今天來(lái)聊同濟(jì)版《高等數(shù)學(xué)》上第二種常微分方程的題型，然后接著昨天的內(nèi)容把均衡價(jià)格的內(nèi)容講完，最后來(lái)聊聊曼昆書(shū)上對(duì)十條經(jīng)濟(jì)學(xué)原理的闡釋。

part 1 同濟(jì)《高等數(shù)學(xué)》常微分方程部分

昨天聊了最簡(jiǎn)單的一種常微分方程的形式，以及對(duì)應(yīng)的方法——直接法，直接可以用不定積分解決的常微分方程的形式，不過(guò)這種類(lèi)型的題目，把不定積分那一章學(xué)好就可以了，一般常微分方程教材不會(huì)作多贅述。

今天聊第二種簡(jiǎn)單的常微分方程——可分離變量的一階微分方程，一般也就是普通“高數(shù)”教材會(huì)詳細(xì)介紹的第一種類(lèi)型，如果是“常微”的教材會(huì)從“恰當(dāng)方程”，即“全微分方程‘開(kāi)始說(shuō)起。

先復(fù)習(xí)”微分方程“基本定義——

微分方程的基本概念——

微分方程——含有一個(gè)函數(shù)不同階導(dǎo)數(shù)構(gòu)成的方程，就是微分方程。

常微分方程——一元函數(shù)構(gòu)成的微分方程。

偏微分方程——多元函數(shù)關(guān)于其中一個(gè)自變量的微分方程。

全微分方程——等式左端是一個(gè)多元函數(shù)的全微分，右端是零的形式。

微分方程的解——一個(gè)滿(mǎn)足等式的函數(shù)。

《高等數(shù)學(xué)》上涉及的是“微分方程”的十種常見(jiàn)類(lèi)型，今天聊類(lèi)型二——

分離變量的方法——顧名思義，就是說(shuō)，我們可以把所有的含x或者dx的項(xiàng)移到等式一邊，把所有y和dy移到另外一邊，而且這里面，dx和dy的關(guān)系一定是相除的關(guān)系dx/dy，dx和含x的式子，dy和含y的式子一定是相乘的形式，然后一起積分就好。

所謂dx指的是關(guān)于x的微分，我們運(yùn)算的時(shí)候，可以把它看作一個(gè)數(shù)直接加減乘除。

比如說(shuō)，對(duì)微分方程，dy/dx=2xy^2，我們按照上述形式進(jìn)行改寫(xiě)——dy/y^2=2xdx，之后兩邊取積分即可，得到-1/y=x^2+C。

這種類(lèi)型的題目，依然對(duì)不定積分的技巧積累要求比較高，常用的不定積分記得越多越好。

part 2.1?經(jīng)濟(jì)學(xué)概念——高鴻業(yè)

高鴻業(yè)《西方經(jīng)濟(jì)學(xué)》第二章第四節(jié)：均衡價(jià)格——

第二章第四節(jié)內(nèi)容，引入了“均衡”這個(gè)概念——這是本書(shū)在“需求曲線”“供給曲線”之后，利用這兩個(gè)工具闡釋的一個(gè)經(jīng)濟(jì)學(xué)重要概念。

我們先復(fù)習(xí)一下，需求、供給的定義——

需求數(shù)量的定義——一種商品的需求數(shù)量是指消費(fèi)者在一定時(shí)期內(nèi)愿意并且能夠購(gòu)買(mǎi)的這種商品的數(shù)量。

供給數(shù)量的定義——一種商品的供給數(shù)量是指生產(chǎn)者在一定時(shí)期內(nèi)愿意并且能夠提供出售的這種商品的數(shù)量。

由此我們引入均衡價(jià)格的闡釋中——微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)中的商品價(jià)格是指商品的均衡價(jià)格。

接著引入本節(jié)重點(diǎn)概念——

均衡價(jià)格——商品的均衡價(jià)格是在商品的市場(chǎng)需求和市場(chǎng)供給這兩種相反力量的相互作用下形成的。

均衡——經(jīng)濟(jì)事物中有關(guān)的變量在一定條件下的相互作用下所達(dá)到的一種相對(duì)靜止的狀態(tài)——

1. 有關(guān)該經(jīng)濟(jì)事物的各參與者力量能夠相互制約和相互抵消；

2. 有關(guān)該經(jīng)濟(jì)事物的各方面經(jīng)濟(jì)行為者的愿望在一定條件下都能得到滿(mǎn)足；

3. 經(jīng)濟(jì)學(xué)的研究——尋找均衡狀態(tài)。

均衡價(jià)格——商品的市場(chǎng)需求量和市場(chǎng)供應(yīng)量相等時(shí)的價(jià)格。

均衡數(shù)量——在均衡價(jià)格水平上的相等的供求數(shù)量。

均衡點(diǎn)——一種商品市場(chǎng)的均衡出現(xiàn)在該商品的市場(chǎng)需求曲線和市場(chǎng)供給曲線的交點(diǎn)上，該交點(diǎn)稱(chēng)為均衡點(diǎn)——均衡點(diǎn)上的價(jià)格和相等的供求量分別被稱(chēng)為均衡價(jià)格和均衡數(shù)量。

