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最近我們被客戶要求撰寫關(guān)于風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值的研究報(bào)告，包括一些圖形和統(tǒng)計(jì)輸出。

此分析的目的是構(gòu)建一個(gè)過程，以在給定時(shí)變波動(dòng)性的情況下正確估計(jì)風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值。風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值被廣泛用于衡量金融機(jī)構(gòu)的市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)。我們的時(shí)間序列數(shù)據(jù)包括 1258 天的股票收益

介紹

為了解釋每日收益率方差的一小部分，我們使用 Box-Jenkins 方法來擬合自回歸綜合移動(dòng)平均 (ARIMA) 模型，并測(cè)試帶下劃線的假設(shè)。稍后，當(dāng)我們尋找替代方案、最佳擬合分布形式時(shí)，我們會(huì)檢查收益率的正態(tài)性。我們使用廣義自回歸異方差 (GARCH) 方法估計(jì)殘差的條件方差，并將其與 delta-normal 方法進(jìn)行比較。

數(shù)據(jù)

出于建模過程的目的，我們每天收集了 5 年（2013 年 2 月至 2018 年 2 月）的花旗公司股票（共 1259 個(gè)觀察樣本）。

?#?加載庫library(tidyverse)#?加載數(shù)據(jù)read.csv('stock.csv',?header?=?T)#?每只股票一欄plot(?y?=?stok$C?,?geo?=?'line')

紅線表示此特定時(shí)間范圍內(nèi)的平均收盤價(jià)。

非平穩(wěn)過程具有隨時(shí)間變化的均值、方差和協(xié)方差。使用非平穩(wěn)時(shí)間序列數(shù)據(jù)會(huì)導(dǎo)致預(yù)測(cè)不可靠。平穩(wěn)過程是均值回歸的，即它在具有恒定方差的恒定均值附近波動(dòng)。在我們的例子中，平穩(wěn)性是指平穩(wěn)時(shí)間序列滿足三個(gè)條件的弱平穩(wěn)性：

為了解決這個(gè)問題，我們主要使用差分法。一階差分可以描述為

對(duì)于平穩(wěn)性變換，我們更傾向于計(jì)算簡單的日收益，表示如下

ret?=?diff(stoks$C)?/?socs$C[-legth]?plot(x?=?1:length,?y?=?res?)

為了驗(yàn)證收益率的平穩(wěn)性，我們使用了 Dickey-Fuller 檢驗(yàn)，其中零假設(shè)表示非平穩(wěn)時(shí)間序列。

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Python計(jì)算股票投資組合的風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值（VaR）

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01

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adf.test(ret)

小的 P 值 (<0.01) 表明有足夠的證據(jù)拒絕原假設(shè)，因此時(shí)間序列被認(rèn)為是平穩(wěn)的。

Box-Jenkins 方法

對(duì)于時(shí)間序列分析，Box-Jenkins 方法應(yīng)用 ARIMA 模型來找到代表生成時(shí)間序列的隨機(jī)過程的時(shí)間序列模型的最佳擬合。該方法使用三階段建模方法：a)?識(shí)別，b)?估計(jì)，c)?診斷檢查。

識(shí)別

要使用 Box-Jenkins 方法，我們必須確保時(shí)間序列是平穩(wěn)的。在我們的例子中，我們使用我們?cè)谇耙徊糠种幸呀?jīng)檢查過平穩(wěn)性的股票的收益率。此外，基于自相關(guān)函數(shù) (ACF) 和偏自相關(guān)函數(shù) (PACF)，可以確定 ARIMA 模型的 p、d 和 q 階。識(shí)別模型的另一種方法是 Akaike 信息準(zhǔn)則 (AICc)。AIC 估計(jì)每個(gè)模型相對(duì)于其他每個(gè)模型的質(zhì)量。

其中

• ∑u^2= 殘差平方和

• T = 觀察次數(shù)

• k = 模型參數(shù)的數(shù)量 (p + q + 1)

很明顯，當(dāng)模型中加入額外的滯后參數(shù)時(shí)，殘差總和會(huì)減少，但可能會(huì)出現(xiàn)過擬合的問題。AIC 處理過擬合和欠擬合的風(fēng)險(xiǎn)。將選擇 AIC 最低的模型。

auto.arima(rets?)

