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簡介

時間序列分析是統(tǒng)計學(xué)中的一個主要分支，主要側(cè)重于分析數(shù)據(jù)集以研究數(shù)據(jù)的特征并提取有意義的統(tǒng)計信息來預(yù)測序列的未來值。時序分析有兩種方法，即頻域和時域。前者主要基于傅立葉變換，而后者則研究序列的自相關(guān)，并且使用Box-Jenkins和ARCH / GARCH方法進行序列的預(yù)測。

本文將提供使用時域方法對R環(huán)境中的金融時間序列進行分析和建模的過程。第一部分涵蓋了平穩(wěn)的時間序列。第二部分為ARIMA和ARCH / GARCH建模提供了指南。接下來，它將研究組合模型及其在建模和預(yù)測時間序列方面的性能和有效性。最后，將對時間序列分析方法進行總結(jié)。

時間序列數(shù)據(jù)集的平穩(wěn)性和差異：

1.平穩(wěn)性：

對時間序列數(shù)據(jù)建模的第一步是將非平穩(wěn)時間序列轉(zhuǎn)換為平穩(wěn)時間序列。這是很重要的，因為許多統(tǒng)計和計量經(jīng)濟學(xué)方法都基于此假設(shè)，并且只能應(yīng)用于平穩(wěn)時間序列。非平穩(wěn)時間序列是不穩(wěn)定且不可預(yù)測的，而平穩(wěn)過程是均值回復(fù)的，即它圍繞具有恒定方差的恒定均值波動。此外，隨機變量的平穩(wěn)性和獨立性密切相關(guān)，因為許多適用于獨立隨機變量的理論也適用于需要獨立性的平穩(wěn)時間序列。這些方法大多數(shù)都假設(shè)隨機變量是獨立的（或不相關(guān)的）。噪聲是獨立的（或不相關(guān)的）；變量和噪聲彼此獨立（或不相關(guān)）。那么什么是平穩(wěn)時間序列？

粗略地說，平穩(wěn)時間序列沒有長期趨勢，均值和方差不變。更具體地說，平穩(wěn)性有兩種定義：弱平穩(wěn)性和嚴格平穩(wěn)性。

a.平穩(wěn)性弱：如果滿足以下條件，則稱時間序列{Xt，t∈Z}（其中Z是整數(shù)集）是平穩(wěn)的

b.嚴格平穩(wěn)：如果（Xt1，Xt2，...，Xtk）的聯(lián)合分布與（Xt1 + h，Xt2 + h）的聯(lián)合分布相同，則時間序列{Xt. ……Xtk + h），t∈Z}被認為是嚴格平穩(wěn)的。?

通常在統(tǒng)計文獻中，平穩(wěn)性是指平穩(wěn)時間序列滿足三個條件的弱平穩(wěn)性：恒定均值，恒定方差和自協(xié)方差函數(shù)僅取決于（ts）（不取決于t或s）。另一方面，嚴格平穩(wěn)性意味著時間序列的概率分布不會隨時間變化。

例如，白噪聲是平穩(wěn)的，意味著隨機變量是不相關(guān)的，不一定是獨立的。但是，嚴格的白噪聲表示變量之間的獨立性。另外，由于高斯分布的特征是前兩個時刻，所以高斯白噪聲是嚴格平穩(wěn)的，因此，不相關(guān)也意味著隨機變量的獨立性。

在嚴格的白噪聲中，噪聲項{et}不能線性或非線性地預(yù)測。在一般的白噪聲中，可能無法線性預(yù)測，但可由稍后討論的ARCH / GARCH模型非線性預(yù)測。有三點需要注意：

?嚴格的平穩(wěn)性并不意味著平穩(wěn)性弱，因為它不需要有限的方差

?平穩(wěn)性并不意味著嚴格的平穩(wěn)性，因為嚴格的平穩(wěn)性要求概率分布不會隨時間變化

?嚴格平穩(wěn)序列的非線性函數(shù)也嚴格平穩(wěn)，不適用于弱平穩(wěn)

