不自量力 -- 表象與矩陣

2021-11-09 22:51 作者:nyasyamorina 0人讀過 | 我要投稿

在上一篇里介紹了可觀察量與算符,? 其中提到了任意算符的特征函數(shù)都可以組成標(biāo)準(zhǔn)正交系,? 即任意波函數(shù)都可以使用特定可觀察量表達(dá).? 當(dāng)體系或波函數(shù)使用某個可觀察量 O 表示時,? 稱為處于 O 表象(representation).? 對于之前討論的情況,? 一直都是用坐標(biāo)作波函數(shù)的因變量,? 所以之前的討論是處于坐標(biāo)表象的.

為了方便討論,? 這篇專欄都有假設(shè):? 算符都不會隨時間變化,? 特征值都是分立的,? 特征函數(shù)都是歸一正交的.? 對于更一般的情況也有類似的結(jié)論,? 只是式子更復(fù)雜了.

狄拉克符號

狄拉克符號把任意波函數(shù)?Ψ 記為右矢 |Ψ?.? 但在深入講解前,? 先了解一下狄拉克符號的書寫約定.

記可觀察量 O 的特征方程? $%5Chat%20O%5Cpsi_n%3DO_n%5Cpsi_n$ ?為? $%5Chat%20O%7C%5Cpsi_n%5Crangle%3DO_n%7C%5Cpsi_n%5Crangle$ ,? 或在沒有歧義下可以記為? $%5Chat%20O%7Cn%5Crangle%3DO_n%7Cn%5Crangle$ ?和 $%5Chat%20O%7CO_n%5Crangle%3DO_n%7CO_n%5Crangle$ .

因為 O? 的特征函數(shù)構(gòu)成標(biāo)準(zhǔn)正交系,? 所以矢基 {|n?} 組成了函數(shù)空間里的一組基,? 假設(shè)下標(biāo) n 從1開始,? 那么在 O 表象里記? $%7C1%5Crangle%3D%5Cleft%5B%5Cbegin%7Bmatrix%7D1%5C%5C0%5C%5C0%5C%5C%5Cvdots%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright%5D%3B%5C%3B%7C2%5Crangle%3D%5Cleft%5B%5Cbegin%7Bmatrix%7D0%5C%5C1%5C%5C0%5C%5C%5Cvdots%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright%5D$ ?以此類推.? 對波函數(shù) Ψ 在 O 表象下展開得 $%5CPsi%3D%5Csum_nc_n%5Cpsi_n$ ,? 寫為右矢形式為? $%7C%5CPsi%5Crangle%3D%5Csum_nc_n%7Cn%5Crangle$ ,? 可以看到在這種表達(dá)里 |Ψ? 也是一個向量 $%7C%5CPsi%5Crangle%3D%5Cleft%5B%5Cbegin%7Bmatrix%7Da_1%5C%5Ca_2%5C%5Ca_3%5C%5C%5Cvdots%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright%5D$ .

記右矢?|Ψ? 的轉(zhuǎn)置共軛為左矢? $%5Clangle%5CPsi%7C%3D%5Cleft%5B%5Cbegin%7Bmatrix%7Da_1%5E*%26a_2%5E*%26a_3%5E*%26%5Ccdots%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright%5D$ ,? 根據(jù)矩陣乘法可以有? $(%5Clangle1%7C)%5Ccdot(%7C%5CPsi%5Crangle)%3Da_1%3D(%5Cpsi_1%2C%5CPsi)$ ,? 可以看到左矢與右矢相乘等于兩函數(shù)的內(nèi)積 (兩向量的內(nèi)積也是這樣定義的),? 對于兩任意波函數(shù) Φ 與?Ψ 的內(nèi)積 (Φ,Ψ)?寫為狄拉克符號?(?Φ|)·(|Ψ?),? 簡寫為??Φ|Ψ?.? 根據(jù)矩陣乘法,? 乘積 |Φ??Ψ| 為矩陣,? 詳細(xì)在下面討論.? 與向量類似,? 右矢 |Ψ? 為函數(shù)空間上的一個向量,? 當(dāng)不指定表象時 |Ψ? 無法寫出準(zhǔn)確表示,? 在下面會詳細(xì)討論變換表象時 |Ψ? 的值如何變化.

