2022年高考全國(guó)甲卷＆新高考Ⅱ卷導(dǎo)數(shù)大題

2022-06-09 12:34 作者:子瞻Louis 0人讀過(guò) | 我要投稿

今年高考題想必大家都已經(jīng)看過(guò)了，up只看了導(dǎo)數(shù)題，然后挑了兩個(gè)簡(jiǎn)單的做了一下，就是全國(guó)甲卷的和新高考Ⅱ卷的。

其實(shí)今年甲卷的導(dǎo)數(shù)題難度并不大，只不過(guò)一開始up也沒(méi)想到方法，看了別人的提示后才做出來(lái)。那么本期就來(lái)詳細(xì)解析一下今年的全國(guó)甲卷和新高考Ⅱ卷的導(dǎo)數(shù)題吧

全國(guó)甲卷

題目：已知? $f(x)%3D%5Cfrac%7Be%5Ex%7D%7Bx%7D-%5Cln%20x%2Bx-a$

若? $f(x)%5Cge0$ ?，求? $a$ ?的范圍；
若? $f(x)$ ?有兩個(gè)不同的零點(diǎn)? $x_1%2Cx_2$ ?，求證? $x_1x_2%3C1$ ?.

讀者可以先試著自己做一做

那么，下面正式開始了

第一問(wèn)

這一問(wèn)沒(méi)什么難度，先求導(dǎo)，得

$f'(x)%3D%5Cfrac%7B(x-1)e%5Ex%7D%7Bx%5E2%7D-%5Cfrac1x%2B1$

令? $f'(x)%3D0$ ?，得

$(x-1)(e%5Ex%2Bx)%3D0$

即解得? $x%3D1$ ?，又由于 $f''(1)%3De%2B1%3E0$ ?，所以 $f(x)%5Cge%20f(1)%3De%2B1-a%5Cge0$ ?，因此? $a%5Cle%20e%2B1$ ?.

第二問(wèn)

首先不妨假設(shè) $x_1%3Ex_2$ ，引入一個(gè)熟知的不等式，叫做對(duì)數(shù)均值不等式（ALG inequality）

$%5Csqrt%7Bx_1x_2%7D%3C%5Cfrac%7Bx_1-x_2%7D%7B%5Cln%20x_1-%5Cln%20x_2%7D$

作為一名善良的人道主義者（霧），這里還是會(huì)先證明這個(gè)不等式，令? $z%3D%5Cfrac%7Bx_1%7D%7Bx_2%7D%3E1$ ?，可以將上式轉(zhuǎn)化為證明

$g(z)%3D%5Csqrt%20z-%5Cfrac1%7B%5Csqrt%20z%7D-%5Cln%20z%3E0$

由于?

$%5Cbegin%7Balign%7Dg'(z)%26%3D%5Cfrac1%7B2%5Csqrt%20z%7D%2B%5Cfrac1%7B2%5Csqrt%7Bz%5E3%7D%7D-%5Cfrac1z%5C%5C%26%3D%5Cfrac1%7B2z%7D%5Cleft(%5Csqrt%20z%2B%5Cfrac1%7B%5Csqrt%20z%7D-2%5Cright)%5Cge0%5Cend%7Balign%7D$

上式僅當(dāng)? $z%3D1$ ?時(shí)取等，因此?? $g(z)%5Cge%20g(1)%3D0$ ?，而? $z%3E1$ ?，所以 $g(z)%3E0$ ?，然后就完成了對(duì)數(shù)均值不等式的證明?，F(xiàn)在回到題目，有

$%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Barray%7D%7Brcl%7D%20%5Cfrac%7Be%5E%7Bx_1%7D%7D%7Bx_1%7D-%5Cln%20x_1%2Bx_1%3Da%5C%5C%5Cfrac%7Be%5E%7Bx_2%7D%7D%7Bx_2%7D-%5Cln%20x_2%2Bx_2%3Da%20%5Cend%7Barray%7D%5Cright.$

由此可得

$%5Cfrac%7Be%5E%7Bx_1%7D%7D%7Bx_1%7D-%5Cln%20x_1%2Bx_1%3D%5Cfrac%7Be%5E%7Bx_2%7D%7D%7Bx_2%7D-%5Cln%20x_2%2Bx_2$

稍微變換一下，得到

$e%5E%7B%5Ccolor%7Bred%7D%7Bx_1-%5Cln%20x_1%7D%7D%2B%5Ccolor%7Bred%7D%7Bx_1-%5Cln%20x_1%7D%3De%5E%7B%5Ccolor%7Bblue%7D%7Bx_2-%5Cln%20x_2%7D%7D%2B%5Ccolor%7Bblue%7D%7Bx_2-%5Cln%20x_2%7D$

根據(jù)? $e%5Ex%2Bx$ ?的單調(diào)性可知

$x_1-%5Cln%20x_1%3Dx_2-%5Cln%20x_2$

由此可得

$x_1x_2%3C%5Cleft(%5Cfrac%7Bx_1-x_2%7D%7B%5Cln%20x_1-%5Cln%20x_2%7D%5Cright)%5E2%3D1$

Q.E.D.