2.區(qū)別：

為了將非平穩(wěn)序列轉(zhuǎn)換為平穩(wěn)序列，可以使用差分方法，從原始序列中減去該序列滯后1期：例如：

在金融時間序列中，通常會對序列進行轉(zhuǎn)換，然后執(zhí)行差分。這是因為金融時間序列通常會經(jīng)歷指數(shù)增長，因此對數(shù)轉(zhuǎn)換可以使時間序列平滑（線性化），而差分將有助于穩(wěn)定時間序列的方差。以下是蘋果股票價格的示例：

?左上方的圖表是蘋果股票價格從2007年1月1日到2012年7月24日的原始時間序列，顯示出指數(shù)級增長。

?左下方的圖表顯示了蘋果股票價格的差分?？梢钥闯觯撓盗惺莾r格相關(guān)的。換句話說，序列的方差隨著原始序列的級別增加而增加，因此不是平穩(wěn)的

?右上角顯示Apple的log價格圖。與原始序列相比，該序列更線性。

?右下方顯示了蘋果log價格的差分。該系列似乎更具有均值回復(fù)性，并且方差是恒定的，并且不會隨著原始系列級別的變化而顯著變化。

?

要執(zhí)行R中的差分，請執(zhí)行以下步驟：?

?讀取R中的數(shù)據(jù)文件并將其存儲在變量中

?繪制原始股票價格

?與原始序列不同

?原始序列的差分序列圖

?獲取原始序列的對數(shù)并繪制對數(shù)價格

?不同的log價格和圖

log價格的差分代表收益，與股票價格的百分比變化相似。

ARIMA模型：

模型識別：

通過觀察時間序列的自相關(guān)建立并實現(xiàn)時域方法。因此，自相關(guān)和偏自相關(guān)是ARIMA模型的核心。BoxJenkins方法提供了一種根據(jù)序列的自相關(guān)和偏自相關(guān)圖來識別ARIMA模型的方法。ARIMA的參數(shù)由三部分組成：p（自回歸參數(shù)），d（差分數(shù)）和q（移動平均參數(shù)）。

識別ARIMA模型有以下三個規(guī)則：

?如果滯后n后ACF（自相關(guān)圖）被切斷，則PACF（偏自相關(guān)圖）消失：ARIMA（0，d，n）確定MA（q）

?如果ACF下降，則滯后n階后PACF切斷：ARIMA（n，d，0）,識別AR（p）

?如果ACF和PACF失效：混合ARIMA模型，需要區(qū)別?

注意，即使引用相同的模型，ARIMA中的差異數(shù)也用不同的方式書寫。例如，原始序列的ARIMA（1,1,0）可以寫為差分序列的ARIMA（1,0,0）。同樣，有必要檢查滯后1階自相關(guān)為負（通常小于-0.5）的過差分。差分過大會導(dǎo)致標(biāo)準偏差增加。

以下是Apple時間序列中的一個示例：

?左上方以對數(shù)蘋果股票價格的ACF表示，顯示ACF緩慢下降（而不是下降）。該模型可能需要差分。

?左下角是Log Apple的PACF，表示滯后1處的有效值，然后PACF截止。因此，Log Apple股票價格的模型可能是ARIMA（1,0,0）

?右上方顯示對數(shù)Apple的差分的ACF，無明顯滯后（不考慮滯后0）

?右下角是對數(shù)Apple差分的PACF，無明顯滯后。因此，差分對數(shù)Apple序列的模型是白噪聲，原始模型類似于隨機游走模型ARIMA（0,1,0）

?