波函數(shù) Ψ在 O 表象下的特定描述?Ψ(O),? 類比內(nèi)積??n|Ψ?,? 則?Ψ(O) 可以寫為??O|Ψ?,? 所以函數(shù)內(nèi)積又可以寫為? $%5Clangle%5CPhi%7C%5CPsi%5Crangle%3D%5Cint_D%5CPhi%5E*(x)%5CPsi(x)dx%3D%5Cint_D%5Clangle%5CPhi%7Cx%5Crangle%20dx%5Clangle%20x%7C%5CPsi%5Crangle$ .

算符的矩陣表示

考慮算符 Q? 作用在波函數(shù)?Ψ 上 Φ = Q?Ψ.? 在 O 表象下,? 對波函數(shù)展開為? $%5CPsi(%5Cvec%20r%3Bt)%3D%5Csum_na_n(t)%5Cpsi_n(%5Cvec%20r)%3B%5C%3B%5CPhi(%5Cvec%20r%3Bt)%3D%5Csum_nb_n(t)%5Cpsi_n(%5Cvec%20r)$ ,? 那么算符作用在波函數(shù)上可以寫為? $%5Csum_nb_n(t)%5Cpsi_n(%5Cvec%20r)%3D%5Csum_na_n(t)%5Chat%20Q%5Cpsi_n(%5Cvec%20r)$ ,? 這條式子求關(guān)于 ψ? 的內(nèi)積有? $%5Csum_nb_n(t)%5Cleft(%5Cpsi_m%2C%5Cpsi_n%5Cright)%3D%5Csum_na_n(t)%5Cleft(%5Cpsi_m%2C%5Chat%20Q%5Cpsi_n%5Cright)$ .? 因為 ψ 是歸一正交的,? 即?(ψ?,ψ?) = δ?,?,? 又記? $%5Cleft(%5Cpsi_m%2C%5Chat%20Q%5Cpsi_n%5Cright)%3DQ_%7Bm%2Cn%7D$ ,? 于是得到? $b_m(t)%3D%5Csum_nQ_%7Bm%2Cn%7Da_n(t)$ ,? 不難看到這個式子和"矩陣與向量的乘法"是一致的,? 于是稱? $%5Cleft%5C%7BQ_%7Bm%2Cn%7D%5Cright%5C%7D$ ?為算符 Q? 在 O 表象下的矩陣表示,? 同樣也可以記這個矩陣為 Q?,? 算符作用在波函數(shù)上寫成狄拉克符號為 $%7C%5CPhi%5Crangle%3D%5Chat%20Q%7C%5CPsi%5Crangle$ ? (在很多地方為了區(qū)分算符和矩陣,? 會把后者記為 Q 而不是 Q?).

因為算符 Q? 是厄米算符,? 所以矩陣 Q? 也是厄米矩陣.? 證明:? $Q_%7Bm%2Cn%7D%3D%5Cleft(%5Cpsi_m%2C%5Chat%20Q%5Cpsi_n%5Cright)%3D%5Cleft(%5Chat%20Q%5Cpsi_m%2C%5Cpsi_n%5Cright)%3D%5Cleft(%5Cpsi_n%2C%5Chat%20Q%5Cpsi_m%5Cright)%5E*%3DQ_%7Bn%2Cm%7D%5E*$ ,? 即? $%5Chat%20Q%3D%5Chat%20Q%5E%5Cdagger$ .

特殊地,? 算符 O? 在自身表象里的矩陣表示為對角矩陣,? 證明:? $O_%7Bm%2Cn%7D%3D%5Cleft(%5Cpsi_m%2C%5Chat%20O%5Cpsi_n%5Cright)%3D%5Clambda_n%5Cleft(%5Cpsi_m%2C%5Cpsi_n%5Cright)%3D%5Clambda_n%5Cdelta_%7Bm%2Cn%7D$ .