市場(chǎng)出清的狀態(tài)——市場(chǎng)的均衡價(jià)格水平上需求量和供給量相等的狀態(tài)。

注：均衡狀態(tài)也就是市場(chǎng)的變化方向。

我們繼續(xù)聊均衡價(jià)格的變動(dòng)和均衡價(jià)格決定的數(shù)學(xué)模型——

首先復(fù)習(xí)相關(guān)概念——

需求的增加——任何一個(gè)既定的價(jià)格水平上其他因素的變動(dòng)使得該商品的需求數(shù)量都增加了，則成為需求的增加——表現(xiàn)為需求曲線的位置向右移動(dòng)

供給的增加——任何一個(gè)既定的價(jià)格水平上其他因素的變動(dòng)使得該商品的供給數(shù)量都增加了，則稱(chēng)為供給的增加——表現(xiàn)為供給曲線的位置向右移動(dòng)

由此我們得到均衡價(jià)格的變動(dòng)規(guī)律——

需求變動(dòng)的影響——在供給不變的條件下，需求增加會(huì)使需求曲線向右平移——均衡價(jià)格和均衡數(shù)量都提高；

供給變動(dòng)的影響——在需求不變的情況下，供給增加會(huì)使供給曲線向右平移——均衡價(jià)格下降，均衡數(shù)量增加。

需求和供給同時(shí)變動(dòng)的影響——綜合分析。

接著聊均衡價(jià)格決定的數(shù)學(xué)模型——數(shù)學(xué)方程組——應(yīng)用題，手動(dòng)滑稽。

就是給一個(gè)供給函數(shù)，在給一個(gè)需求函數(shù)，然后求均衡價(jià)格和均衡數(shù)量。

因?yàn)榫鈨r(jià)格供給數(shù)量=需求數(shù)量的時(shí)候的價(jià)格，所以得到一個(gè)等式，求出均衡價(jià)格P；代入供給函數(shù)或者需求函數(shù)得到均衡數(shù)量即可。

至此得到了競(jìng)爭(zhēng)性市場(chǎng)的需求、供給和均衡價(jià)格的基本原理。

part 2.2?經(jīng)濟(jì)學(xué)概念——曼昆

我們來(lái)逐一介紹曼昆《經(jīng)濟(jì)學(xué)原理》上的原理，曼昆的經(jīng)濟(jì)學(xué)的十條原理第一條：ppl（people）face trade-offs? 人們無(wú)時(shí)無(wú)刻不面臨選擇——對(duì)應(yīng)高鴻烈書(shū)上原則的第二條：世上沒(méi)有免費(fèi)的午餐，意思很簡(jiǎn)單，我們想要得到什么，必然伴隨著失去什么。

曼昆舉了以下幾個(gè)例子說(shuō)明這個(gè)問(wèn)題：

1.勤奮的學(xué)生面臨學(xué)不學(xué)習(xí)，以及，學(xué)什么的選擇——無(wú)論他選擇了什么，都意味著同一時(shí)間放棄了另一些東西，比如他今天下午選擇學(xué)習(xí)，就不能出去玩，或者打工賺錢(qián)，如果他選擇今天下午學(xué)心理學(xué)，那么今天下午就不能學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)，類(lèi)似；

2.”guns or butter“；

3.政府面臨保護(hù)環(huán)境還是保證民生的抉擇——如果出臺(tái)法令保護(hù)環(huán)境，那么生產(chǎn)成本都會(huì)因此提高，那么收入就會(huì)下降，工人的收入會(huì)因之削減；

4.政府面對(duì)效率還是公平的選擇——選擇公平需要對(duì)收入進(jìn)行再分配，那么會(huì)影響到富人的利益，于是大家工作積極性就會(huì)下降，所以整個(gè)社會(huì)的效率就會(huì)下降?！@句話很有意思。

等等，都是為了說(shuō)明，有舍才有得，沒(méi)有不勞而獲事情！