在擬合ARIMA模型中，簡約的思想很重要，在該模型中，模型應(yīng)具有盡可能小的參數(shù)，但仍然能夠解釋級數(shù)（p和q應(yīng)該小于或等于2，或者參數(shù)總數(shù)應(yīng)小于等于鑒于Box-Jenkins方法3）。參數(shù)越多，可引入模型的噪聲越大，因此標(biāo)準差也越大。

因此，當(dāng)檢查模型的AICc時，可以檢查p和q為2或更小的模型。要在R中執(zhí)行ACF和PACF，以下代碼：

?對數(shù)的ACF和PACF

?差分對數(shù)的ACF和PACF

除了Box-Jenkins方法外，AICc還提供了另一種檢查和識別模型的方法。AICc為赤池信息準則，可以通過以下公式計算：

AICC = N * log（SS / N）+ 2（p + q + 1）* N /（N – p – q – 2），如果模型中沒有常數(shù)項

AICC = N * log（SS / N）+ 2（p + q + 2）* N /（N – p – q – 3），如果模型中為常數(shù)項

N：求異后的項目數(shù)（N = n – d）

SS：差平方和

p＆q：自回歸模型和移動平均模型的順序?

根據(jù)這種方法，將選擇具有最低AICc的模型。在R中執(zhí)行時間序列分析時，程序?qū)⑻峁〢ICc作為結(jié)果的一部分。但是，在其他軟件中，可能需要通過計算平方和并遵循上述公式來手動計算數(shù)字。當(dāng)使用不同的軟件時，數(shù)字可能會略有不同。

基于AICc，我們應(yīng)該選擇ARIMA（2,1,2）。這兩種方法有時可能會得出不同的結(jié)果，因此，一旦獲得所有估計，就必須檢查和測試模型。以下是在R中執(zhí)行ARIMA的代碼：

參數(shù)估計

要估算參數(shù)，請執(zhí)行與先前所示相同的代碼。結(jié)果將提供模型每個元素的估計。使用ARIMA（2,1,2）作為選定模型，結(jié)果如下：

完整模型：

（Yt –Yt-1）= -0.0015（Yt-1 – Yt-2）-0.9231（Yt-2 – Yt-3）+0.0032εt-1+0.8803εt-2+εt

注意，當(dāng)執(zhí)行帶差分的ARIMA模型時，R將忽略均值。以下是Minitab的輸出：

請注意，根據(jù)我們編寫代碼的方式，R將對同一模型給出不同的估計。例如：arima（log.Appl，order = c（2,1,2））

從這兩條代碼行得出的ARIMA（2,1,2）的參數(shù)估計值在R中將有所不同，即使它引用的是同一模型。但是，在Minitab中，結(jié)果是相似的，因此對用戶的混淆較少。

診斷檢查

該過程包括觀察殘差圖及其ACF和PACF圖，并檢查Ljung-Box結(jié)果。

如果模型殘差的ACF和PACF沒有顯著滯后，則選擇合適的模型。?

?

殘差圖ACF和PACF沒有任何明顯的滯后，表明ARIMA（2,1,2）是表示該序列的良好模型。

此外，Ljung-Box測試還提供了另一種方法來仔細檢查模型?；旧?，Ljung-Box是一種自相關(guān)檢驗，其中它檢驗時間序列的自相關(guān)是否不同于0。換句話說，如果結(jié)果拒絕了假設(shè)，則意味著數(shù)據(jù)是獨立且不相關(guān)的；否則，序列中仍然存在序列相關(guān)性，需要修改模型。

?Minitab的輸出顯示p值均大于0.05，因此我們不能拒絕自相關(guān)性不同于0的假設(shè)。因此，所選模型是Apple股票價格的合適模型之一。

ARCH / GARCH模型

盡管殘差的ACF和PACF沒有明顯的滯后，但是殘差的時間序列圖顯示出一些波動性。重要的是要記住，ARIMA是一種對數(shù)據(jù)進行線性建模且預(yù)測保持不變的方法，因為該模型無法反映最近的變化或合并新信息。換句話說，它為序列提供了最佳的線性預(yù)測，因此在非線性模型預(yù)測中幾乎沒有作用。為了建模波動，需要用到ARCH / GARCH方法。我們?nèi)绾沃浪P(guān)注的時間序列是否需要ARCH / GARCH？