可以通過上面的過程觀察到我們計(jì)算了各種 ARIMA 模型的 AIC ，并且我們推斷出合適的模型是?二階自回歸 (AR(2))。

估計(jì)

為了估計(jì)參數(shù)的系數(shù)，我們使用最大似然。使用ARIMA(2, 0, 0)作為選擇模型，結(jié)果如下：

model

因此，該過程可以描述為：

rt=0.0437?rt?1?0.0542?rt?2+?t 其中 ?t 是白噪聲

診斷檢查

該程序包括觀察殘差圖及其 ACF & PACF 圖，并檢查 Ljung-Box 測(cè)試結(jié)果。如果模型殘差的 ACF 和 PACF 沒有顯示顯著滯后，則所選模型是合適的。

ggtsdisplay(plot)

ACF 和 PACF 圖很相似，自相關(guān)似乎為零。右下角圖表示殘差與正態(tài)分布 N(0, σ2σ2) 相比的直方圖。

為了進(jìn)一步檢驗(yàn)殘差不相關(guān)的假設(shè)，我們執(zhí)行 Ljung-Box 檢驗(yàn)。

QLB統(tǒng)計(jì)量不對(duì)稱地遵循具有 mpq 自由度的 X2 分布。零假設(shè)是指 H0:ρ1=ρ2=?=ρm=0

Box.test(resiuas)

我們不能拒絕原假設(shè)，因此殘差的過程表現(xiàn)得像白噪聲，所以沒有可能被建模。

GARCH 實(shí)現(xiàn)

盡管殘差的 ACF 和 PACF 沒有顯著滯后，但殘差的時(shí)間序列圖顯示出一些集群波動(dòng)。重要的是要記住，ARIMA 是一種對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行線性建模的方法，并且預(yù)測(cè)寬度保持不變，因?yàn)樵撃Ｐ筒粫?huì)反映最近的變化或包含新信息。為了對(duì)波動(dòng)性進(jìn)行建模，我們使用自回歸條件異方差 (ARCH) 模型。ARCH 是時(shí)間序列數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)模型，它將當(dāng)前誤差項(xiàng)的方差描述為先前時(shí)間段誤差項(xiàng)實(shí)際大小的函數(shù)。

我們假設(shè)感興趣的時(shí)間序列 rtrt 被分解為兩部分，可預(yù)測(cè)和不可預(yù)測(cè)部分，

其中 It?1 是時(shí)間 t?1 的信息集，并且?

??t 是不可預(yù)測(cè)的部分。

不可預(yù)測(cè)的成分，可以表示為以下形式的 GARCH 過程：

其中 zt 是一個(gè)均值為零且方差等于 1 的獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列。?t的條件方差是 σt，它是時(shí)間 t?1信息集的時(shí)變函數(shù)。

下一步是定義誤差項(xiàng)分解的第二部分，即條件方差 σt。對(duì)于這樣的任務(wù)，我們可以使用 GARCH(1, 1) 模型，表示為：

當(dāng)殘差平方相關(guān)時(shí)，GARCH 過程有效。ACF 和 PACF 圖清楚地表明顯著相關(guān)性。

另一種檢驗(yàn)平方殘差異方差性的方法是對(duì) a1 和 β1參數(shù)進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)。

#模型定義ugarchpec(varin?,?????????????????????????mean.model??fit(sec?=?model.spec?')