嗯，相信讀者看完后也會(huì)覺(jué)得很簡(jiǎn)單吧。那么不妨再來(lái)看一道題吧

新高考Ⅱ卷

題目：已知? $f(x)%3Dxe%5E%7Bax%7D-e%5Ex$

當(dāng)? $a%3D1$ ?時(shí)，討論? $f(x)$ ?的單調(diào)性；
當(dāng)? $x%3E0$ ?時(shí)，若? $f(x)%3C-1$ ?，求? $a$ ?的范圍
設(shè)? $n$ ?為正整數(shù)，求證? $%5Cfrac1%7B%5Csqrt%7B1%5E2%2B1%7D%7D%2B%5Cfrac1%7B%5Csqrt%7B2%5E2%2B2%7D%7D%2B%5Cdots%2B%5Cfrac1%7B%5Csqrt%7Bn%5E2%2Bn%7D%7D%3E%5Cln(n%2B1)$

同樣，讀者可以先試著自己做一做

第一問(wèn)

直接導(dǎo)，得

$f'(x)%3Dxe%5Ex$

顯然當(dāng)? $x%3E0$ ?時(shí) $f(x)$ ?單調(diào)遞增， $x%3C0$ ?時(shí)單調(diào)遞減，有極小值? $f(0)%3D-1$

第二問(wèn)（非常規(guī)解法）

此方法千萬(wàn)不能在高考使用

先分參，得

$a%3C%5Cfrac%7B%5Cln(e%5Ex-1)-%5Cln%20x%7D%7Bx%7D%3Dg(x)$

將它稍微改寫一下

$%5Cbegin%7Baligned%7Dg(x)%26%3D1%2B%5Cfrac1x%5Cint_0%5Ex%5Cleft(%5Cfrac%7B1%7D%7Be%5Et-1%7D-%5Cfrac1t%5Cright)%5Cmathrm%20dt%5C%5C%26%3D1%2B%5Cint_0%5E1%5Cleft(%5Cfrac1%7Be%5E%7Bxt%7D-1%7D-%5Cfrac1%7Bxt%7D%5Cright)%5Cmathrm%20dt%5Cend%7Baligned%7D$

求導(dǎo)，得

$g'(x)%3D%5Cint_0%5E1t%5Cleft%5C%7B%5Cfrac1%7Bx%5E2t%5E2%7D-%5Cfrac%7Be%5E%7Bxt%7D%7D%7B(e%5E%7Bxt%7D-1)%5E2%7D%5Cright%5C%7D%5Cmathrm%20dt%3D%5Cint_0%5E1%20tp(xt)%5Cmathrm%20dt$

其中

$p(z)%3D%5Cfrac1%7Bz%5E2%7D-%5Cfrac%7Be%5E%7Bz%7D%7D%7B(e%5E%7Bz%7D-1)%5E2%7D$

有? $p(z)%5Cge0%5Cquad(z%3E0)%20%5CRightarrow%20g'(x)%5Cge0%5Cquad(x%3E0)$ ?，因此欲證? $g'(x)%5Cge0$ 只需證明

$%5Cfrac%7Be%5Ez-1%7Dz%5Cge%20e%5E%7Bz%2F2%7D$

將它們展開為冪級(jí)數(shù)，即可得

$%5Cbegin%7Balign%7D%5Cfrac%20%7Be%5Ez-1%7Dz-e%5E%7Bz%2F2%7D%26%3D%5Csum_%7Bn%3D0%7D%5E%5Cinfty%20%5Cfrac%7Bz%5En%7D%7B(n%2B1)!%7D-%5Csum_%7Bn%3D0%7D%5E%5Cinfty%20%5Cfrac%7Bz%5En%7D%7B2%5En%5Ccdot%20n!%7D%5C%5C%26%3D%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%5Cinfty%5Cleft(%5Cfrac1%7Bn%2B1%7D-%5Cfrac1%7B2%5En%7D%5Cright)%5Cfrac%7Bz%5En%7D%7Bn!%7D%5Cend%7Balign%7D$

因?yàn)? $n%5Cge1$ ?時(shí)總有 $2%5En%5Cge%20n%2B1$ ?，因此 $z%5Cge0$ ?時(shí) $p(z)%5Cge0$ ?， $z%3D0$ ?時(shí)取等，也就是說(shuō)? $a$ ?需要小于等于? $g(x)$ 在? $x%5Cto0%5E%2B$ ?時(shí)的極限，有

$%5Cbegin%7Baligned%7D%5Clim_%7Bx%5Cto0%5E%2B%7D%5Cfrac%7B%5Cln(e%5Ex-1)-%5Cln%20x%7D%7Bx%7D%26%3D%5Clim_%7Bx%5Cto0%5E%2B%7D%5Cfrac%7B%5Cln(1%2B%5Cfrac12x%2Bo(x%5E2))%7D%7Bx%7D%5C%5C%26%3D%5Clim_%7Bx%5Cto0%5E%2B%7D%5Cfrac%7B%5Cfrac12x%2Bo(x%5E2)%7D%7Bx%7D%3D%5Cfrac12%5Cend%7Baligned%7D$