首先，檢查殘差圖是否顯示任何波動性。接下來，觀察殘差平方。如果存在波動性，則應(yīng)使用ARCH / GARCH對系列的波動性建模，以反映該系列中更多的近期變化和波動。最后，平方殘差的ACF和PACF將有助于確認殘差（噪聲項）是否獨立且可以預(yù)測。如前所述，嚴格的白噪聲不能線性或非線性地預(yù)測，而普通的白噪聲可能不能線性地預(yù)測但仍不能非線性地預(yù)測。如果殘差是嚴格的白噪聲，則它們與零均值，正態(tài)分布無關(guān)，并且平方殘差的ACF和PACF沒有明顯的滯后。

以下是平方殘差的圖：

?殘差平方圖顯示了某些時間點的波動性

??滯后10時，PACF仍會截斷，即使有些滯后仍然很大

?

因此，殘差顯示了一些可以建模的模式。ARCH / GARCH對模型波動率建模很有必要。顧名思義，此方法與序列的條件方差有關(guān)。ARCH（q）的一般形式：

?根據(jù)AICc選擇ARCH / GARCH階數(shù)和參數(shù)，如下所示：

AICC = -2 * log+ 2（ q + 1）* N /（N? – q – 2），如果模型中沒有常數(shù)項

AICC = -2 * log+ 2（ q + 2）* N /（N – q – 3），如果模型中為常數(shù)項

要計算AICc，我們需要將ARCH / GARCH模型擬合到殘差，然后使用R中的logLik函數(shù)計算對數(shù)似然。請注意，由于我們只希望對ARIMA模型的噪聲建模，因此我們將ARCH擬合到先前選擇的ARIMA模型的殘差，而不擬合原始序列或?qū)?shù)或差分對數(shù)序列。

上面提供了恒定和非恒定情況的AICc表。請注意，從ARCH 1到ARCH 8 的AICc減少，然后在ARCH 9和ARCH 10中AICc增加。為什么會發(fā)生？表示我們需要檢查模型的收斂性，在前7種情況下，R中的輸出給出“相對函數(shù)收斂”，而ARCH 9和ARCH 10具有“假收斂”。當(dāng)輸出包含F(xiàn)alse收斂時，該模型的預(yù)測能力值得懷疑，我們應(yīng)該從選擇中排除這些模型；盡管GARCH 1,1的AICc也最低，但是該模型被錯誤地收斂，因此被排除在外。 ARCH 8是所選模型。

此外，我們在分析中還包括ARCH 0 ，因為它可以用作檢查是否存在任何ARCH效應(yīng)或殘差是否獨立。

執(zhí)行ARCH / GARCH模型的R代碼：

注意，R不允許q = 0的階數(shù)，因此我們無法從R 獲得ARCH 0的對數(shù)似然? ；但是我們需要通過公式進行計算：?.5 * N * 1 + log 2 * pi *mean(x) ?2
N：相差后的觀測次數(shù)N = n – d
X：在此考慮的數(shù)據(jù)集情況，殘差
ARCH 8的輸出：

除第六個參數(shù)外，所有參數(shù)的p“值均小于0.05，表明? 它們具有統(tǒng)計學(xué)意義。此外，Box” Ljung檢驗的p“值大于0.05，? 因此我們不能拒絕自相關(guān)的假設(shè)殘差的值不同于0。因此該模型足以表示殘差。
完整的ARCH 8模型：
ht = 1.472e-04 +1.284e-01ε2t“ 1 +1.335e-01ε2t” 2 +9.388e-02ε2t“ 3 + 8.678 e-02ε2t“ 4 +?
5.667e-02ε2t” 5 +3.972e-02ε2t“ 6 +9.034e-02ε2t” 7 +1.126e-01ε2t“ 8

ARIMA-ARCH / GARCH

?在本節(jié)中，我們將比較ARIMA模型和組合的ARIMAARCH / GARCH模型的結(jié)果。如前所述，Apple Log價格序列的ARIMA和ARCH模型分別為ARIMA 2,1,2）和ARCH 8）。此外，我們還將查看Minitab的結(jié)果，并將其與R 的結(jié)果進行比較。請記住，在將ARIMA擬合所需的差分序列時，R將排除常數(shù)。因此，我們先前從R生成的結(jié)果是ARIMA 2,1,2），沒有常數(shù)。使用預(yù)測函數(shù)，根據(jù)ARIMA 2,1,2）對系列進行1步預(yù)測

ARIMA（2,1,2）– ARCH（8）的完整模型：

下表總結(jié)了所有模型，并在Excel中編輯和計算了點預(yù)測和預(yù)測區(qū)間：

?將對數(shù)價格轉(zhuǎn)換為價格，我們獲得原始序列的預(yù)測：
?