公式的矩陣表示

可觀察量 Q 的期望值為? $%5Clangle%20Q%5Crangle%3D%5Cleft(%5CPsi%2C%5Chat%20Q%5CPsi%5Cright)%3D%5Cint_D%5CPsi%5E*%5Chat%20Q%5CPsi%20d%5Cvec%20r$ ,? 對?Ψ 在 O 表象下進(jìn)行展開得到? $%5Cint_D%5Csum_%7Bm%2Cn%7Dc_m%5E*%5Cpsi_m%5E*%5Chat%20Q(c_n%5Cpsi_n)d%5Cvec%20r%3D%5Csum_%7Bm%2Cn%7Dc_m%5E*c_n%5Cint_D%5Cpsi_m%5E*%5Chat%20Q%5Cpsi_nd%5Cvec%20r$ ,? 可以看到積分式與上面定義?Q? 的矩陣元相同,? 于是有? $%5Csum_%7Bm%2Cn%7Dc_m%5E*Q_%7Bm%2Cn%7Dc_n$ ,? 根據(jù)矩陣乘法不難得出? $%5Clangle%20Q%5Crangle%3D%5Clangle%5CPsi%7C%5Chat%20Q%7C%5CPsi%5Crangle$ ,? 這就是 Q 的期望值在 O 表象里的矩陣表示.

算符?Q? 的特征方程? $%5Chat%20Q%5CPsi%3D%5Cchi%5CPsi$ ,? 寫為矩陣形式得到?Q?|Ψ? =?χ|Ψ?,? 移項得? $%5Cleft(%5Chat%20Q-%5Cchi%5Chat%20I%5Cright)%5Cleft%7C%5CPsi%5Cright%5Crangle%3D%5Cvec%200$ ,? 其中 I? 為單位矩陣,? 根據(jù)線代可以解出有一系列特征值?{χ?} 和相應(yīng)的特征向量 {|φ??}.

薛定諤方程? $%5Chat%20H%5CPsi(%5Cvec%20r%3Bt)%3Di%5Chbar%5Cfrac%7B%5Cpartial%7D%7B%5Cpartial%20t%7D%5CPsi(%5Cvec%20r%3Bt)$ ,? 對?Ψ 在 O 表象下展開,? 再求關(guān)于 ψ? 的內(nèi)積得到? $%5Csum_na_n(t)%5Cleft(%5Cpsi_m(%5Cvec%20r)%2C%5Chat%20H%5Cpsi_n(%5Cvec%20r)%5Cright)%3Di%5Chbar%5Cfrac%7B%5Cpartial%7D%7B%5Cpartial%20t%7D%5Cleft(%5Csum_na_n(t)%5Cleft(%5Cpsi_m(%5Cvec%20r)%2C%5Cpsi_n(%5Cvec%20r)%5Cright)%5Cright)$ ,? 根據(jù)特征函數(shù)的歸一正交性,? 并且記 $%5Cleft(%5Cpsi_m(%5Cvec%20r)%2C%5Chat%20H%5Cpsi_n(%5Cvec%20r)%5Cright)%3DH_%7Bm%2Cn%7D$ ,? 得到? $%5Csum_nH_%7Bm%2Cn%7Da_n(t)%3Di%5Chbar%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdt%7Da_m(t)$ ,? 于是可以寫出矩陣形式 $%5Chat%20H%7C%5CPsi%5Crangle%3Di%5Chbar%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdt%7D%7C%5CPsi%5Crangle$ .

