是把一個分形圖案分成幾小部分，結(jié)果會得到一個尺寸縮小，但形狀跟整個圖案一模一樣的復(fù)制品。

分形幾何學是一門以不規(guī)則幾何形態(tài)為研究對象的幾何學。相對于傳統(tǒng)幾何學的研究對象為整數(shù)維數(shù)，如，零維的點、一維的線、二維的面、三維的立體乃至四維的時空。因為它的研究對象普遍存在于自然界中，因此分形幾何學又被稱為“大自然的幾何學”。

分形的數(shù)學之美，是利用相對簡單的等式形成無限復(fù)雜的圖案。它通過多次重復(fù)分形生成等式，形成美麗的圖案。

書名：大自然的分形幾何學

書號：9787030714633

定價：198元

作者：著:(法)伯努瓦·B.芒德布羅(Benoit B.Mandelbrot)；譯:凌復(fù)華,陳守吉;

樣章試讀：

為什么幾何學常常被描述為“冷酷無情”和“枯燥乏味”的?原因之一是它無力描述云彩、山嶺、海岸線或樹木的形狀.云彩不是球體,山嶺不是錐體,海岸線不是圓周,樹皮并不光滑,閃電更不是沿著直線傳播的。更為一般地,我要指出，自然界的許多圖形是如此不規(guī)則和支離破碎,以致與歐幾里得幾何學——本書中用這個術(shù)語來稱呼所有標準的幾何學——相比，自然界不僅具有較高程度的復(fù)雜性,而且更具有完全不同層次上的復(fù)雜性。自然界各種模式中的長度標度，對所有實際應(yīng)用而言都是無限的。這些模式的存在，激勵著我們?nèi)ヌ剿髂切┍粴W幾里得幾何學擱置一邊，認為是“無形狀可言”的形狀，去研究“無定形”的形態(tài)學。然而數(shù)學家們蔑視這種挑戰(zhàn)，他們越來越多的選擇是，想出種種與我們看得見或感覺得到的任何東西都無關(guān)的理論，來逃避大自然。作為對這個挑戰(zhàn)的回答，我構(gòu)思和發(fā)展了大自然的一種新的幾何學，并在許多不同領(lǐng)域中找到了它的用途。它描述了我們周圍的許多不規(guī)則和支離破碎的形狀，并通過鑒別出一族我稱為分形的形狀，建立了相當成熟的理論。最有用的分形包含機遇，無論是它們的規(guī)則性還是不規(guī)則性都是統(tǒng)計意義上的。而且這里所述的形狀還是趨于標度的，意味著其不規(guī)則程度和/或支離破碎程度在所有不同的尺度下都是等同的。豪斯多夫(Hausdorff)分形維數(shù)的概念在本書中起著核心作用。一些分形集合是曲線或曲面，另一些則是互不連接的“塵?！?，還有一些的形狀是如此奇怪，以致無論在科學或藝術(shù)中都找不到合適的術(shù)語來稱呼它們。我們鼓勵讀者現(xiàn)在就瀏覽一下書中的插圖，看看它們到底是什么樣子！這些圖中有許多形狀是以前從未考慮過的，另一些則表示已知的構(gòu)造方式，但常常也是第一次作出的。事實上，雖然分形幾何學出現(xiàn)于1975年，但它的許多工具和概念卻在以前(由于與我的目的完全不同的其他各種目的)就發(fā)展起來了。通過把舊石料砌入新結(jié)構(gòu)中,分形幾何學能夠“借用”非常廣泛而又嚴格的基礎(chǔ),很快導(dǎo)出數(shù)學中引人注目的許多新問題。盡管如此，本書仍恪守其宗旨，既不追求抽象性也不追求一般性，它既不是教科書也不是數(shù)學專著。盡管本書很厚，我卻把它看成一篇科學隨筆，因為它是用個人的觀點寫成的，并不追求盡善盡美。像許多文藝隨筆一樣，常會興之所至，離題閑聊。這種不拘形式的行文或許能使讀者增加興趣，更易理解。全書中有許多數(shù)學上“容易”的部分，特別是接近結(jié)尾處。讀者不妨瀏覽和跳過這些，至少在頭一兩次閱讀時。