a1和 β1都顯著不同于零，因此假設(shè)殘差隨時(shí)間變化的波動(dòng)率是合理的。

σt?12 項(xiàng)的連續(xù)替換，GARCH 方程可以寫為：

當(dāng)我們用優(yōu)化給出的系數(shù)估計(jì)替換時(shí)，我們得到以下等式：

鑒于 0<β1<1，隨著滯后的增加，殘差平方的影響減小。

風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值

風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值（VaR）是一種基于當(dāng)前頭寸的下行風(fēng)險(xiǎn)的統(tǒng)計(jì)量度。它估計(jì)在正常的市場(chǎng)條件下，一組投資在設(shè)定的時(shí)間段內(nèi)可能會(huì)有多少損失。?

VaR 統(tǒng)計(jì)具有三個(gè)組成部分：a)?時(shí)間段，b)?置信水平，c)?損失金額（或損失百分比）。對(duì)于 95% 的置信水平，我們可以說最壞的每日損失不會(huì)超過 VaR 估計(jì)。如果我們使用歷史數(shù)據(jù)，我們可以通過取 5% 的分位數(shù)值來估計(jì) VaR。對(duì)于我們的數(shù)據(jù)，這個(gè)估計(jì)是：

quante(res?,?0.05)

qplot(ret)

紅色條表示低于 5% 分位數(shù)的收益率。

分布特征

為了估計(jì) VaR，我們需要正確定義假設(shè)分布的相應(yīng)分位數(shù)。對(duì)于正態(tài)分布，對(duì)應(yīng)于 a = 5% 的分位數(shù)為 -1.645。經(jīng)驗(yàn)證據(jù)表明，正態(tài)性假設(shè)通常會(huì)產(chǎn)生較弱的結(jié)果。Jarque-Bera 檢驗(yàn)可以檢驗(yàn)股票收益服從正態(tài)分布的假設(shè)。

其中 S 是偏度，C 是峰度。正態(tài)分布樣本將返回JB 分?jǐn)?shù)。低 p 值表明股票收益不是正態(tài)分布的。

ja.tst(rets)

qplot(ret?,?gom?=?'desity')?+?geom_density

在上圖中，顯示了股票收益（藍(lán)色）和正態(tài)分布數(shù)據(jù)（紅色）的密度圖。下圖的垂直線代表 a = 0.05（淺綠色）和 a = 0.01（深綠色）的正常對(duì)應(yīng)分位數(shù)。下圖表明對(duì)于 95% 的顯著性，使用正態(tài)分布可能會(huì)高估風(fēng)險(xiǎn)值。但是，對(duì)于 99% 的顯著性水平，正態(tài)分布會(huì)低估風(fēng)險(xiǎn)。

學(xué)生的 t 分布

為了更充分地模擬尾部的厚度，我們可以對(duì)股票收益使用其他分布假設(shè)。t 分布是對(duì)稱的鐘形分布，就像正態(tài)分布一樣，但尾部較重，這意味著它更容易產(chǎn)生遠(yuǎn)離其均值的值。我們使用_rugarch 包中_的?fitdist?函數(shù)??來獲取 t 分布的擬合參數(shù)。

fitdispars

cat("對(duì)于 a =?0.05，正態(tài)分布的分位數(shù)值為："?,?????qnorm(p?=?0.05)?,?"\n"?,)

正如我們所觀察到的，95% 顯著性水平的分位數(shù)表明正態(tài)分布高估了風(fēng)險(xiǎn)，但 99% 未能發(fā)現(xiàn)異常值的存在，因此發(fā)生了對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的低估。

Garch VaR 和Delta-normal 方法

Delta-normal?方法假設(shè)所有股票收益都是正態(tài)分布的。這種方法包括回到過去并計(jì)算收益的方差。風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值可以定義為：

其中 μ 是平均股票收益，σ 是收益的標(biāo)準(zhǔn)差，a 是選定的置信水平，N?1 是逆 PDF 函數(shù)，生成給定 a 的正態(tài)分布的相應(yīng)分位數(shù)。

