拓端tecdat|使用R語言做極大似然估計(jì)實(shí)例
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在普遍的理解中，最大似然估計(jì)是使用已知的樣本結(jié)果信息來反向推斷最有可能導(dǎo)致這些樣本結(jié)果的模型參數(shù)值！
換句話說，最大似然估計(jì)提供了一種在給定觀測(cè)數(shù)據(jù)的情況下評(píng)估模型參數(shù)的方法，即“模型已確定且參數(shù)未知”。
在所有雙射函數(shù)的意義上，極大似然估計(jì)是不變的 ?
，如果 ?
?是
的極大似然估計(jì) ?
? ?。
讓 ?
，? ?
?等于 ?
中的似然函數(shù)。由于 ?
?是的最大似然估計(jì) ?
，
因此， ?
?是
的最大似然估計(jì) ?。
例如，伯努利分布為 ?
?，??
?
?
給定樣本 ?
，概率是
?
則對(duì)數(shù)似然
?
與ICI
?
因此，一階條件
?
何時(shí)滿足 ?
。為了說明，考慮以下數(shù)據(jù)
> X[1] 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1
（負(fù)）對(duì)數(shù)似然
> loglik=function(p){+ -sum(log(dbinom(X,size=1,prob=p)))+ }
我們可以在下面看到
> plot(u,v,type="l",xlab="",ylab="")
根據(jù)以上計(jì)算，我們知道的極大似然估計(jì)?
?是
> mean(X)[1] 0.53
數(shù)值為
$par[1] 0.53$value[1] 10.36$countsfunction gradient20 NA$convergence[1] 0$messageNULL
我們沒有說優(yōu)化是在區(qū)間內(nèi)?
。但是，我們的概率估計(jì)值屬于?
。為了確保最優(yōu)值在?
，我們可以考慮一些約束優(yōu)化程序
ui=matrix(c(1,-1),2,1), ci=c(0,-1)$par[1] 0.53$value[1] 10.36$countsfunction gradient20 NA$convergence[1] 0$messageNULL$outer.iterations[1] 2$barrier.value[1] 6.91e-05
在上一張圖中，我們達(dá)到了對(duì)數(shù)似然的最大值
> abline(v=opt$par,col="red")
另一種方法是考慮 ?
?（如指數(shù)分布）。則對(duì)數(shù)似然
?
這里
?
因此，一階條件
?
滿足
即
?
從數(shù)值角度來看，我們有相同的最優(yōu)值
(opt=optim(0,loglik))$par[1] 0.13$value[1] 10.36$countsfunction gradient20 NA$convergence[1] 0$messageNULL> exp(opt$par)/(1+exp(opt$par))[1] 0.53
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