牛頓322、△y表示函數(shù)值的變化，dy的真正含義是對這種變化的逼近

微分到底是什么意思？實(shí)際意義是什么？——網(wǎng)友提問

…微、分、微分：見《牛頓321》…

…意、義、意義：見《歐幾里得26》…

（…《歐幾里得》：小說名…）

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湖心亭看雪（編輯于2018-01-25，2584人贊同了該回答）：

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話說當(dāng)年學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)和微分的時(shí)候，我也是一頭霧水。

…學(xué)、習(xí)、學(xué)習(xí)：見《牛頓160》…

…導(dǎo)、數(shù)、導(dǎo)數(shù)：見《牛頓288~294》…

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當(dāng)時(shí)我的感覺就是都有導(dǎo)數(shù)了，干嘛還要微分？？而且微分看起來和導(dǎo)數(shù)長的那么像，咋看都像是導(dǎo)數(shù)的重復(fù)。

最讓我迷惑的是dx這個(gè)玩意，一會可以用來約分，一會又可以當(dāng)做0，那么這兩個(gè)不是矛盾的嗎？？？比如下面一個(gè)例子：

…d：differential（微分）首字母…

[differential（英語）：n.（名詞）差別；差額；差價(jià)；（尤指同行業(yè)不同工種的）工資級差。

adj.（形容詞）差別的；以差別而定的；有區(qū)別的。

——《牛頓321》

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dx什么意思？？——網(wǎng)友提問

2019-09-07，想玩游戲的貓：d（x）代表對x求微分。

dy/dx?中的d是“微小的增量”的意思，也就是指微小的增量y除以微小的增量x。在函數(shù)中是，微分的意思。

dx就是對x的微分，是把增量細(xì)微化，dx就是很小很小的一個(gè)x。

——《牛頓3》]

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…約、分、約分：見《歐幾里得107》…

…矛、盾、矛盾：見《歐幾里得72》…

今天終于有時(shí)間來好好弄明白這個(gè)問題了。

…時(shí)、間、時(shí)間：見《伽利略10》…

（…《伽利略》：小說名…）

…問、題、問題：見《伽利略76》…

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有人建議說要搞懂這個(gè)問題，要從微積分的發(fā)展史來看。

…發(fā)、展、發(fā)展：見《伽利略21》…

…史：見《歐幾里得111》…

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確實(shí)是這樣，不過我不建議上來就看這個(gè)歷史，我會放在第二部分來講。

…歷、史、歷史：見《歐幾里得111》…

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因?yàn)樯蟻砭涂礆v史，先入為主，會造成更加的混亂。

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一、微分的本質(zhì)

…本、質(zhì)、本質(zhì)：見《歐幾里得22》…

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我直接先下個(gè)結(jié)論：微分本質(zhì)是一個(gè)微小的線性變化量，是用一個(gè)線性函數(shù)作為原函數(shù)變化的逼近（或者叫近似）。

…結(jié)、論、結(jié)論：見《歐幾里得66》…

…線：見《歐幾里得175》…

…性：1.物質(zhì)所具有的性能；物質(zhì)因含有某種成分而產(chǎn)生的性質(zhì)：黏～。彈～。藥～。堿～。油～。2.后綴，加在名詞、動詞或形容詞之后構(gòu)成抽象名詞或?qū)傩栽~，表示事物的某種性質(zhì)或性能：黨～。紀(jì)律～。創(chuàng)造～。適應(yīng)～。優(yōu)越～。普遍～。先天～。流行～…見《歐幾里得10》…

…變、化、變化：見《伽利略10》…

…量：見《歐幾里得27》…

…函、數(shù)、函數(shù)：見《歐幾里得52》…

微分的定義是從導(dǎo)數(shù)而來的，我們簡單回顧一下。

…定、義、定義：見《歐幾里得28》…

…簡、單、簡單：見《伽利略13》…?

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由導(dǎo)數(shù)的定義有（△x→0）lim（△y/△x）=a=f’（x）

…△：讀音是“德爾塔”。音標(biāo)為/delt?/。

在物理學(xué)中，△常常作為變量的前綴使用，表示該變量的變化量，如：△t（時(shí)間變化量）、△T（溫度變化量）、△X（位移變化量）、△v（速度變化量）等等…見《牛頓8》…

[當(dāng)函數(shù)y=f（x）的自變量x在一點(diǎn)x0上產(chǎn)生一個(gè)增量Δx時(shí)，函數(shù)輸出值的增量Δy與自變量增量Δx的比值在Δx趨于0時(shí)的極限a如果存在，a即為在x0處的導(dǎo)數(shù)，記作f'（x0）或df（x0）/dx。

——《牛頓288》]

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∵（因?yàn)椋?在自變量的同一變化過程x→x0（x→∞）中，函數(shù)f（x）具有極限A的充分必要條件是f（x）=A+α，其中α是無窮?。ㄗC明見《牛頓309》）；

…極、限、極限：見《歐幾里得202~321》…

…α：Alpha（大寫Α，小寫α，中文音譯：阿爾法、阿拉法），是第1個(gè)希臘字母…

…無、窮、無窮，小，無窮小：見《牛頓280~283》…

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（△x→0）lim（△y/△x）=a=f’（x）。

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∴（所以） △y/△x=f’（x）+α，其中α是無窮小。

∴ △y=-f’（x）△x+α△x；（△x→0）lim α=0。

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[∵ 有限個(gè)無窮小的乘積是無窮?。ㄗC明見《牛頓316》）。

∴ α△x是無窮小。]

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當(dāng)△X趨近于0，顯然有△y≈f’（x）△x。

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現(xiàn)在我們將f’（x）△x定義為dy。而△y表示的是函數(shù)值的變化。顯然dy的真正含義是對這種變化的逼近。也就是說，我們定義微分，就是想借助微分這個(gè)工具來研究函數(shù)的變化趨勢。

…工、具、工具：見《歐幾里得161、162》…

…研、究、研究：見《歐幾里得42》…

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從上面你可以明白兩件事：第一，微分、即dy，不是一個(gè)符號哦，是真的有具體值的，它的值為f’（x）△x。

…符、號、符號：見《歐幾里得160、161》…

…值：見《歐幾里得74》…

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第二，觀察下f’（x）△x，顯然是一個(gè)關(guān)于△x的線性函數(shù)，因此微分其實(shí)在一點(diǎn)處，用一個(gè)線性函數(shù)的變化來逼近函數(shù)的變化。

你懂的，線性的東西，其規(guī)律好掌握嘛。

…規(guī)、律、規(guī)律：見《歐幾里得43》…

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好了，這下你明白微分到底是什么含義了吧。

…含、義、含義：見《歐幾里得193》…

“dy和dx表示的就是y和x的變化量，是一種具體的量，跟我們通常理解的變化差額沒什么本質(zhì)區(qū)別，只不過因?yàn)椤鱔趨近0這種極限的性質(zhì)，讓他變得特殊一點(diǎn)而已。

請看下集《牛頓323、微分是沿著極限、導(dǎo)數(shù)、微分這個(gè)次序架構(gòu)的》”

若不知曉歷史，便看不清未來

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