2012年7月25日蘋果發(fā)布了低于預(yù)期的收益報告，此公告影響了公司股價，導(dǎo)致該股票從2012年7月24日的600.92美元跌至2012年7月24日的574.97美元。公司發(fā)布正面或負面新聞時，這是經(jīng)常發(fā)生的意外風(fēng)險。但是，由于實際價格在我們95％的置信區(qū)間內(nèi)并且非常接近下限，因此我們的模型似乎可以成功預(yù)測該風(fēng)險。

需要注意的是，ARIMA（2,1,2）的95％置信區(qū)間比ARIMA（2,1,2）– ARCH（8）組合模型的置信區(qū)間寬。這是因為后者通過分析殘差及其條件方差（隨著新信息的出現(xiàn)而受到影響的方差）來反映并納入股價的近期變化和波動。
那么如何計算ARCH（8）的條件方差ht？
?生成1步預(yù)測，100步預(yù)測，預(yù)測圖：

?計算ht，條件方差：

?生成對數(shù)價格，上限和下限95％的圖

為了計算ht，我們首先在一列中列出模型的所有參數(shù)，然后查找與這些系數(shù)關(guān)聯(lián)的殘差，將這些殘差平方，將ht系數(shù)乘以殘差平方，然后對這些數(shù)字求和以得出ht。例如，要估計點1402（我們的數(shù)據(jù)集有1401個觀測值），我們需要最后8天的殘差，因為我們的模型是ARCH（8）。以下是生成的表：
?

為了如上所述估計混合模型的1步預(yù)測和95％置信區(qū)間，我們使用從R或Minitab獲得的ARIMA預(yù)測，然后將ht添加到ARIMA預(yù)測中。記錄對數(shù)價格和條件方差：
?條件方差圖成功反映了整個時間序列的波動性?高波動性與股價暴跌的時期密切相關(guān)

價格的95％預(yù)測間隔：

?對模型的最終檢查是查看ARIMA-ARCH模型的殘差的QQ圖，即et =εt/ sqrt（ht）=殘差/ sqrt（條件方差）。我們可以直接從R計算出來，然后繪制QQ圖以檢查殘差的正態(tài)性。以下是代碼和QQ圖：

該圖表明，殘差似乎大致呈正態(tài)分布，盡管有些點不在直線上。但是，與ARIMA模型的殘差相比，混合模型的殘差更接近正態(tài)分布。
?

結(jié)論

?
時域方法是分析金融時間序列的有用方法?；贏RIM-ARCH / GARCH模型的預(yù)測中有一些需要考慮的方面：
首先，ARIMA模型專注于線性分析時間序列，并且由于新信息的存在，它無法反映最近的變化。因此，為了更新模型，用戶需要合并新數(shù)據(jù)并再次估計參數(shù)。ARIMA模型中的方差是無條件方差，并且保持恒定。ARIMA適用于平穩(wěn)序列，因此，應(yīng)變換非平穩(wěn)序列（例如對數(shù)變換）。
此外，ARIMA通常與ARCH / GARCH模型一起使用。ARCH / GARCH是一種測量序列波動性的方法，或更具體地說，是對ARIMA模型的噪聲項建模的方法。ARCH / GARCH結(jié)合了新信息，并根據(jù)條件方差分析了序列，用戶可以使用最新信息來預(yù)測未來價值?；旌夏Ｐ偷念A(yù)測區(qū)間比純ARIMA模型的預(yù)測區(qū)間短。

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