單擺周期公式
單擺的運(yùn)動(dòng)方程如下，
其中??，
? 為擺長(zhǎng)。一般在討論小角擺動(dòng)時(shí)，我們會(huì)近似認(rèn)為?
，從而簡(jiǎn)化成簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的方程。但本文選擇嚴(yán)格求解原方程。
首先，兩邊同乘以?，
上式可以寫(xiě)成全導(dǎo)數(shù)的形式，
這樣就能輕松完成第一次積分，
假設(shè)單擺是從??處自由釋放，即初始條件為，
，
，由此可以定出積分常數(shù)，
代回方程可得，
開(kāi)根整理后變?yōu)椋?/p>
其中?。由對(duì)稱(chēng)性可知，單擺從最低點(diǎn)到達(dá)最高點(diǎn)的時(shí)間為
?個(gè)周期，我們選擇這段運(yùn)動(dòng)進(jìn)行積分，
令 ?，變換后
?對(duì)應(yīng)的積分區(qū)間為?
，對(duì)兩邊求微分，
整理可得，
積分變?yōu)椋?/p>
利用第一類(lèi)完全橢圓積分，
可以把單擺的周期表示為，
利用級(jí)數(shù)展開(kāi)，
將??中的被積函數(shù)展開(kāi)為，
于是問(wèn)題轉(zhuǎn)化成了對(duì)每一項(xiàng)的積分，
詳細(xì)積分過(guò)程見(jiàn)后文附錄，其結(jié)果為，
于是，我們得到了第一類(lèi)完全橢圓積分的級(jí)數(shù)解，
代回周期公式，
在小角近似下，只保留第一項(xiàng)，
附錄
計(jì)算積分，
以下提供兩種求解方法。
1.?遞推公式
首先計(jì)算前兩項(xiàng)，
對(duì)于??可進(jìn)行如下計(jì)算，
利用分部積分，
遞推公式為，
分奇偶討論，
2. Beta 函數(shù)
利用 Gamma 函數(shù)的定義，
令?，
做這個(gè)變量替換的目的是方便轉(zhuǎn)換到極坐標(biāo)，
由此可以定義 Beta 函數(shù)，
根據(jù)定義，
進(jìn)一步計(jì)算需要利用 Gamma 函數(shù)的如下性質(zhì)，
分奇偶討論，
