? ? 同學(xué)們在學(xué)點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)的時(shí)候，經(jīng)常會覺得仿緊空間（paracompact space）這個(gè)概念比較難理解，希望這篇文章能對他們有一些啟發(fā)與幫助。

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??先看基本定義，通常仿緊這個(gè)性質(zhì)被定義在Hausdorff空間上。設(shè)X就是Hausdorff空間，它稱為仿緊的，若其任何開覆蓋都有局部有限的加細(xì)。其中有兩個(gè)概念需要進(jìn)一步解釋，一個(gè)是局部有限（locally finite），還有一個(gè)是覆蓋的加細(xì)（refinement）。

??1）空間X的子集族是局部有限的，若對任何x∈X，存在包含x的開集U，使得U僅與其中有限個(gè)子集相交。

??2）設(shè)W是集合X的覆蓋，覆蓋V加細(xì)覆蓋W，若對任何V∈V，存在W∈W，使得V≤W.?

??覆蓋的加細(xì)實(shí)際上就是把覆蓋精確化，消除重復(fù)的覆蓋片，再盡可能的縮小，這樣得到的性質(zhì)才是最有價(jià)值的。

??顯然，有限覆蓋一定是局部有限的，因此緊空間一定是仿緊的，但反之不然。

??通常的實(shí)數(shù)空間R是仿緊空間，但它有非仿緊的開覆蓋{(-n, n)}(n=1,2,...)，這個(gè)覆蓋在任一點(diǎn)上都沒有局部有限性。我們可以把它加細(xì)為局部有限的開覆蓋(-1, 1)∪(-2, -1+a)∪(1-a, 2)∪(-3, -2+a)∪(2-a, 3)∪…，其中a=0.1.

??實(shí)際上，仿緊性的核心就是局部有限性，把緊性定義中的有限覆蓋削弱為局部有限，但仍能夠保持很多良好的結(jié)論。

??局部有限性的直接效果就是保閉性，它使得并集的閉包就是閉包的并。也就是說，這些集合只是一個(gè)拼盤，不會通過族性質(zhì)增加額外的聚點(diǎn)。反之，若是存在x∈cl（∪U_i）\∪cl（U_i）,則x的鄰域不會只和有限個(gè)U_i相交，因?yàn)橛邢薏粫?dǎo)致（非平凡）極限！具體來說，考慮一族包含{1/n}的集，它有聚點(diǎn)0，那么它在點(diǎn)0就不具有局部有限性。

??由此可推出：仿緊Hausdorff空間一定是正規(guī)的，這是一類良好的空間，其上可以有Tietze擴(kuò)張定理，Urysohn引理等。

??類似緊Hausdorff空間的情形，可以先證它是正則的：設(shè)X是仿緊Hausdorff空間，Z是X的閉子集，x∈X\Z，對任何z∈Z，都存在包含z的開集U_z，使得 x? cl（U_z），這樣可得X的開覆蓋為：X\Z與所有U_z（z∈Z）的并，它有局部有限的加細(xì)覆蓋U，U中與Z相交部分的并U包含Z，但由保閉性，x ? cl（U），故X是正則空間。重復(fù)上述步驟，可得X是正規(guī)空間。

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??可以證明，可度量空間一定是仿緊的。由此可得，（滿足第二可數(shù)公理的）光滑流形是仿緊的，其上有著名的單位分解定理（參見【3】）.

??事實(shí)上，對于仿緊空間，我們有拓?fù)浒娴膯挝环纸舛ɡ恚▍⒁姟?】或【4】）。設(shè){U_i}是仿緊Hausdorff空間X的任意開覆蓋，則存在連續(xù)函數(shù)f_i：X → [0,1]，滿足：

??1）supp（f_i）≤ U_i，對任何i，

??2）{supp（f_i）} 的局部有限的，

??3）Σf_i = 1，對任何x.

??更一般的結(jié)果是Smirnov可度量性定理：空間是可度量的 iff 它是仿緊且局部可度量的（參見【1】或【2】）。

???擴(kuò)展閱讀：

??【1】Munkres J R. Topology[J]. 2000. （內(nèi)容豐富的拓?fù)鋵W(xué)教材，包括對仿緊空間的基本討論，本文主要參考書）

??【2】兒玉之宏, 永見啟應(yīng), 方嘉琳（譯）. 拓?fù)淇臻g論[M]. 科學(xué)出版社, 2001. （拓?fù)淇臻g理論的專著，對仿緊空間有深入討論）

??【3】張筑生. 微分拓?fù)渲v義[M]. 北京大學(xué)出版社, 1996. （簡明的微分拓?fù)浣滩模ǚ戮o空間在微分流形上的應(yīng)用）

??【4】Cutler T. Paracompact Spaces[J]. 2020. （仿緊空間的簡明小結(jié)，對于一般應(yīng)用足夠了）