酉變換

考慮?O 和 Q 兩個表象,? 設(shè) O? 的特征函數(shù)為 {ψ},? Q? 的特征函數(shù)為 {φ},? 對 {φ} 以 {ψ} 展開有 $%5Cvarphi_m%3D%5Csum_nS_%7Bn%2Cm%7D%5Cpsi_n$ ,? 其中? $S_%7Bn%2Cm%7D%3D(%5Cpsi_n%2C%5Cvarphi_m)$ .? 根據(jù)特征函數(shù)的歸一正交性得? $%5Cdelta_%7B%5Calpha%2C%5Cbeta%7D%3D%5Cint_D%5Cvarphi_%5Calpha%5E*%5Cvarphi_%5Cbeta%20d%5Cvec%20r$ ,? 展開得? $%5Cint_D%5Csum_%7Ba%2Cb%7DS_%7Ba%2C%5Calpha%7D%5E*%5Cpsi_a%5E*S_%7Bb%2C%5Cbeta%7D%5Cpsi_bd%5Cvec%20r%3D%5Csum_%7Ba%2Cb%7DS_%7Ba%2C%5Calpha%7DS_%7Bb%2C%5Cbeta%7D%5E*%5Cint_D%5Cpsi_a%5E*%5Cpsi_bd%5Cvec%20r$ ,? 由歸一正交性得 $%5Csum_%7Ba%2Cb%7DS_%7Ba%2C%5Calpha%7D%5E*S_%7Bb%2C%5Cbeta%7D%5Cdelta_%7Ba%2Cb%7D%3D%5Csum_n%5Cleft(S%5E%5Cdagger%5Cright)_%7B%5Calpha%2Cn%7DS_%7Bn%2C%5Cbeta%7D$ ,? 綜上可以得到? $%5Chat%20S%5E%5Cdagger%5Chat%20S%3D%5Chat%20I$ .? 由逆矩陣的定義知道這時滿足? $%5Chat%20S%5E%5Cdagger%3D%5Chat%20S%5E%7B-1%7D$ ,? 那么則稱 S? 為酉矩陣(或幺正矩陣),? S? 所表示的變換為酉變換(或幺正變換).

考慮一個波函數(shù)?Ψ,? 那么?Ψ 在 O 表象與 Q 表象里展開為? $%5CPsi%3D%5Csum_na_n%5Cpsi_n%3B%5C%3B%5CPsi%3D%5Csum_mb_m%5Cvarphi_m$ ,? 對 {φ} 以 {ψ} 展開? $%5Csum_na_n%5Cpsi_n%3D%5Csum_%7Bm%2Cn%7Db_mS_%7Bn%2Cm%7D%5Cpsi_n$ ,? 因為這是恒等式,? 所以有 $a_n%3D%5Csum_mS_%7Bn%2Cm%7Db_m$ ,? 這表明 S? 是?Q 表象到?O 表象的變換.

考慮一個可觀察量 P,? 那么 P? 在 O 表象與 Q 表象里分別表示為? $P%5E%7B(O)%7D_%7Ba%2Cb%7D%3D%5Cint_D%5Cpsi_a%5E*%5Chat%20P%5Cpsi_bd%5Cvec%20r%3B%5C%3BP%5E%7B(Q)%7D_%7B%5Calpha%2C%5Cbeta%7D%3D%5Cint_D%5Cvarphi_%5Calpha%5E*%5Chat%20P%5Cvarphi_%5Cbeta%20d%5Cvec%20r$ ,? 對 {φ} 以 {ψ} 展開? $%5Cint_D%5Csum_%7Ba%2Cb%7DS_%7Ba%2C%5Calpha%7D%5E*%5Cpsi_a%5E*%5Chat%20P(S_%7Bb%2C%5Cbeta%7D%5Cpsi_b)d%5Cvec%20r%3D%5Csum_%7Ba%2Cb%7DS_%7Ba%2C%5Calpha%7D%5E*S_%7Bb%2C%5Cbeta%7D%5Cint_D%5Cpsi_a%5E*%5Chat%20P%5Cpsi_bd%5Cvec%20r%3D%5Csum_%7Ba%2Cb%7DS_%7Ba%2C%5Calpha%7D%5E*P%5E%7B(O)%7D_%7Ba%2Cb%7DS_%7Bb%2C%5Cbeta%7D$ ,? 根據(jù)矩陣乘法可以寫出 $%5Chat%20P%5E%7B(Q)%7D%3D%5Chat%20S%5E%5Cdagger%5Chat%20P%5E%7B(O)%7D%5Chat%20S%3D%5Chat%20S%5E%7B-1%7D%5Chat%20P%5E%7B(O)%7D%5Chat%20S$ ,? 這個式子就是可觀測量 P 在 O 與 Q 兩個表象里的關(guān)系,? 這個式子的幾何意義是非常強(qiáng)的:? 先作 Q 變換到 O,? 再作 O 下的變換 P,? 最后作 O 變換到 Q,? 這三步就等于作 Q 下的變換 P.

