矩陣運(yùn)算

1.加減法：

同型矩陣對(duì)應(yīng)元素相加減。

A+B=B+A

(A+B)+C= A+(B+C)

A+0=A （同型的0矩陣）

A+(-A)=0

A+B=C等價(jià)于A=C-B

2.數(shù)乘：

矩陣中所有元素乘以這個(gè)數(shù)。

提供公因子（角度）：

矩陣：所有元素的公因子，只提一次；

行列式：一行(列)元素的公因子提一次，

有幾行(列)提幾次。

k(A+B)=kA+kB

(k+h)A=kA+hA

k(hA)=(kh)A

3.乘法：

第一個(gè)矩陣的第i行與第二個(gè)矩陣的j列對(duì)應(yīng)元素相乘后相加，為結(jié)果矩陣的第i行第j列的元素aij。

矩陣相乘前提：

第一個(gè)矩陣的列數(shù) = 第二個(gè)矩陣的行數(shù)

結(jié)果矩陣的形狀：

結(jié)果矩陣的行數(shù) = 第一個(gè)矩陣的行數(shù)；

結(jié)果矩陣的列數(shù) = 第二個(gè)矩陣的列數(shù).

宋氏七字訣：“中間相等 取兩頭”

A行X列B行X列=C行X列（A列=B行）

矩陣乘法不滿足：

1)? AB=/=BA，AB有意義 BA不一定有意義

若AB=BA，稱A,B可交換。(AB為同階方陣)

2)? AB=0 =/=> A=0或B=0

3)? AB=BA，A=/=0 =/=> B=C

與零矩陣相乘：

0矩陣與任何矩陣乘法都等于0矩陣。

與單位矩陣相乘：

AE=A EB=B

乘法運(yùn)算規(guī)律：

1)結(jié)合：(AB)C=A(BC)

2)分配：(A+B)C=AC+BC

C(A+B)=CA+CB

3)k(AB)=(kA)B=A(kB)

(注：ABC矩陣的左右順序不能變)

4.冪：

（A是方陣）

A的k次方，即k個(gè)A矩陣相乘

A的0次方 = E(單位矩陣)

1）A的k1次方乘A的k2次方等于A的(k1+k2)次方。

2）A的k1次方的k2次方等于A的(k1k2)次方

(AB)的k次方只有在AB可交換的時(shí)候等于A的k次方加B的k次方。

(A+B)方 =/= A方+2AB+B方

(A+B)方 = (A+B)(A+B) = AA+BA+AB+BB

(E)單位矩陣：

(A+E)方 = (A+E)(A+E)

= AA+EA+AE+EE

= A方+2A+E

5.轉(zhuǎn)置：( )T或( )'

行變列，列變行

• 1) ((A)T)T=A

2) (A+B)T=(A)T+(B)T

(A+B+C)T=(A)T+(B)T+(C)T

3) (kA)T=k(A)T

• 4) (AB)T=(B)T(A)T

(ABC)T=(C)T(B)T(A)T

特殊矩陣（方陣）

1.數(shù)量矩陣

主對(duì)角線相等(如：a)，其他都為0

= aE （E：?jiǎn)挝痪仃嚕?/p>

數(shù)量矩陣 x 數(shù)量矩陣 = 數(shù)量矩陣

(aE)B = B(aE) = aB

單位矩陣E應(yīng)為同階矩陣

2.對(duì)角形矩陣

diag(a1,a2,…,an)

a1,a2,…,an 為主對(duì)角線，其它地方為0

3.三角形矩陣

上三角

下三角

4.對(duì)稱矩陣 aij = aji

反對(duì)稱矩陣 aij = -aji aii=0

(A)' = A（ ( )' 轉(zhuǎn)置）

(A)' = -A

A，B為同階對(duì)稱矩陣

1）(A+B)'=A'+B'=A+B

2）(A-B)'=A'-B'=A-B

3）(kA)'=kA'=kA

4）(AB)'=B'A'=BA =/= AB

定理1：若A，B為同階對(duì)稱矩陣，

則 (AB)對(duì)稱<=>A,B可交換

因：A，B對(duì)稱;

所：(AB)' = B'A' = BA = AB.

因：A?B=B?A;

所：(AB)' = B'A' = BA = AB.

證明對(duì)稱，即證明：(AB)' = AB.(置換后等于本身)

證明反對(duì)稱，即證明：(AB)' = -(AB).(置換后等于其相反數(shù))

兩個(gè)同階反對(duì)稱矩陣的和差數(shù)乘仍然是反對(duì)稱矩陣但兩個(gè)反對(duì)稱的乘積一般不是反對(duì)稱