這種簡單模型的結(jié)果常常令人失望，如今很少在實(shí)踐中使用。正態(tài)性和恒定每日方差的假設(shè)通常是錯(cuò)誤的，我們的數(shù)據(jù)也是如此。

之前我們觀察到收益率表現(xiàn)出隨時(shí)間變化的波動(dòng)性。因此，對(duì)于 VaR 的估計(jì)，我們使用 GARCH(1,1) 模型給出的條件方差。我們使用學(xué)生的 t 分布。對(duì)于此方法，風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值表示為：

?是給定 t?1 信息的條件標(biāo)準(zhǔn)偏差，并且?

?是 t 分布的逆 PDF 函數(shù)。

qplot(y?=?rets?,?gom?=?'point')?+?gem_pnt(col?=?'lihtgrson')

紅線表示 GARCH 模型產(chǎn)生的 VaR，藍(lán)線表示 delta-normal VaR。

VaR預(yù)測(cè)

該?ugarchroll?方法允許執(zhí)行的模型/數(shù)據(jù)集組合的滾動(dòng)估計(jì)和預(yù)測(cè)。它返回計(jì)算預(yù)測(cè)密度的任何所需度量所需的分布預(yù)測(cè)參數(shù)。我們將最后 500 個(gè)觀測(cè)值設(shè)置為測(cè)試集，并對(duì)條件標(biāo)準(zhǔn)偏差進(jìn)行滾動(dòng)移動(dòng) 1 步預(yù)測(cè)，?

. 我們每 50 次觀察重新估計(jì) GARCH 參數(shù)。

roll?=?garhrol(spec?=?model.spec?)?#測(cè)試集?500?個(gè)觀察mean(ret)?+?rolldesiy[,'Siga']*qdist(dis='std',

回測(cè)

讓?

?是 T 期間股票收益率低于 VaR 估計(jì)值的天數(shù)，其中如果

? It 為?1，??和?如果?

?，?It 為?0?. 因此，N 是樣本中觀察到的異常數(shù)。正如 Kupiec (1995) 所論證的那樣，失敗數(shù)遵循二項(xiàng)式分布 B(T, p)。

for(i?in?1:50?p[i]=?(pbinom(q?=?(i-1?)?-?pbinom(q?))qplot(y?=?p?)

上圖表示由二項(xiàng)式分布給出的異常概率分布。預(yù)期數(shù)量為 25 (=500obs. x 5%)。兩條紅線表示 95% 的置信水平，較低的是?16??，較高的是?35。因此，當(dāng)我們檢查測(cè)試集上的異常時(shí)，我們期望 16 到 35 之間的數(shù)字表明 GARCH 模型預(yù)測(cè)成功。

plot(VaR95,?geom?=?'line')?+????geom_point

黑線代表 GARCH 模型給出的每日預(yù)測(cè) VaR，紅點(diǎn)代表低于 VaR 的收益率。最后一步是計(jì)算異常的數(shù)量，并將其與使用 delta-normal 方法生成的異常進(jìn)行比較。

cat('delta-normal 方法的異常數(shù)：',?(sum(rets[759:1258]?<?(mean(r]

正如我們之前所說，我們預(yù)計(jì) delta-normal 方法會(huì)高估風(fēng)險(xiǎn)?；販y(cè)時(shí)，只有 14 倍的收益率低于 VaR 低于 95% 顯著性水平 (<16)。另一方面，在這種特殊情況下，GARCH 方法（23 個(gè)例外）似乎是一種有效的預(yù)測(cè)工具。

參考

Angelidis T., Benos A. and Degiannakis S. (December 2003). The Use of GARCH Models in VaR Estimation.

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本文選自《R語言風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值：ARIMA，GARCH，Delta-normal法滾動(dòng)估計(jì)VaR（Value at Risk）和回測(cè)分析股票數(shù)據(jù)》。

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