矩陣的狄拉克符號表示

任意波函數(shù)?Ψ 在 O 表象下展開為? $%5CPsi%3D%5Csum%5Cpsi_n%5Cint_D%5Cpsi_n%5E*%5CPsi%20d%5Cvec%20r$ ,? 記 |n??為 ψ?,? 那么這條式子寫為? $%7C%5CPsi%5Crangle%3D%5Csum_n%7Cn%5Crangle%5Clangle%20n%7C%5CPsi%5Crangle$ ,? 因為求和與 |Ψ? 無關(guān),? 于是得到 $%5Csum_n%7Cn%5Crangle%5Clangle%20n%7C%3D%5Chat%20I$ ,? 這個式子表示了特征矢的封閉性.

考慮算符 Q? 作用在波函數(shù)上? $%5CPhi%3D%5Chat%20Q%5CPsi$ ,? 寫為狄拉克符號形式為? $%7C%5CPhi%5Crangle%3D%5Chat%20Q%7C%5CPsi%5Crangle$ ,? 對這個式子進(jìn)行展開得? $%5Csum_n%7Cn%5Crangle%5Clangle%20n%7C%5CPhi%5Crangle%3D%5Csum_n%5Chat%20Q%7Cn%5Crangle%5Clangle%20n%7C%5CPhi%5Crangle$ ,? 左乘特征左矢 ?m| 得到? $%5Csum_n%5Clangle%20m%7Cn%5Crangle%5Clangle%20n%7C%5CPhi%5Crangle%3D%5Clangle%20m%7C%5CPhi%5Crangle%3D%5Csum_n%5Clangle%20m%7C%5Chat%20Q%7Cn%5Crangle%5Clangle%20n%7C%5CPsi%5Crangle$ ,? 于是算符 Q? 的矩陣元為? $Q_%7Bm%2Cn%7D%3D%5Clangle%20m%7C%5Chat%20Q%7Cn%5Crangle$ ,? 這與上面求得的是一致的.? 對上式再左乘特征右矢 |m??并對 m 累加可以得到? $%5Csum_m%7Cm%5Crangle%5Clangle%20m%7C%5CPhi%5Crangle%3D%5Csum_%7Bm%2Cn%7D%7Cm%5Crangle%20Q_%7Bm%2Cn%7D%5Clangle%20n%7C%5CPsi%5Crangle$ ,? 由特征矢的封閉性可以得到? $%7C%5CPhi%5Crangle%3D%5Csum_%7Bm%2Cn%7DQ_%7Bm%2Cn%7D%7Cm%5Crangle%5Clangle%20n%7C%5CPsi%5Crangle$ ,? 于是得到矩陣 Q? 的狄拉克符號表示? $%5Chat%20Q%3D%5Csum_%7Bm%2Cn%7DQ_%7Bm%2Cn%7D%7Cm%5Crangle%5Clangle%20n%7C$ .

由矩陣乘法的轉(zhuǎn)置規(guī)則? $(AB)%5ET%3DB%5ETA%5ET$ ?得到算符與左矢作用的式子 $%5Clangle%5CPhi%7C%3D%5Clangle%5CPsi%7C%5Chat%20Q%5E%5Cdagger$ ,? 如果 Q? 是厄米算符則有? $%5Clangle%5CPhi%7C%3D%5Clangle%5CPsi%7C%5Chat%20Q$ .

占有數(shù)表象與湮滅產(chǎn)生算符

在傳統(tǒng)的量子力學(xué)里,? 只能描述特定粒子數(shù)目的系統(tǒng),? 而為了更方便地描述多量子系統(tǒng),? 引入了二次量子化(second quantization, 或正則量子化 canonical quantization).? 在二次量子化里提出了一個可觀測量:? 占有數(shù)(occupation number),? 占有數(shù)描述了當(dāng)前系統(tǒng)處于某個特定態(tài)的粒子數(shù)目.? 并且提出兩個相應(yīng)的算符:? 湮滅算符(annihilation operator) 和 產(chǎn)生算符(creation operator),? 湮滅算符描述了處于某個態(tài)的粒子數(shù)目減一,??產(chǎn)生算符描述了處于某個態(tài)的粒子數(shù)目加一.? 占有數(shù)常記為 N,? 湮滅算符記為? $%5Chat%20a$ ,? 產(chǎn)生算符記為? $%5Chat%20a%5E%5Cdagger$ ?(從算符記號可以看到,? 產(chǎn)生算符并不是湮滅算符的逆,? 這說明產(chǎn)生后湮滅對系統(tǒng)是有影響的).

二次量子化的最簡例子就是線性諧振子,? 關(guān)于線性諧振子可以看我之前發(fā)的專欄.? 解線性諧振子的方程可以得到系統(tǒng)能量為? $E_n%3D%5Chbar%5Comega(n%2B0.5)$ ,? n≥0.? 可以把 ?ω 看作一份量子(quanta),? 那么 n 則是系統(tǒng)的占有數(shù),? 當(dāng)系統(tǒng)處于基態(tài)時能量為 0.5?ω,? 占有數(shù)為0,? 那么這時稱系統(tǒng)能量為零點(diǎn)能(zero-point energy, 或真空能 vacuum energy).

線性諧振子的定態(tài)薛定諤方程為? $%5Chat%20H%5Cpsi%3DE%5Cpsi$ ,? 其中哈密頓算符 H? 為? $-%5Cfrac%7B%5Chbar%5E2%7D%7B2m%7D%5Cfrac%7Bd%5E2%7D%7Bdx%5E2%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dm%5Comega%5E2x%5E2$ ?,? 記? $%5Cxi%3D%5Csqrt%7B%5Cfrac%7Bm%5Comega%7D%7B%5Chbar%7D%7Dx$ ,? 那么 H? 為 $%5Cfrac%7B%5Chbar%5Comega%7D%7B2%7D%5Cleft(%5Cxi%5E2-%5Cfrac%7Bd%5E2%7D%7Bd%5Cxi%5E2%7D%5Cright)%3D%5Cfrac%7B%5Chbar%5Comega%7D%7B2%7D%5Cleft(%5Cleft(%5Cxi-%5Cfrac%7Bd%7D%7Bd%5Cxi%7D%5Cright)%5Cleft(%5Cxi%2B%5Cfrac%7Bd%7D%7Bd%5Cxi%7D%5Cright)%2B%5Cxi%5Cfrac%7Bd%7D%7Bd%5Cxi%7D-%5Cfrac%7Bd%7D%7Bd%5Cxi%7D%5Cxi%5Cright)$ ,? 并且有? $%5Cxi%5Cfrac%7Bd%7D%7Bd%5Cxi%7D-%5Cfrac%7Bd%7D%7Bd%5Cxi%7D%5Cxi%3D1$ ,? 于是得到 H? 為 $%5Cfrac%7B%5Chbar%5Comega%7D%7B2%7D%5Cleft(%5Cleft(%5Cxi-%5Cfrac%7Bd%7D%7Bd%5Cxi%7D%5Cright)%5Cleft(%5Cxi%2B%5Cfrac%7Bd%7D%7Bd%5Cxi%7D%5Cright)%2B1%5Cright)$ .

定義算符 $%5Chat%20a%3D%5Csqrt%7B%5Cfrac%7Bm%5Comega%7D%7B2%5Chbar%7D%7D%5Cleft(%5Chat%20x%2B%5Cfrac%7Bi%7D%7Bm%5Comega%7D%5Chat%20p%5Cright)$ ,? 和它的共軛算符 $%5Chat%20a%5E%5Cdagger%3D%5Csqrt%7B%5Cfrac%7Bm%5Comega%7D%7B2%5Chbar%7D%7D%5Cleft(%5Chat%20x-%5Cfrac%7Bi%7D%7Bm%5Comega%7D%5Chat%20p%5Cright)$ ,? 其中動量算符為 $%5Chat%20p%3D-i%5Chbar%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdx%7D$ .? 對兩個算符變換坐標(biāo)得到? $%5Chat%20a%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt2%7D%5Cleft(%5Cxi%2B%5Cfrac%7Bd%7D%7Bd%5Cxi%7D%5Cright)%3B%5C%3B%5Chat%20a%5E%5Cdagger%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt2%7D%5Cleft(%5Cxi-%5Cfrac%7Bd%7D%7Bd%5Cxi%7D%5Cright)$ ,? 那么 H? 重寫為 $%5Chbar%5Comega%5Cleft(%5Chat%20a%5E%5Cdagger%5Chat%20a%2B0.5%5Cright)$ .? 結(jié)合上面討論知道 $%5Chat%20a%5E%5Cdagger%5Chat%20a$ 表征著占有數(shù) n,? 于是得到占有數(shù)算符? $%5Chat%20N%3D%5Chat%20a%5E%5Cdagger%5Chat%20a$ .

由厄米多項式的遞推關(guān)系可以得出線性諧振子特征函數(shù)的遞推關(guān)系 $%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%5Cxi%5Cpsi_n%3D%5Csqrt%7Bn%2F2%7D%5Cpsi_%7Bn-1%7D%2B%5Csqrt%7Bn%2F2%2B0.5%7D%5Cpsi_%7Bn%2B1%7D%5C%5Cd%5Cpsi_n%2Fd%5Cxi%3D%5Csqrt%7Bn%2F2%7D%5Cpsi_%7Bn-1%7D-%5Csqrt%7Bn%2F2%2B0.5%7D%5Cpsi_%7Bn%2B1%7D%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.$ .? 用狄拉克符號記定態(tài)薛定諤方程為? $%5Chat%20H%7Cn%5Crangle%3DE_n%7Cn%5Crangle$ ,? 根據(jù)上面的遞推關(guān)系不難知道有? $%5Chat%20a%7Cn%5Crangle%3D%5Csqrt%20n%7Cn-1%5Crangle%3B%5C%3B%5Chat%20a%5E%5Cdagger%7Cn%5Crangle%3D%5Csqrt%7Bn%2B1%7D%7Cn%2B1%5Crangle$ ,? 于是得到算符 a? 的作用是將系統(tǒng)減去一份量子,? 而它的共軛是將系統(tǒng)加上一份量子,? 所以分別稱為湮滅算符和產(chǎn)生算符.? 不難知道兩個算符的矩陣表達(dá)為? $%5Chat%20a%3D%5Csum_%7Bn%3D0%7D%5E%5Cinfty%5Csqrt%7Bn%2B1%7D%7Cn%5Crangle%5Clangle%20n%2B1%7C%3B%5C%3B%5Chat%20a%5E%5Cdagger%3D%5Csum_%7Bn%3D0%7D%5E%5Cinfty%5Csqrt%7Bn%2B1%7D%7Cn%2B1%5Crangle%5Clangle%20n%7C$ ,? 根據(jù)兩算符的矩陣表達(dá)可以得到占有數(shù)算符的矩陣表達(dá)? $%5Chat%20N%3D%5Csum_%7Bn%3D0%7D%5E%5Cinfty%20n%7Cn%5Crangle%5Clangle%20n%7C$ .

由位置算符與動量算符的對易關(guān)系 [x?,p?] = i? 知道,? 湮滅算符和產(chǎn)生算符滿足關(guān)系? $%5Chat%20a%5Chat%20a%5E%5Cdagger-%5Chat%20a%5E%5Cdagger%5Chat%20a%3D1$ ,? 當(dāng)滿足這樣的關(guān)系時,? 則稱這兩個算符是玻色子算符.? 另外,? 如果滿足關(guān)系? $%5Chat%20a%5Chat%20a%20%5E%5Cdagger%2B%5Chat%20a%5E%5Cdagger%5Chat%20a%3D1$ ?時,? 則稱這是費(fèi)米子算符.? 不難知道,? 在上面的例子里,? 所有量子都是處于??ω 這個能量,? 即符合玻色-愛因斯坦統(tǒng)計分布,? 當(dāng)算符為費(fèi)米子算符時,? 量子符合費(fèi)米-狄拉克統(tǒng)計分布,? 并遵從泡利不相容原理,? 但這都是后話了.

摸了

推一下瑟圖群 [274767696]

封面pid:??43077847

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